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2025年河南省驻马店市新蔡县高三三模数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足其中为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知集合，集合，则等于( )
A. ， B.
C. D. ，
4.已知向量，满足，，与的夹角为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.定义在上的奇函数满足时，若在上恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的极值点与的零点完全相同，则( )
A. B. C. D.
7.设，是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿轴折叠，使得上、下两半部分所成二面角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则有个零点
B. 若，则的解集为
C. ，在上有极小值
D. ，在上有极大值
10.已知两种金属元件分别记为，的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是参考数据：若，则，( )
A.
B.
C.
D. 对于任意的正数，恒有
11.法国天文学家乔凡尼多美尼科卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为下列结论中，正确的是( )
A. 曲线关于轴对称
B. 原点始终在曲线的内部
C. 当时，面积的最大值为
D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线的切线为，则 ______．
13.已知直线交双曲线于点，，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为______．
14.已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
若，求的值；
若，，的中点为，求的长．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，右焦点为，右顶点为，．
求椭圆的标准方程；
若过的直线交椭圆于点，其中点在轴上方，为椭圆的左顶点若与的面积分别为，，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
求证：平面；
若，，，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知有限集合，，若，则称为“完美集”．
已知，，，，成等差数列，若集合为“完美集”，求；
已知，是否存在首项为的等比数列，使得集合为“完美集”，若存在，求集合；若不存在，说明理由；
已知，且集合为“完美集”，求．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
若，，讨论方程的根的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.解：因为，由正弦定理得，
在中，，
而，
所以，
即，
又因为，为的内角，所以，
所以，从而，
又因为，则，
所以；
由题意，，所以．
又，所以．
所以．
因为，所以，从而．
在中，由余弦定理得，
所以．
16.解：设椭圆的半焦距为，
因为椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为；
当直线的斜率不存在时，
若与的面积分别为，，
易知；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，．
因为，，
所以，
因为，
又，
设，，
此时，
解得且，
则．
综上所述，的取值范围为．
由题意列出关于，，的方程组，求解即可；
当斜率不存在时，易知；当直线斜率存在时，设点设直线，联立，韦达定理，然后将面积比表示出来，转换成函数值域问题，即可求解．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
17.解：证明：如图，取为内一点，作，交于点，作，交于点，
因为平面平面且平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以，同理得．
因为，且，平面，
所以平面．
因为，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意，得，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，所以．
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，所以．
设二面角的平面角为，则由图可得．
故二面角的余弦值为．
根据面面垂直的性质可得平面，进而可得，同理得，即可利用线面垂直的判定求解，
建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用法向量的夹角求解．
本题考查线面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
18.解：，，，成等差数列，
则，
集合为“完美集”，，
，，
解得；
设数列的公比为，依题意，，
因为集合为“完美集”，
所以，解得，不符合题意，
所以不存在首项为的等比数列，使得集合为“完美集”；
设，若集合为“完美集”，
则，
易知，，，
当时，，
当时，显然不符题意；
当时，
不妨设，，
故，所以；
当时，因为，
所以，符合题意；
当时，，不符题意；
综上，或．
19.解：的定义域为，
则，
因为，由，
解得，
当时，恒成立，
所以无递增区间，递减区间为；
当时，，
令，得，
令，得；
当时，，
令，得；
令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的递增区间为，
递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
由题设，
．
令，，
则，
即在上单调递增，
故上式中满足，
则有，
可得，
令，
则，
由解得．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，
当时，，
故．
结合图象，可知，
当时，方程有个实根；
当或时，方程有个实根；
当时，方程有个实根．

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