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期末热点.重难点 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 福州期末）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 常州校级期末）若函数在区间[0，2π]上有且仅有5条对称轴，则ω取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 通州区期末）下列各式化简后的结果为cosα的是（　　）
A．sin（π﹣α） B．cos（π+α） C．cos（） D．sin（）
4．（2024秋 洛阳期末）已知，则tan（π﹣θ）＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 青海期末）函数的单调递减区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 莆田期末）下列大小关系中正确的是（　　）
A． B．sin879°＜cos1148°
C． D．
（多选）7．（2024秋 泉州期末）已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）在区间上的取值范围为
D．使得成立的x的取值集合为
（多选）8．（2024秋 灌南县期末）设函数，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，命题正确的是（　　）
A．①② ③④ B．②③ ①④ C．①③ ②④ D．①④ ②③
（多选）9．（2024秋 广东期末）下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（　　）
A．y＝tanx B．y＝cos2x C．y＝cosx D．y＝﹣|sinx|
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西模拟）若函数在区间上单调递增，且f（x）在区间上恰有一个极大值点，则ω＝ 　 　．
11．（2024秋 大理市期末）已知函数，若f（x）的周期为π，则f（2024π）＝ 　 　．
12．（2024秋 浦东新区校级期末）在直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合．若点（﹣2，y）在角α终边上，且，则sinα＝　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 西安期末）已知，且α是第二象限角．
（1）求cosα和tanα的值；
（2）求的值．
14．（2024秋 临沂期末）已知函数的最小正周期为π．
（1）求ω；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（3）若不等式m﹣f（x）≥﹣4在内恒成立，求m的取值范围．
15．（2024秋 广东期末）已知函数的图象过点．
（1）求f（x）的解析式和最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式4f（x）﹣a≤0在区间上有解，求实数a的取值范围．
期末热点.重难点 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 福州期末）已知角α的终边与单位圆的交点坐标为，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】根据任意角的三角函数定义计算即可．
【解答】解：由题意角α的终边与单位圆的交点坐标为，
根据三角函数定义得到．
故选：A．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．（2024秋 常州校级期末）若函数在区间[0，2π]上有且仅有5条对称轴，则ω取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】利用正弦函数的性质求解出对称轴，再结合题意建立不等式组，求解参数范围即可．
【解答】解：函数，
令，解得，
若函数在区间[0，2π]上有且仅有5条对称轴，
则函数f（x）在（0，+∞）上由小到大的第1条对称轴为，
第2条对称轴为，第3条对称轴为，
第4条对称轴为，第5条对称轴为，
第6条对称轴为，由题意知，，
解得，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦函数的性质，属于基础题．
3．（2024秋 通州区期末）下列各式化简后的结果为cosα的是（　　）
A．sin（π﹣α） B．cos（π+α） C．cos（） D．sin（）
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】利用诱导公式逐项求解即可判断．
【解答】解：对于A，cos（π﹣α）＝﹣cosα，错误；
对于B，cos（π+α）＝﹣cosα，错误；
对于C，cos（α）＝sinα，错误；
对于D，sin（α）＝cosα，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
4．（2024秋 洛阳期末）已知，则tan（π﹣θ）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为 ，
故tanθ，
故．
故选：D．
【点评】本题考查了两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5．（2024秋 青海期末）函数的单调递减区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学建模．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数，然后利用正弦型函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：∵
，
∴f（x）单调递减区间：，
解得，，
则f（x）的单调递减区间是．
故选：A．
【点评】本题考查正弦型函数单调性，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 莆田期末）下列大小关系中正确的是（　　）
A． B．sin879°＜cos1148°
C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值；对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据对数函数的性质判断A；根据诱导公式以及正弦函数的性质判断B；由指数幂的运算、幂函数的单调性判断CD．
【解答】解：由题意，故A正确；
因为sin879°＝sin（720°+180°﹣21°）＝sin21°，
cos1148°＝cos（1080°+90°﹣22°）＝sin22°＞sin21°，
所以sin879°＜cos1148°，故B正确；
因为，所以，故C错误；
因为 在 （0，+∞） 上单调递增，所以 ，
又因为 在 （0，+∞） 上单调递减，所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了对数函数的性质，诱导公式，正弦函数的性质，指数幂的运算以及幂函数的单调性，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 泉州期末）已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）在区间上的取值范围为
D．使得成立的x的取值集合为
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】已知三角函数解析式，得到ω即可得到函数周期，判断A选项；令解得区间即是函数单调递增区间，从而判断出B选项：由单调区间可以求得函数在区间上的值域，判断C选项；先求出的解，由函数单调性即可得到的解集，判断D选项．
【解答】解：已知函数，
由解析式知道ω＝2，则周期，故A选项正确；
令，解得，
∴f（x）在区间上单调递增，在上递减，故B选项错误；
当时，，即，故C选项正确；
令，解得或，
由函数单调性可知成立的x的取值集合为，故D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 灌南县期末）设函数，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，命题正确的是（　　）
A．①② ③④ B．②③ ①④ C．①③ ②④ D．①④ ②③
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的周期性．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据每个选项中的条件求出函数f（x）的解析式，再结合正弦性函数的基本性质判断结论即可．
【解答】解：对于A选项，①② ③④，
由①可得，f（x）＝sin（2x+φ），
由②可得，解得，
因为，则，则，
对于③，，③对，
对于④，当时，，
所以，函数f（x）在区间上是增函数，④对，故A中的命题成立；
对于C选项，①③ ②④，
由①可得，f（x）＝sin（2x+φ），
由③可得，可得，
因为，则，则，
对于②，因为，
所以，函数f（x）的图象关于直线成轴对称图形，②对，
对于④，当时，，
所以，函数f（x）在区间上是增函数，④对，故C中的命题为真命题；
对于B选项，②③ ①④，由②③无法确定函数f（x）的最小正周期，从而①④无法判断，
故B中的命题不成立；
对于D选项，①④ ②③，
由①可得，f（x）＝sin（2x+φ），
由④，当时，，
因为，则，
因为函数f（x）在区间上是增函数，
则，解得，无法确定φ的值，此时，命题②③无法判断，故D中的命题为假命题．
故选：AC．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 广东期末）下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（　　）
A．y＝tanx B．y＝cos2x C．y＝cosx D．y＝﹣|sinx|
【考点】正弦函数的单调性；余弦函数的单调性；三角函数的周期性．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据三角函数的性质及复合函数的性质判断．
【解答】解：对于A，根据三角函数性质，y＝tanx在区间上单调递增，但是奇函数，故A错误；
对于B，根据三角函数性质，y＝cos2x在上单调递增，且是偶函数，故B正确；
对于C，根据三角函数性质，y＝cosx在上单调递减，是偶函数，故C错误；
对于D，根据三角函数性质，y＝﹣|sinx|在上单调递增，是偶函数，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查三角函数的性质及复合函数的性质，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西模拟）若函数在区间上单调递增，且f（x）在区间上恰有一个极大值点，则ω＝ 　2　．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】2．
【分析】先利用辅助角公式进行化简，由已知结合正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：由题可得，
令，得，令，得，
由题意可得，，
又f（x）在区间上恰有一个极大值点，
∴，∴ω＞1，
又∵ω∈N*，∴ω＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于中档题．
11．（2024秋 大理市期末）已知函数，若f（x）的周期为π，则f（2024π）＝ 　　．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】利用周期求出ω可得f（x）的解析式，再求f（2024π）即可．
【解答】解：已知函数，
又f（x）的周期为π，
则，
所以ω＝1，
则，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了诱导公式，属基础题．
12．（2024秋 浦东新区校级期末）在直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合．若点（﹣2，y）在角α终边上，且，则sinα＝　　．
【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．
【解答】解：点（﹣2，y）在角α终边上，且，
则，解得tanα，即，解得y＝4，
故sinα．
故答案为：．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 西安期末）已知，且α是第二象限角．
（1）求cosα和tanα的值；
（2）求的值．
【考点】运用诱导公式化简求值；同角正弦、余弦的平方和为1；同角正弦、余弦的商为正切．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式来求得正确答案．
（2）根据诱导公式来求得正确答案．
【解答】解：（1）∵，且α是第二象限角，
∴，
∴；
（2）原式
．
【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
14．（2024秋 临沂期末）已知函数的最小正周期为π．
（1）求ω；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（3）若不等式m﹣f（x）≥﹣4在内恒成立，求m的取值范围．
【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）2；
（2）和；
（3）[﹣1，+∞）．
【分析】（1）根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求解；
（2）利用y＝sinx的图象与性质，直接求出的单调区间，再结合条件，即可求解；
（3）根据条件，得在内恒成立，构造函数，，求出g（x）的最大值，即可求解．
【解答】解：（1）函数的最小正周期为π，由，又ω＞0，解得ω＝2．
（2）由（1）知，
由，k∈Z，解得，k∈Z，
当k＝0时，得，又x∈[0，π]，所以，
当k＝1时，得，又x∈[0，π]，所以，
所以函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为和．
（3）因为不等式m﹣f（x）≥﹣4在内恒成立，
所以在内恒成立，
令，，
则m≥g（x）max，当时，，
则，，
故m的取值范围为[﹣1，+∞）．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2024秋 广东期末）已知函数的图象过点．
（1）求f（x）的解析式和最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式4f（x）﹣a≤0在区间上有解，求实数a的取值范围．
【考点】三角函数的周期性；余弦函数的图象；不等式恒成立的问题．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1），4π；
（2）；
（3）．
【分析】（1）解方程得到解析式，然后求最小正周期；
（2）利用整体代入的方法求单调区间；
（3）将4f（x）﹣a≤0在区间上有解转化为，然后求最小值即可．
【解答】（1）函数的图象过点，
故，
因为，所以，
所以，即，
所以，
，
所以的最小正周期为4π．
（2）设，
因为y＝cosz，z∈R的单调递增区间是[﹣π+2kπ，2kπ]，k∈Z，
所以由，
解得，
所以函数f（x）的单调递增区间为．
（3）不等式4f（x）﹣a≤0在区间上有解，
即为在区间上有解，
因为，所以，
当，即时，
取得最小值，
所以只需，
故实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了整体代入的方法，属于基础题．
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