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2024-2025 学年湖南省沅澧共同体高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |3 < 1}， = { 4, 3, 2,2,3,4}，则 ∩ =( )
A. {3,4} B. {2,3,4} C. { 4, 3, 2} D. { 4, 3, 2,2}
2.已知向量 = ( + 4, )， = ( , 2)，则“ // ”的一个充分条件是( )
A. = 4 B. = 2 C. = 3 D. = 6
3.已知一个圆台的上下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 2，则该圆台的侧面积为( )
A. 5 2 B. 7 2 C. 9 2 D. 16 2
4.已知 cos( + ) = 1 12， = 5，则 cos( ) =( )
A. 13 B.
1
3 C.
1
4 D.
1
4
5 1.已知 +1 = ，则在复平面内 所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.在(1 )(1 + 2 )5的展开式中， 3的系数是( )
A. 40 B. 20 C. 20 D. 40
7.在等差数列{ }中，前 项和为 ，若 25 = 5( 2 + 6 + 10 + 14 + )，则 =( )
A. 18 B. 33 C. 36 D. 40
8.如图 1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高 10 ，口径 26 ，底径 10 ，该碗的轴截面(不含
碗底部分)是抛物线的一部分，如图 2，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. 5144 B.
36
5 C.
5
36 D.
38
5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.随机事件 ， 满足 ( ) = 12 , ( ) =
1 1
3 , ( | ) = 2，下列说法正确的是( )
A. ( ) = 16 B.事件 与事件 相互独立

C. ( ∪ ) = 12 D. ( ) = ( )
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10.设函数 ( ) = ( 1)2( 4)，则( )
A. = 3 是 ( )的极小值点
B.当 0 < < 1 时， ( ) < ( 2)
C.当 1 < < 2 时， 4 < (2 1) < 0
D.当 1 < < 1 时， (2 ) > ( )
11.如图，在四面体 中，△ ∽△ ，∠ = 6， ⊥ ， ⊥ ， = 1
， ， 分别为棱 ， ， 上的动点，则下列选项正确的是( )
A. + 的最小值为 3
B. ⊥平面
C. 直线 与面 所成角为6
D.四面体 1的体积为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从正态分布 (1, 2)，且 (1 < ≤ 2.5) = 0.46，则 ( > 2.5) = ______．
13 ( ) = | .已知函数 2 |, 0 < < 46 , ≥ 4 ，若 ( ) = ( ) = ( )( < < )，则 的取值范围是______．
2 2
14.已知 1， 2分别为双曲线

： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点，以 1 2为直径的圆与其中一条渐
近线在第一象限交于点 ，过点 作另一条渐近线的垂线，点 1恰在此垂线上，则双曲线 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且(2 ) = ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 7， + = 13 且 > ，求 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 2 + + ) 在点 (0, (0))处的切线方程为 2 + 1 = 0．
(1)求 ， 的值；
(2)求函数 ( )在[ 3,3]的最大值和最小值；
(3)若方程 ( ) = 恰有两个不等的实根，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在数列{ }中 1 = 1， +1 = 2 + 1， ∈ ，
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(Ⅰ)证明：数列{ + }是等比数列；
(Ⅱ)求数列{ }的通项公式 ；
(Ⅲ)求数列{ }的前 项和公式 ．
18.(本小题 17 分)
在平面四边形 中，∠ = 150°， ⊥ ， = = 3， = 2，将△ 沿 翻折至△ ，
且满足 ⊥ ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知 1，

2为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点， 为椭圆 的上顶点，若△ 1 2为直角三角形，
且椭圆过点 (2,1)．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率互为相反数的两条直线 1与 2分别交椭圆 于 ， 两点，
①求证：通过点 ， 的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求| |的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.04
13.(4,6)
14.2
15.解：(1)因为(2 ) = ，
由正弦定理整理可得 2 = + = sin( + )，
在△ 中，sin( + ) = ，且 > 0，
可得 = 12，
又因为 ∈ (0, )，

所以 = 3；
(2) = 7， + = 13 且 > ，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
即 49 = 2 + 2 = ( + )2 3 = 169 3 ，
解得 = 40，
+ = 13
联立 = 40 ，
>
解得 = 8， = 5
所以 ， 的值分别为 8，5．
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16.解：(1)导函数 ′( ) = [ 2 + ( + 2) + + ] ，由于函数 ( )在点 处的切线方程为 2 + 1 = 0．
因此有 (0) = = 1， ′(0) = + = 2，因此解得 = 3， = 1．
(2)根据第一问可得函数 ( ) = ( 2 3 + 1) ， ′( ) = ( 2 2) = ( 2)( + 1) ．
当导函数 ′( ) = 0， = 1 或 = 2．
( ∞, 1) 1 ( 1,2) 2 (2, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 5单调递增 单调递减 2 单调递增

因此函数 ( )在[ 1,2]上单调递减，在[ 3, 1]和[2,3]上单调递增，
又因为计算可得 ( 3) = 19 3, ( 1) = 5 , (2) =
2, (3) = 3．
因此函数 ( )在[ 3,3]的最小值为 2，最大值为 3．
(3)根据第二问可知，函数 ( )的极小值为 (2) = 2，极大值为 ( 1) = 5 ，
当 < 0， 2 3 + 1 > 0， > 0，所以 ( ) > 0，当 →+∞时， ( ) →+∞．
所以当且仅当 ∈ ( 2, 0] ∪ { 5 }时，方程 ( ) = 恰有两个不等实根．
17.证明：(Ⅰ) ∵ +1 + ( + 1) = 2 + 1+ + 1 = 2 + 2 = 2( + )，
又 1 + 1 = 2，
∴数列{ + }是以 2 为首项，2 为公比的等比数列；
解：(Ⅱ)由(Ⅰ)得： + = 2 × 2 1 = 2 ，∴ = 2 ；

(Ⅲ)由(Ⅱ)得： = (21 + 22 + 23 + + 2 ) (1 + 2 + 3 + + ) =
2(1 2 ) ( +1) +1 ( +1)
1 2 2 = 2 2 2 ．
18.(1)证明：翻折前 ⊥ ，
翻折后 ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)解：以点 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，在平面
内垂直于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由∠ = 150°， ⊥ ，知∠ = 60°，
∴ (0,0,0)， (0,0,3)， ( 3, 1,0)， (0,3,0)，
∴ = ( 3, 1, 3)， = (0,0,3)， = ( 3, 2,0)，
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= ( , , ) 1
= 3 +
设平面 的法向量为 ，则 1 1
3 1 = 0
1 1 1 1 ， 1 = 3 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = 3，∴ 1 = (1, 3, 0)，
3 + 3 = 0
设平面
=
的法向量为 2 = ( 2, 2, )

2 ，则
2 2 2 2 ，
2 = 3 2 2 2 = 0
令 2 = 2，则 2 = 2 = 3，∴ 2 = (2, 3, 3)，
设二面角 的平面角为 ，
则| | = | 1 2 10| 1| |
，
2|
| = 20
∴ = 390，20
故二面角 的正弦值为 390．
20
19.解：(1)因为| 1 | = | 2 |，
所以△ 1 2是等腰直角三角形，
即 = ，
所以 2 = 2 2，
因为椭圆 过点 (2,1)，
4 1
所以 2 + 2 = 1，
解得 2 = 6， 2 = 3，
2 2
则椭圆 的方程为 6 + 3 = 1；
(2)①证明：设直线 1的方程为 = ( 2) + 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
此时直线 2的方程是 = ( 2) + 1，
= ( 2) + 1
联立 2 2 ，消去 并整理得(1 + 2 2) 2 + (4 8 2) + 8 2 8 4 = 0，
6 + 3 = 1
2
由韦达定理得 1 =
8 8 4
1+2 2 ，
因为 = 2，
4 2 4 2 2 2 4 +1
所以 1 = 1+2 2 , 1 = ( 1 2) + 1 = 1+2 2 ，
2
= 4 +4 2
2
同理得 2 1+2 2 ,
2 +4 +1
2 = 1+2 2 ，
2 2+4 +1 2
2 4 +1

所以 = 2 1 = 1+2 2 1+2 2 8 = = 1，2 1 4 2+4 2 4 2 4 2 8
1+2 2 1+2 2
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则直线 的斜率为定值，且定值为 1；
4 2 ( 4 2
2
, 2 4 +1
2
), ( 4 +4 2 2
2+4 +1
②由①知 1+2 2 1+2 2 1+2 2 , 1+2 2 )，
2
此时| | = ( 2 )2 + ( )2 =
128 128
1 2 1 (1+2 2)2 = 4 2+ 1
，
+4
2
1
因为 4 2 + 2 ≥ 4，
1 2
当且仅当 4 2 = 2，即 =± 2 时，等号成立，
| | ≤ 128所以 8 = 4．
则| |的最大值为 4．
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