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数学试题
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“z为纯虚数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，直线与函数交点的横坐标分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知向量，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．若都有恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于两点（点P在点的之间），则（ ）
A．直线与抛物线C相切 B．
C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得
10．若在函数定义域内存在两个不相等的实数，使得，则称函数具有性质P．那么下列函数中，具有性质P的函数有（ ）
A． B． C． D．
11．如图，球O的半径为为球面上三点，劣弧的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若平面为直角三角形，且，则为常数
D．若，则球面的体积V满足
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．过点向圆作切线，切点为B，则________．
13．已知函数，则________．
14．计算机对人类的生产活动和社会活动产生了极其重要的影响．计算机处理数据时，使用的是二进制．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”．二进制数对应的十进制数记为，即，其中，那么满足中有且只有3个0的所有二进制数对应的十进制数的和为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（13分）等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比，北方的冬天室外温度极低，如果轻薄，保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
A材料 B材料 合计
试验成功
试验失败
合计
（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元．试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（15分）已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前n项和，且满足，数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式及数列的前n项和．
（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．
17．（5分）设函数
（1）若是函数的一个极值点，求函数的单调区间；
（2）当时，对于任意的（e为自然对数的底数）都有成立，求实数b的取值范围．
18．（17分）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点中恰有三点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：有两个点G满足“共轭点对”，并求点G的坐标；
（3）设（2）中的两个点G分别为，设O为坐标原点，点在椭圆E上，满足且点在直线两侧，求四边形的面积的最大值．
19．（17分）已知正三棱锥：
（1）若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为，设质点W自A出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点A，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；
（3）若该锥体的体积为定值V，设O为点P在底面的投影，点O到的距离为于点M，连接得．求出当三棱锥的表面积S最小时，角的余弦值．
2025年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟试题
数学参考答案
一、单选题
1．由题意得，，．故选：B．
2．当z为纯虚数时，设，则，
．当时，可取，则z为纯虚数不成立．
综上得，“z为纯虚数”是“”的充分不必要条件．故选：A．
3．由图象知图象的对称轴为直线，即，可得，
又图象的对称中心为，即，所以，可得，
解得，又，所以，所以，则．故选：A
4．由，得，解得，所以，，则，
所以，在上的投影向量
．故选：C．
5．如图所示，设关于渐近线的对称点为P，
易知，且M为中点，，则，
所以，则，即一条渐近线倾斜角为，所以斜率，
所以离心率，故选：A．
6．显然不满足等式，所以，，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错；
，
当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错．故选：A．
7．由，
所以，即，
所以，则，由，
又，则，
所以，则．故选：D
8．由题意可知，则，
即，又
所以，则．设，则，
所以在上单调递增，所以，则，所以，
则．设．则，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以的最大值为．故选：C．
二、多选题
9．因为点在抛物线上，所以，解得，
即抛物线方程为，焦点．对于A：直线的方程为，即，
因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确；
对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意；
所以直线l的斜率存在，设其方程为，
由，得，则，即或，
于是，又，所以，故B错误；
对于C：由焦半径公式可得，因为P是线段的中点，
所以，整理得，即，故C正确；
对于D：若，则，得
所以，即，解得，此时，则直线l与抛物线相切，故D错误．故选：AC．
10．对于函数，取，则，，A中函数具有性质P；
对于函数，取，则，
，B中的函数具有性质P；
画出的图象，以及一条辅助直线，平移辅助直线，当中间交点是两边交点的中点时，设两边交点横坐标是，此时，C中的函数具有性质P；
，函数是偶函数，关于y轴对称，时是增函数，是单调减函数，没有满足题意的3点，所以D不正确．故选：ABC．
11．对于A，因等边三角形的面积为，则，
又，故，则，故A错误；
对于B，由可得，故，即B正确；
对于C，由余弦定理可知由可得，，
即，化简得，，故C正确．
对于D，由可得，，故．
由正弦定理，的外接圆半径为，点O到平面的距离，
则三棱锥的体积，
而球面的体积；球面的体积应小于以R为高的正四面体体积；
故D正确；故选：BCD
三、填空题
12．由圆，圆心坐标为，半径为2，
因为过点向圆C作切线，切点为B，且，
所以．故答案为：
13．
，
故，故答案为：4049
14．解：根据题意因为中有且只有3个0，所以中有且只有2个1，有种可能，
所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现次，均出现次，
所以满足中有且只有3个0的所有二进制数对应的十进制数的和为故答案为：444
四、解答题
15．（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
A材料 B材料 合计
试验成功 45 30 75
试验失败 5 20 25
合计 50 50 100
计算可得，
依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关．
（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为X万元，
易知X的可能取值为，
，，
，
则X的分布列为
X 0 0.2 0.4 0.6 0.8
P
修复费用X的期望，
所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标．
16．（1）是各项均不为0的等差数列，，
，
；
（2）若存在正整数，使得成等比数列，
则，即，化简得：，解得：，又且，所以，故存在正整数，使得成等比数列．
17．解：（1）定义域，
由题意可得，即，
所以，由函数存在极值可知，，
（i）时，由可得，函数在单调递增，由可得，函数在上单调递减．
（ii）时，由可得，，函数在上单调递减，由可得，在单调递增；
（iii）当时，由可得，或，由可得，，
故函数的单调递增区间，单调递减区间；
综上所述：当恒成立，不符合题意；
当时时，在上递增，在上递减，在上递增；
当时，在上递减，在上递增．
（2）时，可得，，令，则，
令则在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，，即，
所以在上单调递减，，故．故b的范围．
18．（1）由于两点关于y轴对称，故由题意知椭圆E经过两点，
显然椭圆E不经过点B，所以点C在E上，且E的焦点在x轴上，
设E的标准方程为，因比，解得椭圆E的标准方程为．
（2）设“共轭点对”中G点的坐标为根据“共轭点对”定义可知点G的坐标满足，
解得或，于是有两个点满足“共轭点对”，且点G的坐标为
（3）不妨设，则，
则所在的直线l的方程为，即，
设点，则，两式相减得，则，又，于是，则，即，
所以线段的中点在直线l上，即线段被直线l平分，设点P到直线的距离为d，
则四边形的面积，
又，则有，
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，
则当与E相切时d取最大值，联立，消去y得，，
令，得，则，当P为切点时，等号成立，此时P（或Q）与A重合，故，即四边形的面积的最大值为4．
19．（1）如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，
由题意可得：，所以，
则是等边三角形，则，所以质点移动路程的最小值为1．
（2）设三棱锥的高为内切圆的半径为r，外接圆半径为R，圆锥的母线为l，
则，解：，，所以，，
所以圆锥的侧面积为，圆锥的体积为．
（3）依题意得，O为点P在底面的投影，点O到的距离为于点M，
则，连接，则，
所以，因为是等边三角形，所以，
因为，所以，侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，所以棱锥的体积，所以，所以
，
令，则，又，所以
所以
，
当且仅当即时等号成立，取得最小值，S取得最小值，此时，
所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角余弦值时其表面积最小．

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