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河南省2025年高考数学模拟试卷H3
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
2.已知动点在圆上，若以点为圆心的圆经过点，且与圆交于，两点，记点到直线的距离为，且的最小值为，最大值为，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：，过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，交抛物线的准线于点，若为中点，且，则( )
A. B. C. D.
4.对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知函数满足，其图象与直线的某两个交点的横坐标分别为、，的最小值为，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数满足：，，，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，且，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
10.已知点，，，若直线经过点，且，到的距离相等，则的方程可能是( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为的正方体上，点为体对角线靠近点的三等分点，点，为棱、的中点，点在平面上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中含边界，则下列说法正确的是( )
A. 平面与底面的夹角余弦值为
B. 点到平面的距离为
C. 点到点的距离最大值为
D. 设平面与正方体棱的交点为、、，则边形最长的对角线的长度大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极值点为 ．
13.已知指数函数且，且，则 ______．
14.某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的值是______．
对工作满意 对工作不满意
男
女
附：，其中．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，函数．
求的最小正周期；
求函数在的单调增区间；
求函数在的值域．
16.本小题分
如图，在中，，，为中点，于，延长交于，将沿折起，使平面平面，如图所示．
平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
经典比特只能处于“”态或“”态，而量子计算机的量子比特可同时处于“”或“”的叠加态，某台量子计算机以序号，，，，的粒子自旋状态为量子比特，每个粒子的自旋状态等可能的处于“”态下旋状态或“”态上旋状态，现记序号为奇数的粒子中，处于“”态的个数为，序号为偶数的粒子中，处于“”态的个数为．
当时，求随机变量的分布列和期望：
在这个粒子中，求事件“”的概率；
在这个粒子中，令随机变量，证明：．
参考公式：，
18.本小题分
已知圆：的圆心在抛物线：上，且圆与抛物线的准线相切如图，过抛物线上的三个不同点，，在，之间，作抛物线的三条切线，分别两两相交于点，，．
求圆和抛物线的方程；
是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
当点的横坐标为时，以为直角顶点，作抛物线的两个内接及，求线段，的交点坐标．
19.本小题分
已知函数．
求的图象在处的切线方程；
若时，恒成立，求正实数的取值范围；
当时，若正实数，，，满足，求证：．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】或
15.【解析】依题意，，
则
，
故最小正周期；
因为，则，
结合正弦函数图象，令，得，
所以的单调增区间为；
由知，，
结合正弦函数图象，得，
则，
所以在的值域为．
16.【解析】证明：因为平面平面，且平面平面，
又在中，，平面，
所以平面；
解：由知平面，平面，
所以，
由题意知，又，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
结合图知，为中点，
故不妨设，为正三角形，，
为的中点，则．
由图条件计算得，，，
，，
则，．
因为平面，
所以平面的法向量可取为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
可得，，，
所以，
由原图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
解：假设在线段上是存在点使得平面，
则，
设，其中，
因为，
所以，其中，
，
所以，
解得，符合，
在线段上存在点，使平面，且．
17.【解析】根据题目：每个粒子的自旋状态等可能的处于“”态下旋状态或“”态上旋状态，
现记序号为奇数的粒子中，处于“”态的个数为，序号为偶数的粒子中，处于“”态的个数为．
随机变量的可能取值为，，，
，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的期望为；
或；
证明：根据题目：在这个粒子中，令随机变量，
令，则可取，，，，，故可取，，，，，
当取，，，时，
，
故，
从而，
整理，得，
，又因，
所以，
又
，
根据，得．
可得．
由知，所以．
18.【解析】圆的圆心，
由于圆心在上，因此，所以，
由于圆与的准线相切，因此，
解得，，
因此圆为，
为；
存在常数，使得，理由如下，
设，，，，
那么在点处的坐切线方程为，所以，
在点处的坐切线方程为，所以，
根据，可得，因此，
同理可得，，，，
，
，
因此
，
，
，可得，
因此存在，使得；
由于，是抛物线的两个内接三角形，
因此直线，，，，的斜率存在且不为，
当点的横坐标为时，代入，可得，因此点，
设，，，，
根据为直角顶点，
设，那么，
那么直线为，
与抛物线联立得，那么，，
，可得，
同理，
因此直线的方程为，
化简得；
设，那么，
那么直线为，与抛物线联立得：
，那么，所以，
，可得，
同理，
因此直线为，
化简得，所以，
由得，
所以，的交点坐标为．
19.【解析】由，得，又，
则，故切线方程为．
由，当时，则；当时，
此时，，故，当时，
设，，
令，则，
若，则，单调递增，，因此单调递增，
故，符合题意；
若，
令，即，此时在上单调递增，
在上单调递减，因此而，
设为的零点，注意到单调递增，当时，
此时，故，从而单调递增，故，符合题意；
当时，则存在，使得，且在上单调递增，
在上单调递减，故，即，解得，
此时，即，因此，
综上可知，；
证明：由可知，当且时，，故，
当时，，令，则，
其中，故单调递增．设，
其中，，且，因此单调递增，
从而，从而可得，
进而可知，故．
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