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(共49张PPT)
11.5 因式分解
第11章 整式的乘除
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
因式分解
公因式
提公因式法
用平方差公式分解因式
用完全平方公式分解因式
知识点
因式分解
知1－讲
1
1. 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2. 整式乘法与因式分解的关系
(1)整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化
积，是互逆的变形，即：多项式 整式乘积.
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.
因式分解
整式乘法
知1－讲
特别解读
1. 因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.
2. 因式分解是恒等变形.
3. 因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止.
例 1
下列变形中属于因式分解的有( )
① 8xy3 =2xy·4y2；② x2+1=x(x+)；
③(x+5)(x-5)=x2 -25；④ x2+2x-3=x(x+2)-3；
⑤ x2y+xy2 =xy(x+y).
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
知1－练
解：因为①中等号的左边不是多项式，所以①不是因式分解；因为②中不是整式，所以x2+1=x(x+)不是因式分解；
③是整式的乘法，不是因式分解；
因为④中等号右边不是积的形式，所以④不是因式分解；
⑤符合因式分解的定义，是因式分解.
答案：D
知1－练
知1－练
变式训练
1-1. [中考·济宁] 下面各式从左到右的变形，属于因式分解且正确的是( )
A. x2-x-1=x(x-1)-1 B. x2-1=(x-1)2
C. x2-x-6=(x-3)(x+2) D. x(x-1)=x2-x
C
[中考·益阳] 下列因式分解正确的是( )
A. 2a2 -4a+2=2(a-1)2 B. a 2+ab+a=a(a+b)
C. 4a2 -b2 =(4a+b)(4a-b) D. a3b-ab3 =ab(a-b)2
例 2
解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.
知1－练
知1－练
解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相同的只有选项A.
答案：A
知1－练
变式训练
2-1. [中考·攀枝花] 以下因式分解正确的是( )
A. ax2-a=a(x2-1)
B. m3+m=m(m2+1)
C. x2+2x-3=x(x+2)-3
D. x 2+2 x-3=(x-3)·(x+1)
B
仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知把x2 -4x+m 分解因式后有一个因式是x+3，求其另一个因式及m 的值.
解：设另一个因式为x+n，则x2-4x+m=(x+3)(x+n)，即x2 -4x+m=x2+(n+3)x+3n.
例 3
知1－练
n+3=-4，
3n=m，
所以
n=-7，
m=-21.
解得
所以另一个因式为x-7，m 的值为-21.
问题：
(1)若x2 -5x+6 可分解为(x-2)(☆)，则☆ = _____；
(2)若2x2+bx-5 可分解为(2x-1)(x+5)，则b= _____ ；
(3)已知把2x2+5x-k 分解因式后有一个因式为2x-3，求其另一个因式及k 的值.
知1－练
解题秘方：根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出多项式，并与已知多项式对比系数解决问题.
知1－练
知1－练
解：(1)x-3 (2)9
(3)设另一个因式为x+q，则2x2 +5x-k=(2 x-3)(x+q)，
即2 x2 +5x-k=2 x2 +(2q-3)x-3q，
所以另一个因式为x+4，k 的值为12.
2q-3 =5，
-3q=-k，
所以
q=4，
k=12.
解得
展开后对应项
的系数相等.
~~~~~~
知1－练
变式训练
3-1. [中考·滨州] 把多项式x2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a，b 的值分别是( )
A. 2，3 B. -2，-3 C. -2，3 D. 2，-3
3-2. 若将多项式x2+3x+a 分解为(x+1)(x+2)，则a的值为( )
A. 2 B. 3 C. -3 D. -2
B
A
知2－讲
知识点
公因式
2
1. 定义 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式.
2. 公因式的确定
(1)确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数.
知2－讲
(2)确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其中的最低指数.
(3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式. 如3x(x-y) +x2(x-y)的公因式是x(x-y)
知2－讲
特别解读
1. 公因式必须是多项式中每一项都含有的因式.
2. 公因式可以是具体的数，也可以是含字母的单项式或多项式.
3. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式.
例 4
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y-3ay+6y；
(2)4xy3-8x3y2；
(3)a(x-y)3+b(x-y)2+(x-y)3；
(4)36a3b2 -27a2b3+9a2b.
解题秘方：紧扣公因式的定义求解.
知2－练
知2－练
解：(1)中各项的公因式为3y.
(2)中各项的公因式为4xy2.
(3)中各项的公因式为(x-y)2.
(4)中各项的公因式为9a2b.
知2－练
变式训练
4-1. 下列各组式子中没有公因式的是( )
A. 4a2bc 与8abc2
B. a3b2+1 与a2b3-1
C. b(a-2b)2与a(2b-a)2
D. x+1 与x2-1
B
知3－讲
知识点
提公因式法
3
1. 定义 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m 和(a+b+c)的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法.
用字母表示为ma+mb+mc=m(a+b+c).
2. 提公因式法的一般步骤
(1)找出公因式，就是找出各项都含有的因式；
(2)确定另一个因式,另一个因式即多项式除以公因式所得的商；
(3)写成积的形式.
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商.
例 5
做一做把下列多项式分解因式：
(1)6x3y2 -8xy3z； (2)-4a3b2+12a2b-4ab.
解题秘方：紧扣提公因式法的步骤分解因式.
知3－练
知3－练
解：(1)6 x3y2 -8xy3z
=2xy2·3x2 -2xy2·4yz
=2xy2(3x2 -4yz).
(2)-4a3b2 +12a2b-4ab
=-(4a3b2 -12a2b+4ab)
=-(4ab·a2b-4ab·3a+4ab)
=-4ab(a2b-3a+1).
知3－练
解法提醒
1. 当多项式的首项系数是负数时，一般应先提出“-”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号.
2. 4ab 与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时容易漏掉“1”这一项而导致错误.
知3－练
变式训练
5-1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )
A. x2-y B. x2-2x
C. x2+y2 D. x2-xy+y2
5-2. 把多项式a 2+2 a分解因式得( )
A. a(a+2) B. a(a-2)
C. (a+2)2 D. (a+2)(a-2)
B
A
知4－讲
知识点
用平方差公式分解因式
4
1. 平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 即：a2 -b2 =(a+b)(a-b).
2. 平方差公式的特点
(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；
(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个数或单独一个字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体；
三套：套用平方差公式进行分解；
四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的形式.
知4－讲
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.
2. 乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与这两数差的积的条件后，结果写成平方差形式；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘以这两个数的差.
例 6
把下列多项式分解因式：
(1)4x2 -25y2； (2)(a+2)2 -1；
(3)-+x4； (4)16(a-b)2 -25(a+b)2.
解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式.
知4－练
知4－练
解：(1)4x2 -2 5y2 =(2 x)2 -(5y)2 =(2 x+5y)(2 x-5y).
(2)(a+2)2 -1=(a+2+1)(a+2-1)=(a+3)(a+1).
(3)-+x4 =x4 -=(x2 +)(x2 -)=(x2 +)(x+)(x-).
(4)16(a-b)2 -25(a+b)2
=［4(a-b)+5(a+b)］［4(a-b)-5(a+b)］
=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)
=(9a+b)(-a-9b)
=-(9a+b)(a+9b).
提醒：继续运用平方差公式分解.
~~~~~
知4－练
变式训练
6-1. 把下列多项式分解因式：
(1)a2b2-16；
(2)100x2-9y2；
(3)a4-1；
(4)49x2-(5x-2)2.
解：原式＝(ab＋4)(ab－4).
解：原式＝(10x＋3y)(10x－3y).
解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)·(a－1).
解：原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)
＝4(6x－1)(x＋1).
知5－讲
1. 完全平方公式 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab+b2 =(a±b)2.
2. 完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和(或差)的平方.
知识点
用完全平方公式分解因式
5
知5－讲
3. 因式分解的一般步骤
(1)当多项式有公因式时，先提取公因式，当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；
(2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
知5－讲
特别解读
1. 因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的两数和 (差)的平方公式的逆用.
2. 结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“+”，也可以是“-”，但两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，不能用完全平方公式进行因式分解.
例 7
把下列多项式分解因式：
(1)x2 -14x+49； (2)-6ab-9a2 -b2；
(3)a2 -ab+b2； (4)(x2+6x)2+18(x2+6x)+81.
解题秘方：先确定完全平方式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式.
知5－练
知5－练
解：(1)x2 -14x+49 =x2 -2 x·7+72 =(x-7)2.
(2)-6ab-9a2 -b2
=-(9a2 +6ab+b2)
=-［(3a)2 +2×3a·b+b2］
=-(3a+b)2.
(3)a2 -ab+b2 =(a)2 -2×a·b+b2 =(a-b)2.
知5－练
(4)(x2 +6 x)2 +18(x2 +6 x)+81
=(x2 +6 x)2 +2(x2 +6 x)·9+9 2
=(x2 +6 x+9)2
=(x+3)4.
~~~~~~~~~
完全平方公式可以连续使用，因式分解的结果要彻底.
知5－练
变式训练
7-1. 把多项式x2-4x+4 分解因式的结果是( )
A. x(x-4)+4
B. (x+2)(x-2)
C. (x+2)2
D. (x-2)2
D
知5－练
7-2. 把下列多项式分解因式：
(1) 4x2+y2-4xy；
(2) 9-12a+4a2；
(3) (m + n)2 - 6(m +n)+9.
解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2.
解：原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2.
解：原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.
已知9a2 + ka + 16 可以用完全平方公式分解因式，则k的值是__________.
例 8
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.
知5－练
知5－练
解：因为9a2 =(3a)2，16 =4 2，
所以ka=±2×3a×4 =±2 4a.
所以k=±2 4.
答案：±2 4
有和的完全平方式和差的完全平方式两种形式.
~~~~~
知5－练
变式训练
8-1. [月考·南阳宛城区]若将多项式9m2+1 加上一个单项式A 后，就能够在我们所学范围内因式分解，则单项式A 不可能是( )
A. -2 B. -10m2
C. -6m D. -9m
D
已知9a2 +把下列多项式分解因式：
(1)-3a3b+48ab3；
(2)x4-8x2+16；
(3)25x2(a-b)+36y2(b-a).
例 9
解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式.
知5－练
知5－练
解：(1)原式 =-3ab(a2 -16b2)
=-3ab(a+4b)(a-4b).
(2)原式 =(x2 -4)2
= [(x+2)(x-2)] 2
=(x+2)2(x-2)2.
(3)原式 =2 5x2(a-b)-36y2(a-b)
=(a-b)(2 5x2 -3 6y2)
=(a-b)(5x+6y)(5x-6y).
知5－练
变式训练
9-1. [中考· 聊城] 把8a3-8a2+2a 进行因式分解，结果正确的是( )
A. 2a(4a2-4a+1)
B. 8a2(a-1)
C. 2a(2a-1)2
D. 2a(2a+1)2
C
知5－练
9-2. 把下列多项式分解因式：
(1)[中考·绵阳] m2n+2mn2+n3=________________；
(2) 2x3y - 8x2y +8xy=________________.
n(m＋n)2
2xy(x－2)2
因式分解
因式
分解
互逆变形
检验
概念
整式
乘法
提公因式法
公式法

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