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2024-2025学年广东省领航高中联盟高二下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二项式展开式中的第项为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.若X~N(8,),且P(X10)-P(6< X8)=0.4,则P(X6)=（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.45 D. 0.5
5.某智能机器人需执行包含个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行顺序可以互换，指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为( )
A. B. C. D.
6.为庆祝六一儿童节，某幼儿园进行趣味游戏，游戏规则是箱子中有大小相同的个白色乒乓球和个橙色乒乓球，小朋友每次从箱子随机取出个乒乓球，确定颜色后再放回箱子，然后再取球，直到连续次取出白色乒乓球后停止取球，且最多取球次，每取球次给取球的小朋友发放个节日礼品，则小朋友获得个节日礼品的概率为( )
A. B. C. D.
7.记为首项为的数列的前项和，且，则( )
A. B. C. D.
8.过点作曲线的切线，若切线有条，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是定义在上的可导函数，则( )
A. 若，则是增函数
B. 若，则是的极值点
C. 若，则
D. 若，则是减函数
10.已知随机变量满足，则附：( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则
D. 当取得最小值时，
11.若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则( )
A. 若，则是“平衡数”为的平衡数列
B. 若，，则不是平衡数列
C. 若，则是平衡数列
D. 若，且，则是“平衡数”为的平衡数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若X~B(5,p)(p>),且D(X)=,则p= .
13.的展开式中的系数为 ．
14.如图为一个正八面体，用事件表示“从正八面体的所有顶点中任取个点，这个点恰好共面”，若事件满足，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且．
求的值
从，，，，中任取个数字，求这个数字之积为正数的取法种数．
16.本小题分
某市环保部门推行垃圾分类，对某社区进行督导检查该社区由甲、乙两个小区组成，甲小区有居民户，乙小区有居民户已知甲小区居民参加过培训，每户正确垃圾分类的概率为，乙小区尚未开展培训，每户正确垃圾分类的概率为．
若从该社区中随机抽查一户，求抽到的一户能正确垃圾分类的概率
在重点检查中环保部门对甲小区产生的袋垃圾进行核查，已知这袋中有袋正确分类，现从中随机抽取袋，求抽取的袋中正确分类与没有正确分类的至少各有袋的概率．
17.本小题分
已知数列的前项和为，，．
求的通项公式
若，，，，，，成等比数列，求的前项和．
18.本小题分
某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立．
从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率
若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望
若从某一批次的产品中随机抽取件，记抽到的零部件的次品数为，且为奇数的概率为，求使的的最大值．
注：．
19.本小题分
已知函数．
若，求在区间上的最大值
若，且图象上任意两点连线的斜率都小于，求的取值范围
若，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.C
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，，
则，
所以．
由知，，，，，为正数，，，，为负数，
所取个数的积为正数，则所取的个数全是正数，或全是负数，
故符合条件的取法种数为．
16.解：用事件表示“抽到甲小区的一户”，事件表示“抽到乙小区的一户”，
事件表示“能正确垃圾分类”，事件表示“抽到的一户能正确垃圾分类”．
则，，，，
所以．
袋中正确分类与没有正确分类的至少各有袋，则正确分类的有袋或袋，
所以所求概率为．
17.解：中令，得，
所以，
因为，
整理得，
当时，，
所以时，是常数列，且，
所以，
又也满足上式，
所以．
因为，，，，，，成等比数列，且，，
所以该数列的第项为，
因为是数列的第项，
所以，
所以，
．
18.解：从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数，
则次品数为件或件，
所以所求概率为．
设抽取的零部件次品数为，则，
所以的取值依次为，，，
，
，
所以的分布列为
．
由题意得，
为奇数的概率为，则为偶数的概率为，
设，
则，
，
以上两式相减得，
所以
由得，
所以，，
所以，
所以的最大值为．
19.解：当时，，，
当时，，，
当时，，，，
当时，，，，
综上得，时，，单调递增，
所以在区间上的最大值为．
当时，，
设，是图象上任意两点，
则，所以，
设，则在区间上单调递减，
所以，
因为，所以，
即的取值范围是
由得，设，
则，
设，则，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
因为，，所以时，，，单调递增，．
当时，设，
则，
所以在区间上单调递增，
所以，即，
所以，的最小值为．
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