资源简介

河南省2025年高考数学模拟试卷H4
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且，若，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：的焦点为，点是上的一点，点，则周长的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知向量若向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.函数的最小正周期为，下列说法正确的是( )
A. B. 在区间上递增
C. D. 的图象关于对称
6.某家电公司生产了，两种不同型号的空调，公司统计了某地区年的前个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这个月的销售数据，下列说法不正确的是( )
A. 型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大
B. 型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大
C. 型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大
D. 型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小
7.已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.设函数，，若，，使得，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 点到平面的距离为定值
B. 直线与所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 若为线段上的动点，且平面，则的最小值为
10.在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 曲线关于点对称
D. 曲线在点处的切线方程为
11.任意一个复数都可写成复数的三角形式，即，，棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立设两个复数用三角函数形式表示为，，则( )
A.
B. 是方程的虚数根，则
C. ，则的范围为
D. 满足的复数有且只有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项为______．
13.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是______．
14.已知是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和最大值；
讨论函数在上的单调性．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，点是棱上的一点，平面．
求证：点是棱的中点；
若平面，，，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．
17.本小题分
人工智能，英文缩写为，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量近几年以来，技术加持的智能手机以下简称为手机逐渐成为市场新宠为了解顾客对手机的满意程度，市某手机大卖场从购买了手机的顾客中随机选取了人进行问卷调查，并根据其满意度得分单位：分制作了如下的频数分布表：
分组单位：分
频数
若该手机大卖场中某手机店经销，两种品牌的手机，品牌中手机占比为，品牌中手机占比为，，品牌手机的数量之比是：，现从该手机店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是手机的概率；
为提升手机的销量，该手机大卖场针对购买手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元现金，抽中一、二等奖的概率分别为，，其余情况不获得奖金；每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和记某位购买了手机的顾客获得的总奖金为元，求的分布列和数学期望；
由频数分布表可以认为从手机大卖场购买手机的顾客对手机的满意度得分近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得现将满意度得分超过分的顾客对手机的态度定义为“非常满意”若某月该手机大卖场共有万名顾客购买了手机每人一部，记为这些顾客中对手机“非常满意”的人数，事件“”的概率为，求使取最大值时的值．
参考数据：若随机变量服从正态分布，即，则，．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线：交于，两点，当直线平行于轴时，．
求抛物线的方程；
若直线的斜率存在，直线与直线相交于点，过点且与抛物线相切的直线交轴于点．
证明：；
是否存在直线使得四边形的面积为？若存在，说明直线有几条；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知有穷整数数列：，，，，满足记集合为：，，，，，或，，，，若数列，则称数列是的“恒元”．
Ⅰ已知数列：，，，，请写出中所有满足的数列；
Ⅱ当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”？若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由；
Ⅲ当数列是的“恒元”时，若，，，是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】，；
在单调递增，在单调递减．
【解析】，
故函数的周期为，
当，，即，，函数取到最大值为；
由得，
当时，，
当，即，单调递增；
当即时，单调递减．
综上可知，在单调递增，在单调递减．
16.【解析】证明：连接，它与交于点，连接，
四边形为矩形，
为的中点，
平面，平面经过且与平面交于，
，
又点是的中点，
点是棱的中点．
平面，，，平面，
，，，
且就是与平面所成的角，
又四边形为矩形，，
分别以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，是平面的一个法向量，
二面角的大小为，
由，可得，
则，，
故，
解得，且，
，
又是平面的一个法向量，且为锐角，
故，
可得，，
二面角的正切值为．
17.【解析】记“抽取到的手机是品牌手机”为事件，“抽取到的手机是品牌手机”为事件，
“抽取到的手机是手机”为事件，
因为品牌中手机占比为，品牌中手机占比为，，品牌手机的数量之比是：，
此时，，，，
所以；
因为不获得奖金的概率为，
易知的所有可能取值为，，，，，
此时，，
，
，，
则的分布列为：
故元；
易知，
随机选名顾客，其对手机“非常满意”的概率
，
依题意，
记，，
此时，
则问题等价于求当取何值时，取得最大值，
由，
可得，
化简得，
即，
因为，，，，，
所以．
则当时，取得最大值．
18.【解析】当直线平行于轴时，
因为，
所以点在抛物线上，
此时，
解得，
则抛物线的方程为；
证明：易知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，，
此时直线的斜率为，不妨设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，
可得，
此时点处的斜率为，
所以点处的切线方程为，
令，
解得，
即，
直线的方程为，
令，
解得，
即，
所以，
所以，
即直线，
所以；
连接，，
由得，，
所以，
因为，
所以轴，
即四边形为平行四边形，
所以
，
若四边形的面积为，
此时，
整理得，
设，函数定义域为，
可得，
设，函数定义域为，
可得，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，
因为，
所以存在，使得，
所以在上有个零点，分别为和，
即在上有个根．
由对称性可得，四边形的面积为的直线共有条．
19.【解析】Ⅰ因为数列：，，，，所以中的数列满足，，
因为，所以中所有满足的数列有，，，；，，，；，，，；，，，；
Ⅱ假设存在满足条件的数列，则满足，
有，或，或，
所以与同为奇数或同为偶数．所以是偶数．
所以是偶数．
又是奇数，矛盾．
所以假设不成立，不存在满足条件的数列；
Ⅲ当数列是的“恒元”时，因为数列中，，，，是个连续正整数的一个排列，
所以当时，有，且至多一项为．
不妨记，所以，且．
当时，当时，有．
此时，或，又，
所以，，或，，
当时，有，或，
所以，或者，
当时，有，，，，
所以，，．
因为，，所以，所以．
当时，有，，，，所以舍．
当时，有，或，所以，或者，
当时，有，，，，所以，，，所以．
当时，有，，，，所以所以舍．
又由于数列：，，，，，，和：，，，，，，满足条件．综上所述，．
第6页，共12页

展开更多......

收起↑