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期末热点.重难点 三角函数的简单应用
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 兴化市期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心O到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置P0是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于t的函数．当t∈R时，h（t）＝（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 溧阳市期末）如图，将边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴时，又以B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C滚动时的曲线方程为y＝f（x），则下列说法错误的为（　　）
A．
B．f（2024）＝1
C．
D．f（x）在区间[2023，2025]内单调递增
3．（2024秋 沙坪坝区校级期末）函数f（x）＝sinx，若方程f（x）﹣4f2（x）＝a在内有两个不同的解，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 天心区校级期末）某地区2024年全年月平均温度y（单位：℃）与月份t之间近似满足k（A＞0，﹣π＜φ＜0）．已知该地区2月份的月平均温度为﹣1℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（　　）
A．﹣12℃ B．﹣10℃ C．﹣9℃ D．﹣6℃
5．（2024 辽宁）如图为一个摩天轮示意图，该摩天轮圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60s转动一周．图中OA与地面垂直，从OA开始逆时针转动，经过ts到达OB．设B点与地面的距离为hm．若h与t的函数解析式为，其中ω＞0，则ω的值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 泰州期末）如图，摩天轮的半径为40m，其中心O点距离地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（　　）
A．转动10min后点P距离地面10m
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第17min和第43min点P距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于70m的时间为5min
（多选）7．（2024秋 西湖区校级期末）已知函数f（x）＝min{sinx，cosx}，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）关于直线对称
B．f（x）的最大值为
C．f（x）在上不单调
D．在（0，2π），方程f（x）＝m（m为常数）最多有4个解
（多选）8．（2024秋 新蔡县校级期末）如图，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度为5km/h，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．设，，则（　　）
A．函数v＝f（u）为增函数
B．15t﹣u﹣4v＝36
C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少
D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间超过3h
（多选）9．（2024秋 东西湖区校级期末）如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数）．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，φ），则下列结论正确的是（　　）
A．A＝3 B．
C． D．b＝﹣0.8
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 仓山区校级期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是　 　．
11．（2024秋 陕西校级期末）已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，t∈[0，24），且这天的最大温差为8℃，则A＝ 　 　；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 　 　h．
12．（2024秋 烟台期末）某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，24min转动一圈．若该摩天轮上一吊箱B（视为质点）从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为　 　（单位：min）
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 连云港期末）如图，在半径为4，圆心角∠AOB为变量的扇形OAB内作一内切圆Q，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆Q外切的小圆P，设圆P的半径为y．
（1）求y关于θ的函数关系式；
（2）求y的最大值．
14．（2024秋 安庆期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）图象的对称中心坐标；
（3）当时，方程有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2，求sin（x2﹣x1）的值．
15．（2024秋 邵阳期末）已知函数的最小正周期是π，将f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称．
（1）求函数f（x）的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程；
（2）若x1，，且f（x1）＝f（x2），求f（x1+x2）的值．
期末热点.重难点 三角函数的简单应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 兴化市期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心O到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置P0是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于t的函数．当t∈R时，h（t）＝（　　）
A． B．
C． D．
【考点】三角函数应用．
【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图象与性质；数学抽象；数学建模；运算求解．
【答案】A
【分析】先由题意得到，进而得到tmin后，以Ox为始边，OP为终边的角，从而得到点P的纵坐标为，即P距地面的高度函数求解．
【解答】解：由题意得，而是以Ox为始边，OP0为终边的角，
由OP在tmin内转过的角为，可知以Ox为始边，
OP为终边的角为，则点P的纵坐标为，
所以点P距地面的高度为，
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的实际应用，属于中档题．
2．（2024秋 溧阳市期末）如图，将边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴时，又以B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C滚动时的曲线方程为y＝f（x），则下列说法错误的为（　　）
A．
B．f（2024）＝1
C．
D．f（x）在区间[2023，2025]内单调递增
【考点】三角函数应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意，根据正方形的运动关系得到当x＝0，1，2，3，4时所对应的函数值，推出函数f（x）的周期性，进而可判断选项A和选项B；易得当2＜x≤3时，C的轨迹是以（2，0）为圆心，1为半径的的圆，得到圆的方程，进而可判断选项C；根据函数周期性以及f（x）≥0恒成立，进而可判断选项D．
【解答】解：已知四边形ABCD是边长为1的正方形，
所以正方形ABCD的对角线AC，
若由正方形的滚动轨迹得到当x＝0时，C位于点（0，1），即f（0）＝1，
当x＝1时，C位于点（1，），即f（1），故选项A正确；
当x＝2时，C位于点（2，1），即f（2）＝1，
当x＝3时，C位于点（3，0），即f（3）＝0，
当x＝4时，C位于点（4，1），即f（4）＝1，
所以f（x+4）＝f（x），
则f（x）的周期为4，
此时f（2024）＝f（4×506）＝f（0）＝1，故选项B正确；
可得f（）＝f（4）＝f（），f（）＝f（10）＝f（2）＝f（），
当2＜x≤3时，C的轨迹是以（2，0）为圆心，1为半径的的圆，
此时圆的方程为（x﹣2）2+y2＝1（2＜x≤3，y≥0），f（）≠f（），故选项C错误；
易知f（x）≥0恒成立，
而f（2023）＝f（2020+3）＝f（3）＝0，f（2025）＝f（2024+1）＝f（1），
所以函数f（x）在区间[2023，2025]单调递增，故选项D正确．
故选：C．
【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理和运算能力．
3．（2024秋 沙坪坝区校级期末）函数f（x）＝sinx，若方程f（x）﹣4f2（x）＝a在内有两个不同的解，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】三角函数应用；由函数的零点求解函数或参数．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】设f（x）＝t，画出函数f（x）＝sinx图象，分类讨论，将题意转化为函数y＝a与y＝﹣4t2+t交点个数问题，根据二次函数性质求解即可．
【解答】解：当时，f（x）＝sinx的图象如图所示，
则f（x）＝sinx∈（0，1]，
令f（x）＝t，则方程为t﹣4t2＝a，t∈（0，1]，
又，
当时，若方程f（x）﹣4f2（x）＝a在内有两个不同的解，
只需t﹣4t2＝a只有一解，
即函数y＝a与y＝﹣4t2+t，只有一个交点，
又函数y＝﹣4t2+t在上单调递减，
所以，即，当t＝1时，a＝﹣4+1＝﹣3，
方程4f2（x）﹣f（x）﹣3＝0的解为f（x）＝1和，
当f（x）＝1时，，当时，无解，
显然方程4f2（x）﹣f（x）+a＝0只有一解，不合题意；
当时，，方程的解为和，
当时，，当时，无解，
显然方程4f2（x）﹣f（x）+a＝0只有一解，不合题意；
当时，若方程4f2（x）﹣f（x）+a＝0在内有两个不同的解，
只需4t2﹣t+a＝0有两个不同的解，
即函数y＝a与y＝﹣4t2+t，有两个不同的个交点，
又函数y＝﹣4t2+t在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图像与性质，属于中档题．
4．（2024秋 天心区校级期末）某地区2024年全年月平均温度y（单位：℃）与月份t之间近似满足k（A＞0，﹣π＜φ＜0）．已知该地区2月份的月平均温度为﹣1℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（　　）
A．﹣12℃ B．﹣10℃ C．﹣9℃ D．﹣6℃
【考点】三角函数应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】由题意可得，可求得，进而根据已知可得A+k＝32，A﹣2k＝2，可求得解析式，进而可求得t＝12时的函数值，可得结论．
【解答】解：由题意该地区2024年全年月平均温度y（单位：℃）与月份t之间近似满足k（A＞0，﹣π＜φ＜0），且全年月平均温度最高的月份为6月份，
可得直线t＝6是曲线的一条对称轴，
可得，k∈Z，
解得，k∈Z，
又因为﹣π＜φ＜0，
所以，
可得，
因为全年月平均温度的最大值为32℃，
所以A+k＝32①，
又当t＝2时，y＝﹣1，
所以，
所以A﹣2k＝2②，
由①②解得A＝22，k＝10，
所以，
可得当t＝12时，℃．
故选：A．
【点评】本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
5．（2024 辽宁）如图为一个摩天轮示意图，该摩天轮圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60s转动一周．图中OA与地面垂直，从OA开始逆时针转动，经过ts到达OB．设B点与地面的距离为hm．若h与t的函数解析式为，其中ω＞0，则ω的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数应用．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】根据函数的周期T＝60求解即可．
【解答】解：由题意从OA开始逆时针转动，60s转动一周，
所以函数的周期T＝60，
即60，
所以ω．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的周期公式，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 泰州期末）如图，摩天轮的半径为40m，其中心O点距离地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（　　）
A．转动10min后点P距离地面10m
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第17min和第43min点P距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于70m的时间为5min
【考点】三角函数应用．
【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学建模；直观想象；运算求解．
【答案】AC
【分析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点 P 上升的高度，求出点P距离地面的高度，再一一判断即可．
【解答】解：∵摩天轮20min 转一圈，
∴在 t（min） 内转过的角度为 ，
建立平面直角坐标系，如右图，
设 φ（0 φ 2π） 是以 x 轴正半轴为始边，OP0（P0表示点 P 的起始位置 ） 为终边的角，
以x轴正半轴为始边，OP 为终边的角为 ，
即点 P 的纵坐标为 ，
又由题知，P点起始位置在最高点处，
∴
∴P 点距地面高度h关于旋转时间t的函数关系式为：
即
当 t＝10min 时，h＝10，故 A 正确；
若摩天轮转速减半，T＝40，则其周期变为原来的 2 倍，故 B 错误；
第17min P 点距安地面的高度为
第20min P 点距离地面的高度为
第17min和第43min时 P 点距离地面的高度相同，故 C 正确；
摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m，
即 ，
即 ，∵0≤t≤20，
得 ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
共 ，故 D 错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立符合条件的坐标系，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后由三角函数中的相关知识进行求解，是中档题．
（多选）7．（2024秋 西湖区校级期末）已知函数f（x）＝min{sinx，cosx}，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）关于直线对称
B．f（x）的最大值为
C．f（x）在上不单调
D．在（0，2π），方程f（x）＝m（m为常数）最多有4个解
【考点】三角函数应用；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性；余弦函数的单调性．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】BCD
【分析】由题可得，即可得函数图象，结合函数图象逐项判断即可得解．
【解答】解：若sinx＜cosx，则，
即，即，k∈Z，
故，k∈Z，
故其图象如图所示：
对A：由图象可得f（x）不关于直线对称，故A错误；
对B：由图象可得f（x）的最大值为，故B正确；
对C：当时，，
则f（x）在上单调递增，在上单调递减，故C正确；
对D：由图象，当时，方程f（x）＝m在（0，2π）有4个解，
在时，方程f（x）＝m在（0，2π）少于4个解，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查正余弦函数图像以及性质，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 新蔡县校级期末）如图，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度为5km/h，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．设，，则（　　）
A．函数v＝f（u）为增函数
B．15t﹣u﹣4v＝36
C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少
D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间超过3h
【考点】三角函数应用．
【专题】整体思想；定义法；三角函数的求值；逻辑思维．
【答案】BCD
【分析】先求出u，v的关系，得v＝f（u），判断单调性；
列出时间t关于x的函数，再转化为u，v的式子，可判断B；
利用u，v与x的关系，把t表示为v的函数，可求最小值；
作差t﹣3可比较t与3的大小．
【解答】解：对于A，因为，v，
∴，x，
由题意uv＝4，v在（0，+∞）上是减函数，A错误．
对于B，t，
整理得15t＝u+4v+36，B正确；
对于C，由A、B得15t＝u3636＝44，u即u＝4时取等号，
由，解得，C正确；
对于D，x＝4时，，t﹣3，t＞3，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查三角函数综合应用，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 东西湖区校级期末）如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数）．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：s）之间的关系为d＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，φ），则下列结论正确的是（　　）
A．A＝3 B．
C． D．b＝﹣0.8
【考点】三角函数应用；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】函数思想；数学模型法；三角函数的图象与性质；数学建模；运算求解．
【答案】AC
【分析】由题意可得A、T、ω和b、sinφ的值，即可判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，所以T40，
所以ω，选项B错误；
振幅A为筒车的半径，即A＝3，所以选项A正确；
由题意，t＝0时，d＝0，即0＝3sinφ+b，b＝2.2，即sinφ，选项C正确、选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，重点考查了y＝Asin（ωx+φ）+b的图象与性质，是基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 仓山区校级期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是　17　．
【考点】三角函数应用．
【专题】应用题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值；数学建模．
【答案】17．
【分析】根据给定条件，设乙家庭转动tmin出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，借助对称性求出t，再结合两个相邻座舱对应弧所对圆心角即可得解．
【解答】解：设乙家庭转动tmin出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，0＜t≤10，只需考查旋转的第一周内即可，
而摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱tmin转过的弧度数为t，
摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为，甲家庭的座舱转过的弧度数为t，
依题意，甲乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则tt＝2π，
整理得k＝48t+1≥17，当且仅当t＝10时取等号，
所以k的最小值是17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
11．（2024秋 陕西校级期末）已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，t∈[0，24），且这天的最大温差为8℃，则A＝ 　4　；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 　6　h．
【考点】三角函数应用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】4；6．
【分析】根据f（t）的最大值和最小值，结合最大温差，即可求得A；令f（t）≥30，求解三角不等式，即可求得降温的时长．
【解答】解：对于函数，其最小正周期，最大值为A+28，最小值为﹣A+28，
因为这天的最大温差为8℃，
所以（A+28）﹣（﹣A+28）＝2A＝8，解得A＝4；
令f（t）≥30，则，即，
因为t∈[0，24），所以∈[，），
所以或，解得，
所以一天中需要降温的时长为：小时．
故答案为：4；6．
【点评】本题考查三角函数的实际应用，熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．（2024秋 烟台期末）某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，24min转动一圈．若该摩天轮上一吊箱B（视为质点）从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为　40　（单位：min）
【考点】三角函数应用．
【专题】计算题；应用题；转化思想；分析法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】40
【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令h＝158即可求出答案．
【解答】解：根据题意，以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
不妨设吊箱B离地面的高度为h，则有：
，
令h＝158，可以得到，
∴有或，k∈Z，
∴解得t＝8+24k或t＝16+24k，k∈Z，
∵吊箱B第4次达到158m，
∴当t＝40时，吊箱B第4次距离地面158m．
故答案为：40．
【点评】本题考查三角函数的实际应用，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 连云港期末）如图，在半径为4，圆心角∠AOB为变量的扇形OAB内作一内切圆Q，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆Q外切的小圆P，设圆P的半径为y．
（1）求y关于θ的函数关系式；
（2）求y的最大值．
【考点】三角函数应用．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）设圆Q的半径为x，圆P切OA于D，圆Q切OA于E，根据三角函数得到方程，求出，进而得到；
（2）在（1）的基础上，换元得到，求导，得到函数单调性，进而求出最值．
【解答】解：（1）因为圆P的半径为y，设圆Q的半径为x，圆Q切OA于E，圆P切OA于D，
在直角三角形OPD中，，
在直角三角形OQE中，，所以．
；
（2）设，根据，那么，所以，
所以导函数，
当时，导函数y′＜0，当时，导函数y′＞0，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此当，即时，函数取得最大值为．
【点评】本题考查三角函数的综合应用，属于中档题．
14．（2024秋 安庆期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）图象的对称中心坐标；
（3）当时，方程有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2，求sin（x2﹣x1）的值．
【考点】三角函数应用；正弦函数的奇偶性和对称性；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由最大值和最小值求得A，B的值，由以及可得ω的值，再由最高点可求得φ的值，即可得f（x）的解析式；
（2）由正弦函数的对称中心，利用整体代入法可得f（x）对称中心；
（3）根据方程在上有两个不相等的实数根x1，x2，可得，结合角的范围及诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：（1）由图象知A＝2，B＝1，又，
故T＝π，ω＝2，
由图象可知，得，
由于，故，．
（2）令，解得，
所以函数f（x）的对称中心为．
（3）由可得，
又方程在有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2，
所以，所以，
且，
又，即，
所以，
所以cos（2x1），
又，
即sin（x2﹣x1）的值为．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，还考查了同角基本关系的应用，属于中档题．
15．（2024秋 邵阳期末）已知函数的最小正周期是π，将f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称．
（1）求函数f（x）的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程；
（2）若x1，，且f（x1）＝f（x2），求f（x1+x2）的值．
【考点】三角函数应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）对称中心为（，0），对称中心为x，k∈Z；
（2）．
【分析】（1）结合周期求ω，结合三角函数图象的平移变换及奇函数性质可求φ，然后结合正弦函数的对称性即可求解；
（2）结合正弦函数的对称性即可求解．
【解答】解：（1）∵函数的最小正周期是π，
∴，f（x）＝sin（2x+φ），
将f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为为奇函数，
则，即，∵，
∴，，
令，则，k∈Z；
令，则，k∈Z，
∴y＝f（x）的图象的对称中心的坐标为，k∈Z，对称轴的方程为，k∈Z．
（2）若，则，
而y＝sint在上递增，在上递减，
若x1，且f（x1）＝f（x2），
则，
可得，
∴．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分函数的性质求解函数解析式，还考查了正弦函数单调性及对称性的应用，属于中档题．
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