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2024-2025 学年清华大学附属中学朝阳学校高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知函数 ( ) = cos sin ，则 ′ 2 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D.
2.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了 100 个用户，根据用户对产品的
满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为 1， 2，平均数分别为 1， 2，则( )
A. 1 > 2， 1 > 2 B. 1 > 2， 1 < 2
C. 1 < 2， 1 < 2 D. 1 < 2， 1 > 2
3 1 1 1.五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是3，4，5，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段
时间内至少有 1 人去厦门旅游的概率为( )
A. 59 3 1 160 B. 5 C. 2 D. 60
4.已知 = ′ 函数 = 的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是( )
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A. = 0 和 = 2 是函数 = 的两个零点
B.函数 = 的单调递增区间为 ∞,1
C.函数 = 在 = 0 处取得极小值，在 = 2 处取得极大值
D.函数 = 的最大值为 2 ，最小值为 0
5 1.在( + 2 )
的展开式中，若仅有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第( )项．
A. 3 B. 4 C. 2 或 3 D. 3 或 4
6.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投
3 1 3
进则后一球投进的概率为4；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为4 .若他第 1 球投进的概率为4，则他
第 2 球投进的概率为( )
A. 34 B.
5
8 C.
7 9
16 D. 16
7.唐老师有语文，数学等 6 本不同学科的练习册，平均分给 3 个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配
方法数为( )
A. 360 B. 180 C. 90 D. 60
8.已知函数 = ln + 2，那么“ > 0”是“ 在 0, + ∞ 上为增函数”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.设函数 ( )是 上可导的偶函数，且 (3) = 2，当 > 0，满足 2 ( ) + ′( ) > 1，则 2 ( ) < 18 的解
集为( )
A. ( ∞, 3) B. (3, + ∞)
C. ( 3,3) D. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞)
10.丹麦数学家琴生( )是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式
方面留下了很多宝贵的成果，设函数 在 , 上的导函数为 ′ ， ′ 在 , 上的导函数为 ′′ ，
若在 , 上 ′′ < 0 恒成立，则称函数 在 , 上为“凸函数”，以下四个函数在 0, 2 上不是凸
函数的是( )
A. = sin + cos B. = ln 2
C. = 3 + 2 1 D. =
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9
11 2.在 的二项展开式中，常数项为 . (用数字作答)
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12.已知随机变量 服从标准正态分布 0,1 ，对实数 > 0，若 ( > ) = 0.4，则 ≤ ≤ 0 = ．
13 4.某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为5，第二 第三门课程取得优秀
成绩的概率分别为 , ( > )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 为该生取得优秀成绩的课程数，
其分布列为：
0 123
6 24
125 125
则 + 的值为 ；则 + 的值为 ．
14.某莲藕种植塘每年的固定成本是 2 万元，每年最大规模的种植量是 10 万千克，每种植 1 千克莲藕，成
1 . ( ) = 1 3 + 5本增加 元种植 万千克莲藕的销售额 单位：万元 是 26 4 + ，则要使利润最大，每年需种
植莲藕 万千克．
15.在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站
成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有 种不同的站法．
16 sin .对于偶函数 = + ，下列结论中正确的是
3 4
①函数 在 = 2处的切线斜率为9 2；
② 0 ∈ 0, + ∞ ，使得 0 > 1；
③若 0 < 1 < 2 < ，则 1 < 2 ；
④若 ∈ 0, 22 ，都有 < 成立，则 的最大值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班
值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询(每个志愿者仅参与一类服务).参与 ， ， 三个社区的志愿者
服务情况如下表：
社区服务总人 服务类型
社区
数 现场值班值守 社区消毒 远程教育宣传 心理咨询
100 30 30 20 20
120 40 35 20 25
150 50 40 30 30
(1)从上表三个社区的志愿者中任取 1 人，求此人来自 社区，并且参与社区消毒工作的概率；
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(2)从上表三个社区的志愿者中各任取 1 人调查情况，以 表示负责现场值班值守的人数，求 的分布列；
(3)已知 社区心理咨询满意率为 0.85， 社区心理咨询满意率为 0.95， 社区心理咨询满意率为 0.9，“ = 1，
= 1， = 1”分别表示 ， ， 社区的人们对心理咨询满意，“ = 0， = 0， = 0”分别表示 ，
， 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差 ， ， 的大小关系. (只需写出结论)
18.(本小题 14 分)
已知函数 = 2 3 2 + ．
(1)若函数 在 = 1 处取得极小值 4，求实数 ， 的值；
(2)求 1在 3 ,
4
3 上的值域；
(3)已知 > 0，且函数 的极大值是 1，讨论函数 的零点个数．
19.(本小题 14 分)
在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践
活动.为了解某区教师对 , , , , 五类线上教育软件的使用情况每位教师都使用这五类教育软件中的某一
类且每位教师只选择一类教育软件.，从该区教师中随机抽取了 100 人，统计数据如下表，其中 > ， , ∈ ．
教育软件类型
选用教师人数 10 15 30
假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．
(1)若某校共有 300 名教师，试估计该校教师中使用教育软件 或 的人数；
(2)从该区教师中随机抽取 3 人，估计这 3 人中至少有 2 人使用教育软件 的概率；
(3)设该区有 3000 名教师，从中随机抽取 1 人，记该教师使用教育软件 或 的概率估计值为 1；该区学校
有 600 名教师，其中有 200 人使用教育软件 ，100 人使用教育软件 ，从学校 中随机抽取 1 人，该教
师使用教育软件 或 的概率值为 2；从该区其他教师除学校 外.中随机抽取 1 人，该教师使用教育软件
或 的概率估计值为 3.试比较 1， 2和 3之间的大小.结论不要求证明．
20.(本小题 14 分)
已知函数 = ln + 1 22
1
4．
(1)若曲线 = 在 = 1 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若函数 有两个极值点 1， 2，证明： + > 21 2 1．
21.(本小题 14 分)
已知数列 : 1, 2, , , 满足 1 = 0， +1 = + 1 = 1,2, , , ，数列 的前 项和记为 ．
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(1)写出 3的最大值和最小值；
(2)若 5 = 2，求 4的值；
(3)是否存在数列 ，使得 2022 = 1011？如果存在，写出此时 2023的值；如果不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 672
12.0.1
13.0.76 /1925；1
14.5
15.24
16.①④
17.解：(1)记“从三个社区的志愿者中任选 1 人，此人来自 社区，并且参与社区消毒工作”为事件 ，则
( ) = 30 3100+120+150 = 37 .所以从三个社区的志愿者中任选 1 人，此人来自 社区，并且参与社区消毒工作
3
的概率为37．
(2) 3从三个社区的志愿者中各任选 1 人，由题表可知： ， ， 三个社区负责现场值班值守的概率分别为10，
1 1
3，3．
的所有可能取值为 0，1，2，3．
( = 0) = 7 × 210 3 ×
2 28 14
3 = 90 = 45．
( = 1) = 3 2 2 7 1 2 7 2 1 40 410 × 3 × 3 + 10 × 3 × 3 + 10 × 3 × 3 = 90 = 9．
( = 2) = 310 ×
1
3 ×
2
3 +
3 2 1 7 1 1 19
10 × 3 × 3 + 10 × 3 × 3 = 90．
( = 3) = 310 ×
1 1 3 1
3 × 3 = 90 = 30．
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的分布列为
0 1 2 3
14 4 19 1
45 9 90 30
(3) ( ) > ( ) > ( ).
18.(1)因为 = 2 3 2 + ，所以 ′ = 6 2 2 ，
因为函数 在 = 1 处取得极小值 4，
′ 1 = 6 2 = 0 = 3
所以 ，解得 ,
1 = 2 + = 4 = 3
此时 ′ = 6 2 6 = 6 1 ，由 ′ = 0，得到 = 0 或 = 1，
当 < 0 或 > 1 时， ′ > 0，当 0 < < 1 时， ′ < 0，
则 在 ∞,0 和 1, + ∞ 上单调递增，在 0,1 上单调递减，
所以当 = 1 时， 取到极小值，符合题意．
所以 = 3, = 3．
(2) ′ = 6 2 2 = 2 3 ，令 ′ = 0 ，则 = 0 或 = 3，
若 = 0 时， ′ ≥ 0 恒成立，此时 在 ∞, + ∞ 上单调递增，
1 , 4 1 = 2 + 4 = 128 16 则 在 3 3 上单调递增，又 3 27 9 ， 3 27 9 + ，
此时 1在 3 ,
4 2 128 16
3 上的值域为 27 9 + , 27 9 + ，
因为当 = 0 时， 0 = ，由 2 3 2 + = ，得到 = 0 或 = 2，
2 3 2 3
当 = 3时， 3 = 27 × 9 + = 27 + ，
3 3 2
由 2 3 2 + = 27 +

，得到 2 3 2 + 27 = 0，即 3 2 + 3 = 0，

解得 = 6或 = 3，

若 > 0，当 < 0 或 > 3时， ′ > 0，当 0 < <

3时， ′ < 0，

所以 的单调递增区间为 ∞,0 ， 3 , + ∞ ；单调递减区间为 0, 3 ，
不妨假设 > 0，其图象如图 1，
1
当 3
≤ 6
4 ，此时 ∈ ；
3 ≤

2
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1 ≤
当 3 64 ，即 0 < ≤ 2 时，
3 > 2
1 , 4 1 2 在 3 3 上的最小值为 3 = 27 9 + ，
4 = 128最大值为 3 27
16
9 + ；
1 >
当 3 64 ，即 > 4 时，
3 < 3
又 43
1 = 128 16 2 130 5 3 27 9 + 27 9 + = 27 3 < 0，
所以 1 , 4 4 = 128 16 在 3 3 上的最小值为 3 27 9 + ，最大值为 0 = ，
13 >

6 8 ≤ ≤ 4 1 4
3
当 4 ，即3 时， 在 3 , 3 上的最小值为 3 = 27 + ，最大值为 0 = ，
3 ≤ 3 ≤ 2
1
当 3
> 6 3
4 ，即 2 < <
8
3时， 在
1 , 4 4 128 16 3 3 上的最小值为 3 = 27 + ，最大值为 3 = 27 9 + ，
3 > 2
若 < 0，当 < 3或 > 0 时， ′ > 0

，当3 < < 0 时， ′ < 0， 单调递减．

所以 的单调递增区间为 ∞, 3 ， 0, + ∞ ；单调递减区间为 3 , 0 ，不妨假设 > 0，其图象如图 2，
13 ≤
1 ≤
当 2 3 2
2
4 ，此时 ∈ ；当 4 ，即 3 ≤ < 0 时，
3 ≤ 6 3 > 6
1 , 4 1 2 4 128 16 在 3 3 上的最小值为 3 = 27 9 + ，最大值为 3 = 27 9 + ，
< 1 ≤ 2 3 3 <
1
当 ，此时 ∈ ；当 2 3
≤ 3
4 4 ，即 1 ≤ <
2 1 4
3时， 在 3 , 3 上的最小值为 0 = ，最
3 ≤ 6 3 > 6
4 128 16
大值为 3 = 27 9 + ，
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13 >

当 34 ，即 ≤ 8 时，又
4 1 = 128 16 2 130 5
≤ 3 3 27
9 + 27 9 + = 27 3 > 0，
3 6
1 , 4 0 = 4 128所以 在 3 3 上的最小值为 ，最大值为 3 = 27
16
9 + ，
13 >

3 8 < < 1 1 , 4 0 = 4 = 128 16 当 4 ，即 时， 在 3 3 上的最小值为 ，最大值为> 3 27 9
+ ，
3 6
综上，当 > 4 时， 1 , 4 128 16 在 3 3 上的值域为 27 9 + , ；
4 ≥ ≥ 8 1 4
3
当 3时， 在 3 , 3 上的值域为 27 + , ；
3
当 2 < < 8 1 4 128 163时， 在 3 , 3 上的值域为 27 + , 27 9 + ；
2 1 4 2 128 16
当 3 ≤ ≤ 2 时， 在 3 , 3 上的值域为 27 9+ , 27 9 + ；
当 1 ≤ < 2 1 4 128 16 3时， 在 3 , 3 上的值域为 , 27 9 + ；
当 8 < < 1 1 4 128 16 时， 在 3 , 3 上的值域为 , 27 9 + ；
≤ 8 1 , 4 128 16 当 时， 在 3 3 上的值域为 , 27 9 + ．
(3)由(2) 可知，当 > 0， 的单调递增区间为 ∞,0 ， 3 , + ∞ ；单调递减区间为 0, 3 ，
当 = 0 时，函数 取到极大值，即 0 = = 1 > 0，所以 = 2 3 2 + 1，
3 2 3 3 3
当 = 3时，函数 取到极小值，即
= 2 + 1 = 2 3 3 3 27 9 + 1 = 27 + 1，
又当 → ∞时， → ∞，当 →+∞时， →+∞，
3
所以当 27 + 1 > 0，即 0 < < 3 时， 有 1 个零点；
3
当 27 + 1 = 0，即 = 3 时， 有 2 个零点；

3
当 27 + 1 < 0，即 > 3 时， 有 3 个零点．
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19.解：(Ⅰ)由统计表知：
+ = 100 10 15 30 = 45，
若某校共有 300 名教师，则估计该校教师中使用教育软件 或 的人数为：
300 × 45100 = 135(人)．
(Ⅱ)设“从该地区教师中随机抽取 3 人.至少有 2 人使用教育软件 ”为事件 ，由题意，样本中 100 名教师
使用教育软件 的人数为 30 30 3人，频率为100 = 10，由频率估计概率，从该地区教师中抽取一名教师，该教
3
师使用软件 的概率为10，记被抽取的 3 人中使用软件 的人数为 ，则符合事件 的 的可能取值为 2，3，
∴估计这 3 人中至少有 2 人使用教育软件 的概率为：
( ) = ( = 2) + ( = 3)
= 2 3 2 3 3 3 33( 10 ) (1 10 ) + 3( 10 )
= 27125
(Ⅲ)设该区有 3000 名教师，从中随机抽取 1 人，记该教师使用教育软件 或 的概率估计值为 1，
= +30则 1 100 ，∵ + = 45， > ， ∈ . ∴ 23 ≤ ≤ 44，∴
53 37
100 ≤ 1 ≤ 50；
该区学校 有 600 名教师，其中有 200 人使用教育软件 ，100 人使用教育软件 ，
从学校 中随机抽取 1 人，该教师使用教育软件 或 的概率值为 2，
= 200+100 1则 2 600 = 2；
从该区其他教师(除学校 外)中随机抽取 1 人，该教师使用教育软件 或 的概率估计值为 3．
则 3 > 1 > 2．
20.(1)因为 ′ = + 1，由题知 ′ 1 = = 0，所以 的值为 0．
(2)
2 +
易知定义域为 0, + ∞ ，因为 ′ = + 1 = ，
令 = 2 + ，则 = 1 4 ，
当 < 0，即 > 14时， =
2 + > 0 恒成立， ′ > 0， 在定义域上单调递增，
当 = 0 = 1 1 1，即 4时， =
2 + 4 ≥ 0 恒成立， ′ ≥ 0，当且仅当 = 2时取等号， 在定义域
上单调递增，
当 > 0 < 1 1 1 4 1+ 1 4 ，即 4时，由 = 0，得到 1 = 2 < 2 = 2 ，
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①0 < < 14时， =
1 1 4
1 2 > 0，此时 ∈ 0, 1 ∪ 2, + ∞ 时， ′ > 0， ∈ 1, 2 时， ′ < 0，
0, 1 1 4 , 1+ 1 4 , + ∞ 1 1 4 , 1+ 1 4 在 2 2 上单调递增，在 2 2 上单调递减，
② ≤ 0 = 1 1 4 时， 1 2 ≤ 0，此时 ∈ 2, + ∞ 时， ′ > 0， ∈ 0, 2 时， ′ < 0，
1+ 1 4 1+ 1 4 在 2 , + ∞ 上单调递增，在 0, 2 单调递减上．
综上，当 ≥ 14时， 在区间 0, + ∞ 上单调递增，
当 0 < < 1 0, 1 1 4 , 1+ 1 4 , + ∞ 1 1 4 , 1+ 1 4 4时， 在 2 2 上单调递增，在 2 2 上单调递减，
当 ≤ 0 时， 1+ 1 4 在 2 , + ∞
1+ 1 4
上单调递增，在 0, 2 单调递减上．
(3) 1证明：因为函数 有两个极值点 1， 2，由(2)知 0 < < 4，且 1 + 2 = 1, 1 2 = ，
要证 + 2 11 2 > 1，即证 1 + 2 > ，
又 1 + 2 = ln +
1 21 2 1 1
1
4 + ln +
1
2 2
2 1
2 2 4
= ln 1 2 +
1
2 1 +
2
2 1 2 1 +
1
2 2 = ln 1，
1 1 1
即证 ln 1 > ，即证 ln + 1 > 0 在区间 0, 4 上恒成立，
令 = ln + 1 1
1
，则 ′ = ln 2 + 1，
= ln 1令 2 + 1，则 ′ =
1 + 2 3 > 0 在 0, + ∞ 恒成立，即 在区间 0, + ∞ 上单调递增，
又 1 = 1 + 1 = 0，所以 ∈ 0,1 1时， ′ = ln 2 + 1 < 0，
1
则 = ln + 1 在区间 0,1 上单调递减，
所以 > 1 = 0，即当 ∈ 0,1 时， = ln + 1 1 > 0
0, 1又 4 0,1
1 1
，所以当 0 < < 4时， ln + 1 > 0，故命题得证．
21.(1)因为 1 = 0， +1 = + 1 = 1,2, , , ，
所以| 1 + 1| = | 2| = 1，解得 2 = 1 或 2 = 1，
当 2 = 1 时，由| 3| = | 2 + 1| = 2，解得 3 = 2 或 3 = 2，
当 2 = 1 时，由| 3| = | 2 + 1| = 0，解得 3 = 0，
所以 3 = 0 + ( 1) + 0 = 1 或 3 = 0 + 1 + ( 2) = 1 或 3 = 0 + 1 + 2 = 3，
所以 3最大值为 3，最小值为 1．
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(2)当 3 = 0 时，| 3 + 1| = | 4| = 1，则 4 = 1 或 4 = 1，此时由| 4 + 1| = | 5| = 2 知 4 = 1， 4 = 1
不满足，舍去；
当 3 = 2 时，| 3 + 1| = | 4| = 1，则 4 = 1 或 4 = 1， 4 = 1 满足| 4 + 1| = | 5| = 2， 4 = 1 不满足，
舍去；
当 3 = 2 时，由| 3 + 1| = | 4| = 3，得 4 = 3 或 4 = 3，由| 4 + 1| = | 5| = 2 知 4 = 3 满足题意，当 4 =
3 时，不满足题意，
综上， 2 = 1, 3 = 0, 4 = 1 或 2 = 1, 3 = 2, 4 = 1，或 2 = 1, 3 = 2, 4 = 3，
所以 4 = 0 + ( 1) + 0 + 1 = 0 或 4 = 0 + 1 + ( 2) + 1 = 0 或 4 = 0 + 1 + 2 + ( 3) = 0，
故 4 = 0．
(3)由 +1 = + 1 = 1,2, , , ， 1 = 0 可得 为整数， 2 + 2 + 1 = 2 +1, 1 = 0，
所以 2 + 2 + + 21 2 = 0 + ( 21 + 2 1 + 1) + ( 22 + 2 2 + 1) + + ( 2 1 + 2 1 + 1)，
则 21 + 22 + + 2 = ( 21 + 22 + 23 + + 2 1) + 2( 1 + 2 + 3 + + 1) + 1，
所以 2 = 2 1 + 1，
若存在数列 ，使得 22022 = 1011，则 2023 = 2 2022 + 2022 = 4044，
又 2023为整数，所以方程无解，
故不存在数列 ，使得 2022 = 1011．
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