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2025届高三年级考前模拟训练（第4轮）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，其中i为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，且，则函数的图象一定经过（ ）
A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限
3.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ）
A.72种 B.96种 C.144种 D.288种
4.已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知n为正整数，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.P是椭圆上一点，、是C的两个焦点，；点Q在的平分线上，O为原点，，且.则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
8.已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.已知m，n是异面直线，，，那么（ ）
A.当，或时， B.当，且时，
C.当时，，或 D.当，不平行时，m与不平行，且n与不平行
10.已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）
A. B.函数为偶函数
C.满足条件的正实数，存在且唯一 D.是周期函数，且最小正周期为
11.已知数列的通项公式为，前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A.数列有最小项，且有最大项 B.使的项共有5项
C.满足的的值共有5个 D.使取得最小值的n为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为________.
13.已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为________.注；在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球.
14.已知中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为________；的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，.
（1）证明：平面ABC；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
16.（本小题15分）
已知函数，是的导函数，且.
（1）若曲线在处的切线为，求k，b的值；
（2）在（1）的条件下，证明：.
17.（本小题15分）
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产，经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为.
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.
设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”.已知，证明：.
18.（本小题17分）
设抛物线，直线交C于A，B两点.过原点O作l的垂线，交直线于点M.对任意，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列.
（1）求C的方程；
（2）若直线，且与C相切于点N，证明：的面积不小于.
19.（本小题17分）
无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是；如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是.
（1）写出这个数列的前7项；
（2）如果且，求m，n的值；
（3）记，，求一个正整数n，满足.
2025届高三年级考前模拟训练（第4轮）
答案和解析
1.B 2.D 3.C 4.C 5.C 6.C 7.A 8.C 9.AB 10.ACD 11.ABD 12.5 13. 14.；
15.证明：（1）取BC的中点M，连结MA、.
因为，，所以，.
由于AM，平面，且，因此平面.
因为平面，所以.又因为，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，
且平面，所以平面ABC.
因为，所以平面ABC.
（2）因为，且，所以.
以AB、AC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
16.【答案】解：（1）因为，所以，则.
因为，所以.
则曲线在点处的切线斜率为.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即得，.
（2）证：设函数，，则.
设，则，所以，当时，，单调递增.
又因为，所以，时，，单调递增；
时，，单调递减.
又当时，，
综上在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，
即，所以，当时，.
17.【答案】解：（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则，，
计算得.所以.
X的可能取值为0，1，2，3，，，
，
，
所以，X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 9
证明：（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，所以.
即.
因为，，所以.
因为，，所以.
即得，所以.
即.
又因为，，所以.
因为，0，所以.
即得证.
18.【答案】解：（1）设点，，由题可知，当时，显然有；
当时，直线OM的方程为，点.
联立直线AB与C的方程得，，
所以，，
因为直线AM，AB，BM的斜率成等差数列，所以.
即，
化简得.
将代入上式得，
则，所以曲线C的方程为.
（2）设直线，联立C的方程，得.
由，得，点，设AB的中点为，
因为，，则点.
因为，所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，
所以面积为面积的.
记的面积为S，点到直线的距离，
所以，
当时，等号成立.所以命题得证.
19.【答案】解：（1），，，，，，.
（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设，
当时，因为，所以，故；
当时，因为，而为奇数，，所以，
又为奇数，，所以存在，使得为奇数，
所以，而，所以，
即，，无解.所以.
（3）显然，n不能为偶数，否则，不满足，所以，n为正奇数.
又，所以，
设或，，
当时，，不满足；
当时，，即；
所以，取，时，
即.

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