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期末热点.重难点 周期变化
一．选择题（共5小题）
1．（2023春 金溪县校级月考）已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为（a，b），若，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2019秋 清远期末）sin195°sin465°＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2021秋 沙市区校级期末）已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin，cos），则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2013 江岸区校级模拟）设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P2（y，﹣x），则下列说法中正确的是（　　）
A．sin（α+θ）＝sinα B．sin（α+θ）＝﹣cosα
C．cos（α+θ）＝﹣cosα D．cos（α+θ）＝﹣sinα
5．（2010秋 朝阳区期末）如图，以Ox为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A，B点，则的值等于（　　）
A．sin（α+β） B．sin（α﹣β） C．cos（α+β） D．cos（α﹣β）
二．填空题（共4小题）
6．（2022秋 泉州期末）如图，在半径为1cm的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（其中），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为 　 　cm．
7．（2014秋 扬州期末）已知A（xA，yA）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B（xB，yB），已知m＞0，若myA﹣2yB的最大值为3，则m＝　 　．
8．（2014春 烟台期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为．若将点B沿单位圆逆时针旋转到达A点，则点A的坐标为　 　．
9．（2014秋 东城区校级期中）已知函数f（x），若f（α），则cosα的值为　 　．
三．解答题（共6小题）
10．（2014春 泰山区校级期末）已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．
（1）若||（O为坐标原点），求与的夹角；
（2）若⊥，求点C的坐标．
11．（2011 辽宁模拟）如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，三角形AOB为直角三角形．
（1）求sin∠COA，cos∠COA的值；
（2）求cos∠COB的值．
12．根据条件利用单位圆写出θ的取值范围：
（1）cosθ；
（2）sinθ．
13．在单位圆中．α．
（1）画出角α；
（2）求角α的终边与单位圆的交点坐标．
14．（2009春 资阳期末）如图，已知A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，点B在第二象限，且△AOB为正三角形．
（Ⅰ）求sin∠COA；
（Ⅱ）求△BOC的面积．
15．画图：①利用单位圆寻找适合下列条件的0°到360°的角
1°sinα 2°tan
②求证：若0≤α1时，则sinα1＜sinα2．
期末热点.重难点 周期变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2023春 金溪县校级月考）已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为（a，b），若，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】单位圆与周期性．
【专题】三角函数的求值．
【答案】B
【分析】由已知得b＝﹣a，r，由此能求出cosα．
【解答】解：∵角α的终边与单位圆的交点的坐标为（a，b），，
∴b＝﹣a，r，
∴cosα．
故选：B．
【点评】本题考查角的余弦值的求法，是基础题，解时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．
2．（2019秋 清远期末）sin195°sin465°＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】单位圆与周期性；运用诱导公式化简求值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】结合诱导公式对已知进行化简，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：sin195°sin465°＝﹣sin15°sin105°＝﹣sin15°cos15°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的简单应用，属于基础试题．
3．（2021秋 沙市区校级期末）已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin，cos），则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】单位圆与周期性．
【专题】三角函数的求值．
【答案】D
【分析】利用单位圆的性质求解．
【解答】解：∵角α的终边与单位圆相交于点P（sin，cos），
∴sinα＝coscos（2）＝cos．
故选：D．
【点评】本题考查角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的灵活运用．
4．（2013 江岸区校级模拟）设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），角α+θ的终边与单位圆的交点为P2（y，﹣x），则下列说法中正确的是（　　）
A．sin（α+θ）＝sinα B．sin（α+θ）＝﹣cosα
C．cos（α+θ）＝﹣cosα D．cos（α+θ）＝﹣sinα
【考点】单位圆与周期性；终边相同的角．
【专题】三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义和题意，分别求出角α、α+θ的正弦值和余弦值，再对比答案项即可．
【解答】解：∵任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），
∴由三角函数的定义得，sinα＝y，cosα＝x，
同理sin（α+θ）＝﹣x，cos（α+θ）＝y，
则sin（α+θ）＝﹣cosα，cos（α+θ）＝sinα，
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5．（2010秋 朝阳区期末）如图，以Ox为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A，B点，则的值等于（　　）
A．sin（α+β） B．sin（α﹣β） C．cos（α+β） D．cos（α﹣β）
【考点】单位圆与周期性；终边相同的角．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】直接求出A，B的坐标，利用向量是数量积求解即可．
【解答】解：由题意可知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），
所以cosαcosβ+sinαsinβ＝cos（α﹣β）．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查向量的数量积的应用，两角差的余弦函数公式的推导过程，考查计算能力．
二．填空题（共4小题）
6．（2022秋 泉州期末）如图，在半径为1cm的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点A（1，0）出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过α弧度，黑蚂蚁每秒爬过β弧度（其中），两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点A．若两只蚂蚁的爬行速度大小保持不变，红蚂蚁从点A顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A逆时针匀速爬行，则它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程为 　　cm．
【考点】单位圆与周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】先求出α，β的值，再求出相遇的周期即可．
【解答】解：由题意，，∴，
又，，
即，∴k1＝2，k2＝3，
即，第一次相遇的时间为（秒），
第二次相遇的时间为出发后的第3×2＝6（秒），圆的半径为1，
黑蚂蚁爬过的路程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了单位圆的性质以及弧长公式，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
7．（2014秋 扬州期末）已知A（xA，yA）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B（xB，yB），已知m＞0，若myA﹣2yB的最大值为3，则m＝　1　．
【考点】单位圆与周期性．
【专题】三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】设A（cosα，sinα），则B[cos（α），sin（α）]，则myA﹣2yB＝msinα﹣2sin（α）sin（α+θ），从而得到3，由m＞0，解得m．
【解答】解：因为A（xA，yA）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，
∴设A（cosα，sinα），则B[cos（α），sin（α）]，
即xA＝cosα，yB＝sin（α），
则myA﹣2yB＝msinα﹣2sin（α）
＝msinα﹣2（sinαcosα）
＝（m﹣1）sinαcosα
sin（α+θ），
∵m＞0，myA﹣2yB的最大值为3，∴3，由m＞0，解得m．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要注意单位圆、三角函数的性质的合理运用．
8．（2014春 烟台期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为．若将点B沿单位圆逆时针旋转到达A点，则点A的坐标为　（）　．
【考点】单位圆与周期性．
【专题】三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出点B的坐标，将点B沿单位圆逆时针旋转到达A点，利用两角和与差的三角函数即可求出点A的坐标．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆交于B点，
且点B的纵坐标为，
∴sinα，cosα
将点B沿单位圆逆时针旋转到达A点，
点A的坐标A（cos（），sin（）），即A（﹣sinα，cosα），
∴A（）
故答案为：（）．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
9．（2014秋 东城区校级期中）已知函数f（x），若f（α），则cosα的值为　　．
【考点】单位圆与周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意利用二倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式，求得cosα的值．
【解答】解：∵函数f（x），
若f（α）
＝sin（α）+cos（α）[ sin（α）cos（α）]
sin（α）cosα，
则cosα，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．
三．解答题（共6小题）
10．（2014春 泰山区校级期末）已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．
（1）若||（O为坐标原点），求与的夹角；
（2）若⊥，求点C的坐标．
【考点】单位圆与周期性；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】平面向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知得，从而cosy，由此能求出与的夹角．
（2）（x﹣2，y），（x，y﹣2），由得，由此能求出点C的坐标．
【解答】解：（1），，．
且x2+y2＝1，（2+x，y），
由||，得（2+x）2+y2＝7，
由，联立解得，x，y．（2分）
cosy，（4分）
所以与的夹角为30°或150°．（6分）
（2）（x﹣2，y），（x，y﹣2），由得，0，
由，解得或，（10分）
所以点C的坐标为（，）或（）．（12分）
【点评】本题考查两向量的夹角的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的合理运用．
11．（2011 辽宁模拟）如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，三角形AOB为直角三角形．
（1）求sin∠COA，cos∠COA的值；
（2）求cos∠COB的值．
【考点】单位圆与周期性；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义，先找出x，y，r，代入公式计算．
（2）利用∠AOB＝90°，cos∠COB＝cos（∠COA+90°）＝﹣sin∠COA．
【解答】解：（1）∵A点的坐标为，
根据三角函数定义可知，，r＝1；（3分）
∴，．（6分）
（2）∵三角形AOB为直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
又由（1）知sin∠COA，cos∠COA；
∴cos∠COB＝cos（∠COA+90°）＝﹣sin∠COA．（12分）
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式cos（θ）＝﹣sinθ 的应用．
12．根据条件利用单位圆写出θ的取值范围：
（1）cosθ；
（2）sinθ．
【考点】单位圆与周期性．
【专题】作图题；数形结合；综合法；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，画出单位圆，得出单位圆中cosθ，sinθ，再根据不等式求出θ的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图所示，
在单位圆中cosθ，
且cosθ在[0，2π]的角是θ，
∴θ的取值范围是：2kπ＜θ2kπ，k∈Z；
（2）根据题意，画出图形，如图2所示，
在单位圆中，sinθ，
∴sinθ在[0，2π]的角是θ，或θ，
∴θ的取值范围是：2kπ≤θ2kπ，或2kπ＜θ2kπ，k∈Z．
【点评】本题考查了利用单位圆中的三角函数线求满足条件的角的集合的应用问题，是基础题目．
13．在单位圆中．α．
（1）画出角α；
（2）求角α的终边与单位圆的交点坐标．
【考点】单位圆与周期性；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】画出图象，结合图象以及三角函数线即可求解结论．
【解答】解：（1）如图：
其中∠xoP；
（2）P（cos，sin），即（，）．
【点评】本题考查了单位圆中的三角函数线的应用，是基础题目．
14．（2009春 资阳期末）如图，已知A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，点B在第二象限，且△AOB为正三角形．
（Ⅰ）求sin∠COA；
（Ⅱ）求△BOC的面积．
【考点】单位圆与周期性；任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）由三角函数在单位圆中的定义可以知道，当一个角的终边与单位圆有交点时，交点的纵坐标就是角的正弦值．
（II）根据第一问所求的角的正弦值和三角形是一个等边三角形，利用两个角的和的正弦公式得到这个角的正弦值，根据正弦定理做出三角形的面积．
【解答】解：（I）由三角函数在单位圆中的定义可以知道，
当一个角的终边与单位圆的交点是，
∴sin∠COA，
（II）∵∠BOC＝∠BOA+∠AOC，
∴sin∠BOC，
∴三角形的面积是1×1．
【点评】本题考查单位圆和三角函数的定义，是一个基础题，这种题目解题的关键是正确使用单位圆，注意数字的运算不要出错．
15．画图：①利用单位圆寻找适合下列条件的0°到360°的角
1°sinα 2°tan
②求证：若0≤α1时，则sinα1＜sinα2．
【考点】单位圆与周期性．
【专题】数形结合法；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】画出图形，结合单位圆中表示正弦线、余弦线以及正切线的有向线段，即可得出正确的结论．
【解答】解：①，
1°画出图形，如图所示，利用单位圆得：
满足sinα 在0°到360°的角是[30°，150°]；
2°画出图形，如图2所示，利用单位圆得：
满足tan在0°到360°的角是（30°，90°）∪（210°，270°）；
②证明：画出图形，如图3所示，
∠COM＝α1，∠DON＝α2，sinα1＝MC，sinα2＝DN，
∵0≤α1，
∴MC＜ND，
即sinα1＜sinα2．
【点评】本题考查了利用单位圆以及三角函数线求角的取值范围的问题，以及利用角判断三角函数值的大小的应用问题，是基础题目．
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