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2024-2025学年湖北省新八校协作体高二下学期 5月联考
数学试卷(B卷)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 的分布列为：
1 0 1
1 1
2 3
若随机变量 = 2，则 ( = 1)等于( )
A. 1 2 1 16 B. 3 C. 2 D. 3
2 .记 为递减等差数列{ }的前 项和，若 5 + 9 = 20， 4 10 = 64，则 = ( )．
A. 23 B. 23 C. 23 2 D. 2 23
3.黄石二中杰出校友何小鹏的小鹏汽车生产的 2025 款小鹏 9 加速度表现出众，其中四驱高性能 版的
0 100 / 加速时间仅需 3.5 秒.若某款车的速度 关于时间 的函数为 = 2.6 1(0 ≤ ≤ 3.5)，则 = 2
秒时的加速度为( )．
2
A. 5.2 B. 2.62 1 C. 2.6ln2.6 D. 2.6
2ln2.6
4.某班组织同学到社区志愿服务，某小组共有 4 名男生和 5 名女生，该小组需要选出 3 名同学参加，若选
出的同学中既有男生又有女生，则不同的安排方法有( )种．
A. 35 B. 84 C. 70 D. 140
5 1.已知 是抛物线 = 24 的焦点， 是该抛物线上一动点，则线段 的中点 的轨迹方程是( )．
A. 2 = 2 18 B.
2 = 2 1 216 C. = 2 1 D.
2 = 2 2
6 1.共有 20 张彩票，其中有 2 张中奖彩票，从中任取 张，要使这 张彩票中至少有一张中奖的概率大于2，
至少为( )．
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.连续型随机变量 ( 1 14 , 4 )，令函数 ( ) = ( ≥ )，则下列选项正确的是( )．
A. ( 1 ) = 14 4 B. ( )是增函数
C. ( )的图象关于 = 14轴对称 D. ( )
1 1
的图象关于点( 4 , 2 )中心对称
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8 1.若对于任意的 ∈ [ , ]，总存在唯一的 ∈ [ 1,1]使得 ln + = (
2 + 1) 成立( ≈ 2.718)，则
实数 取值范围是( )．
A. [ + 3 1, + 1] B. ( +
3
1, + 1]
C. [ , + 1] D. ( , + 1]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一个袋子中放有 5 个不同的红球和 3 个不同的黄球，现从中逐个摸取 3 个小球。方案一：有放回地
摸球，记取得红球个数为 ;方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为 .下列说法中，正确的有( )
A. ( = ) = ( 5 ) ( 3 )3 3 8 8 ， = 0，1，2，3
B. ( ) = ( )
C. ( = ) < ( = )，其中 = 0，1，2，3
D. ( ) > ( )
10.已知数列{ }满足 1 = 1， = 1 + +1，其前 项和为 ，其前 项积为 ，则下列选项正确的是( )．
A. 6 2025 = 1 B. = 16 2
C. 3 +2 3 = 1 D.
2025
2025 2025 = 2
11.在平面直角坐标系 中， 为曲线 : ( 2 + 2)3 = 2 2( > 0)上任意一点，则( )．
A.曲线 关于原点中心对称 B. 与曲线 = 1 有 4 个公共点
C. 点不可能在圆 : 2 + 2 = 1 2 34外 D. 到 轴的最大距离为 9
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若 = 3 515 15 ，则 = ．
13.已知圆 : 2 + 2 = 1 和点 (3,4)，由圆外一点 向圆 引切线，切点分别为 、 ，若| | = | | = | |，
则| |的最小值是 ．
14.已知不等式 + 2 ≤ + 2 对任意 ≥ 1 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
( 2已知 )
的展开式的二项式系数和为 64．
(1)求展开式中含 2的项的系数; (结果用数字作答)
(2)求展开式中系数绝对值最大的项．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + ln .
(1)当 = 1 时，求 ( ) ≥ 0 的解集;
(2)当 ∈ 时，求 ( )的单调区间．
17.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 + 2 + 1，在数列{ }
1
中， = 2 31 ，满足 2
+1
+1 + = (
1 2
) ．
(1)求数列{ }的通项公式;
(2) 1证明：数列{ +2 ( 2 ) }为等比数列;
(3) 5求数列{ }的前 项和 ，并证明8 ≤ ≤ 1.
18.(本小题 17 分)
甲和乙一起玩游戏，在不透明的盒子内放若干白球和黑球，每次摸一个球，每个球被摸到的概率相同，当
每次从盒子中随机摸到一个球后，将球放回盒子里，并添加同样颜色的球 ( ∈ )个一起放回盒子里，设事
件 =“第 次摸到白球”．
(1)现在甲、乙分别从 、 两个盒子中摸球， 盒中有 10 个白球和 30 个黑球， 盒中有 5 个白球和 20 个
黑球， = 3，请计算甲和乙第二次摸到白球的概率分别为多少，并比较大小;
(2)甲和乙经过多次游戏，猜测不论初始时盒子里的白球黑球个数为多少，每次摸到白球的概率都相同.请通
过计算验证他们的猜测是否正确;
(3)若初始有 个白球和 个黑球，求第 次摸球后，累计摸到白球个数的期望. (用 ， ， 表示)．
(附：若随机变量 服从两点分布，且 ( = 1) = 1 ( = 0) = ， = 1，2， ， (

=1 ) =

=1 )
19.(本小题 17 分)
2 2
已知 ( 2, 0)、 ( 2, 0) 分别为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左右顶点， 为椭圆 上异于 、 的动点，
1
且直线 和直线 的斜率之积为 2．
(1)求椭圆 的方程;
(2)若直线 : = 2，直线 交 于点 ，直线 与 交于点 ，椭圆 在点 处的切线 ′与 交于 ，求证：

2 2
= 1 4
;
(3)求△ 面积 取最小值时 点的横坐标．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.135
14. ∈ { 2 } ∪ [ 2 2 , + ∞)
15.解：(1)由题意知二项式系数和为2 = 64，解得 = 6。
展开式通项为： = 6 ( 2) +1 6 = 6( 2) 6 2 ，令指数 6 2 = 2，解得 = 2。
此时系数为： 2 2 26 = 60;
(2)由通项公式可得， = 0,1,2, , 6 ，
展开式中各项系数的绝对值分别为
= 0: 0 = 1 × 1 = 1
= 1: 1 = 6 × 2 = 12
= 2: 2 = 15 × 4 = 60
= 3: 3 = 20 × 8 = 160
= 4: 4 = 15 × 16 = 240
= 5: 5 = 6 × 32 = 192
= 6: 6 = 1 × 64 = 64
故展开式中系数绝对值最大的项为 240 2 ．
16.解：(1)当 = 1 时，函数为 ( ) = 2 + ln ， ∈ 0, + ∞ ，
2
( ) = 2 + 1 1 = 2 + 1
2
则 ′ =
2 +1
，
2 2 + 1，判别式 = ( 1)2 4 × 2 × 1 = 7 < 0，
则 ′ < 0 在 ∈ 0, + ∞ 上恒成立，
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所以函数 ( )在(0, + ∞)单调递减，
又 (1) = 1 + 1 ln1 = 0，
所以 ∈ (0,1]时 ( ) ≥ 0，即 ( ) ≥ 0 的解集为(0,1]；
2
(2) 求导得 ′( ) = 2 + 1 =
2 +
；
设 = 2 2 + ，
= 1 8 ；
1
当 ≤ 0，即 ≥ 8， 0，故 ( )在(0, + ∞)单调递减；
当 > 0 1 1+ 1 8 1 1 8 ，即 < 8时， = 0 的两根为 1 = 4 ， 2 = 4 ，
0 < < 1 1 1 8 1+ 1 8 1 1 8 1+ 1 8 当 8时，则 ( )在 4 , 4 单调递增，在 0, 4 和 4 , + ∞ 上单调递减；
≤ 0 1+ 1 8 当 ，仅有一个正根 1 = 4 ，此时 ( ) (0,
1+ 1 8 ) ( 1+ 1 8 在 4 递增，在 4 , + ∞)递减．
1 1
综上得， ≥ 8， ( )的单调减区间为(0, + ∞)，无增区间；0 < < 8时， ( )的单调增区间为
1 1 8
4 ,
1+ 1 8 1 1 8 1+ 1 8
4 单调递增，单调减区间为 0, 4 和 4 , + ∞ ； ≤ 0， ( )的单调增区
(0, 1+ 1 8 1+ 1 8 间为 4 )，单调减区间为( 4 , + ∞)．
17.解：(1)由题意： = + 2 + 1，
当 = 1 时， = = 1 + 2 + 1 = 2，
当 ≥ 2 时， =
= ( + 2 + 1) [ ( 1) + 2( 1) + 1] = 2 + 3．
检验 = 1 时， = 2 × 1 + 3 = 1 ≠ 2，
2, = 1
故通项公式为： = ．
2 + 3, 2
(2)已知 2 1 +1 +1 + = ( 2 ) ，
1 1
∴ 2 +1 (2 )
+2 = + ( 2 )
+1
(1) +3
∴ 2( 1 +3 +1 ( 2 ) ) = ( (
1 ) +2 +1 2 = 12 ，即 1
．
( ) +2 22
又∵ 2 31 = ，1
∴ 2 = 2 × 2 + 3 = 1， 3 = 2 × 3 + 3 = 3，
∴ = 1 ( 3)1 2 = 1，
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∴ 1 (
1 )32 = 1
1
8 =
7
8，
∴数列{ ( 1 +2 7 1 2 ) }是以8为首项， 2为公比的等比数列．
(3) ( 1 ) +2 = 7 × ( 1由 1 2 8 2 ) ，
可得 = 7 8 × (
1
2 )
1 + ( 1 ) +22
∴ 7 1 1 1 +2 = =1 = =1 [ 8 × ( 2 ) + ( 2 ) ]，
= 7 × ( 1 ) 1 = ( 1设 =1 8 2 ， =1 2 )
+2．
对于 7 1 ，这是首项为8，公比为 2的等比数列的前 项和，

根据等比数列求和公式 =
1(1 )
1 ，
7 1 7 1可得 = 8 [1 ( 2 ) ] = 12 [1 ( 2 ) ].
对于 ，这是首项为(
1
2 )
3 1，公比为2的等比数列的前 项和，
1(1 1 ) 1 1
根据等比数列求和公式可得 = 8 2 =1 1 4
(1 2 )，
2
= + = 7 [1 ( 1 ) + 1 (1 1 ) = 5所以 12 2 4 2 6
7
12 (
1 1 1
2 ) 4 × 2 ．
当 为偶数时， =
5 7 1 1 1 5 5 16 12 × 2 4 × 2 = 6 6 × 2 ，
因为 为偶数，2 ≥ 4 1 1 5 5 5 1 5，0 < 2 ≤ 4，8 ≤ 6 6 × 2 < 6 ≤ 1；
= 5 + 7 × 1 1 × 1 = 5 1 1当 为奇数时， 6 12 2 4 2 6 + 3 × 2 ，
1 1 5 5 1 1因为 为奇数，2 ≥ 2，0 < 2 ≤ 2，6 < 6+ 3 × 2 ≤ 1.
5
综上，8 ≤ ≤ 1.
18.解：(1)甲从 盒摸球：初始白球 10，黑球 30，总 40 个，
由全概率公式，甲第二次摸到白球的概率为：
= 10 10+3 30 10 10 13+30 10 430 1 40 40+3 + 40 40+3 = 40 43 = 1720 = 4，
乙从 盒摸球：初始白球 5，黑球 20，总 25 个，
同理，乙第二次摸到白球的概率为：
= 5 5+3 + 20 5 = 5 8+20 5 = 140 = 1 25 25+3 25 25+3 25 28 700 5，
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1 1
比较大小： = 4 > = 5 ;
(2)设第 次摸球时盒子里有 个白球和 个黑球，

则 ( 11) = + ， ( 1) =
1
+ ; ( ) = + ， ( ) =

+ ，1 1 1 1
由全概率公式可得： ( +1) = ( ) ( +1| ) + ( ) ( +1| ) =
+
+
×
+ +
+ + × + + =

.所以 ( +1) = ( )，即每一次摸到白球的概率都相等． +
(3) 设 表示第 次摸到白球的次数(1 或 0)，其期望为 ( ) = + 。
累计摸到白球次数的期望：
=1 = =1 ( ) =

+ ．
19.解：(1)由已知得 = 2，设 ( , )，则
2
1 +
2 2 2
1 1 12 = 1，所以
1 = ，
2 2 21 2
2 1 1 1 1又 2 = + 2 2 = 2 = ，得 = 1，1 1 1 2 2
2
故椭圆方程为
2 +
2 = 1；
(2)由题意知椭圆 在点 ( 1, 1)处的切线斜率存在，可设切线 ′的方程为 1 = ( 1)，
2
联立直线 ′与椭圆 方程 + 2 = 1 消 得，(1 + 2 2) 2 + 4 ( 1 1) + 2( 21 1) 2 = 0，2
由直线 ′与椭圆相切，则△= 16 2( 1 1)2 4(1 + 2 2)[2( 1 21) 2] = 0，
化简得，(2 21) 2 + 2 21 1 + 1 1 = 0，
2 1 2
由
2
2 1 1 = 2 1 ，得 1，代入上式得 2 2 2 + 2 + 1 2 = 0，
2 + 1 = 1 2 2 1 1 1 2 12 1 = 2 1
= 1 1 解得 2 ，故 ′:
1
2 + 1 = 1，令 = 2，得 (2,
1
1
)，
1
: = 1 ( + 2) = 2 (2, (2+ 2) 直线 1 1+ 2 ，令 得 ;1+ 2
1
直线 : = 2 ( 2)
(2 2)
，令 = 2 得 (2, 1
1 1 2
;
(2 2) 1 + (2+ 2) 1 = 4( 1 1) 1 = 4( 1) 2(1 由 1 1 = 1) 1 2 1+ 2 21 2 2 2
，
1 1
故 为线段 的中点， = 1 ( + )2 1 ( )2 =
2
1
2
4 4 4
，得证．
(3)由 (2, (2+ 2) 1 , (2, (2 2) 1 )，得| | = | (2+ 2) 1 (2 2) 1 | = | 2 2( 1 2) 1 | 2 ，1+ 2 1 2 1+ 2 1 2 1 2
2 2 4
又 到直线 的距离为 = |2 |，所以△ 的面积 2 = 1 | |2 2 = 1 8( 1 2) 11 4 4 2 2 (2 1)
2 = 2 1 .令
( 1 2) 2
2
1
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(2 )4 2(2 )3 2 < < 2 ( ) = (
2+2 4)
( ) = 2 ， ，则 ′2 (2 2)2 ，
由 ′( ) = 0 解得 = 5 1，当 2 < < 5 1 时， ′( ) < 0， ( )在( 2, 5 1)上单调递减：
当 5 1 < < 2时， ′( ) > 0， ( )在( 5 1, 2)上单调递增：
故当 = 5 1 时，函数 ( )取最小值.即△ 面积 取最小值时 点的横坐标为 5 1．
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