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不等式与不等式组 核心考点讲练
考点1 不等式的相关概念
1．不等式
用符号 ＜或＞ 表示大小关系的式子，叫作不等式．像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式；
2．不等式的解
能使不等式成立的未知数的 值 叫做不等式的解．如x=-5是不等式x+2<0的解；
3．不等式的解集
（1）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．如x>3是不等式x-3>0的解集；
（2）不等式解集的数轴表示
不等式表示
数轴表示
4．解不等式
求不等式的 解集 的过程叫做解不等式．
考点2 不等式的性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)
考点3 解一元一次不等式
1．一元一次不等式
不等式的左右两边都是整式，经过化简后含有_　　1　　_个未知数，未知数的次数是_1_的不等式叫做一元一次不等式．比如：3x-7>0，9-2y≤3；
2．解一元一次不等式
（1）基本思路
根据不等式的基本性质，将不等式转化为 x＜a或x＞a 的形式；
（2）一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
考点4 解一元一次不等式组
1．一元一次不等式组
含有相同 未知数 的若干个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组的解集
一般地，几个一元一次不等式的解集的__公共部分___，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．
3．解一元一次不等式的步骤
（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；
（2）找出各个不等式解集的_交集____，即求出这个不等式组的解集．如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组_无解___，即解集为空集；
（3）写出不等式组的解集或无解；
4．一元一次不等式组解集确定方法
（1）数轴法．在数轴上表示各个不等式的解集，求出公共部分；
（2）口诀法．用“口诀”直接确定解集；
一元一次不等式组 解集 图示 语言叙述（便于记忆）
两大取较大
两小取较小
大小交叉中间找
无解 大小分离解为空
考点5 一元一次不等式的应用
1． 列不等式（组）解应用题的基本步骤
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案．
2．关键词
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键．
不等式（组）的解与解集
1．不等式（组）的解
（1）不等式（组）的解就是未知数的值，代入不等式（组），不等式（组）成立；
（2）知解可代入，进而可以求出字母参数的取值范围；
2．不等式（组）的解集
（1）不等式（组）的解集就是所有解组成的集合，里面可能一个数值也没有（空集），也可以有一个数值，也可以有多个数值；
（2）解集通常用不等式表示，不能代入；
3．不等式（组）解与解集的关系
（1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值．
（2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值．
（3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解．
【例题】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解
C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解
2．不等式2x－60的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式的解集为，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．不等式组的解集在数轴上表示如图，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【练经典】
5．下列说法正确的是（ ）
A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是
6．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
【练易错】
易错点：混淆解与解集导致错误
9．下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解是3 B．3是不等式的解
C．不等式的解集是 D．是不等式的解集
不等式的性质
1．不等式的性质与方程的性质的比较
等式的性质 不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a 反对称性：若a>b，则b传递性：若a=b，b=c，则a=c 传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c 性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，则ac=bc， 性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac2．作用
不等式的性质是不等式变形及解不等式的理论依据；
【例题】
10．已知，若是任意实数，则下列不等式始终成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．由到，成立的条件是（　　）
A． B． C． D．
【练经典】
12．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
13．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．若，那么 ．（用不等号填空）
【练易错】
易错点：混淆变号与不变号导致错误
15．若，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解一元一次不等式（组）
1．解一元一次方程与解一元一次不等式
（1）步骤是一样的：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
（2）结果不一样：解一元一次方程的结果是一个等式，解一元一次不等式得到的结果是一个不等式；
（3）符号变化不一样：等号始终不变，不等号的方向有时需要变化；
2，解二元一次方程组与解一元一次不等式组
（1）思想不一样．解二元一次方程组的基本思想是消元，解一元一次不等式组的基本思想是确定公共解；
（2）结果不一样：解二元一次方程组的结果是一对数值，解一元一次不等式得到的结果一般是一个不等式；
3．数轴表示不等式解集的方法
（1）在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向；
（2）边界的表示：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（3）方向：大向右，小向左．
【例题】
16．不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
18．解不等式．
【练经典】
19．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．不等式的正整数解有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
21．若a＞b，则a﹣3 b﹣3（填＞或＜）
22．解下列不等式：
(1)；
(2)．
【练易错】
易错点：因没有变号导致错误
23．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
一元一次不等式（组）的应用
1．不等关系的关键词
常用不等号 读作 常见的表示不等关系的数学术语或词语
> 大于 正数、超出、超过、多余
< 小于 负数、不足、少于、低于
大于等于（不小于） 非负数、至少、不少于、最低
小于等于（不大于 非正数、至多、不超过、限速、最高
不等于 不相等、不同于、不一致、不一样
2．关键词在解题步骤中的要求
列不等式解决实际问题时，设元不能含有不等关系的关键词，但答语必须有不等关系的词
3．方案问题
（1）构建不等式组求出未知量的取值范围；
（2）未知量一般为正整数，确定不等式组的正整数解；
（3）未知量的每一个正整数值就是一种方案，分析计算所有的方案；
（4）从中找出最优方案（花费最小或利润最大等）；
【例题】
24．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是（ ）
A．场 B．场 C．场 D．场
25．某商场计划购进甲、乙两种商品共100件．甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价35元，且购进两种商品的总费用不超过2700元，则购进甲种商品不少于 件．
26．亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍．
(1)采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？
(2)该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？
【练经典】
27．有，，，，五个队分在同一个小组进行单循环足球比赛，争取出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，队积分9分，那么队最多胜（ ）场？
A．1 B．2 C．3 D．4
28．某水果店以每千克元的价格购进千克橙子，且购进的橙子有的损耗，如果销售完这批橙子后该水果店获得了不少于元的利润，那么橙子每千克的售价至少为 元．
29．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
不等式组求参的常见模型
1．有解、无解求参
不等式组类型 有解的条件 无解的条件
2．整数解的情况求解
（或）的整数解中，由小到大第m个整数解记为[m]；（或）的整数解中，由大到小第m个整数解记为{b}
不等式组类型 已知数 有且只有m个整数解的条件 至多有m个整数解的条件 至少有m个整数解的条件
【例题】
30．若关于的不等式组的解集是，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2025
31．若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
32．若关于的一元一次不等式组的解集是，且是非正整数，则所有满足条件的的积为（ ）
A． B．2 C．0 D．
【练经典】
33．若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ．
34．若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【练易错】
35．已知a是正整数，方程组的解满足x>0，y<0，则a的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4，5，6以外的其它正整数
方程与不等式综合求参常见模型
1．利用方程（组）求不等式（组）中的参数；
含有字母的不等式（组），可以先求出它的解集，与已知的解集对照，再建立一次方程（组），从而求出其中字母的值；
2．利用不等式（组）求方程（组）中的参数或参数的范围
含字母的方程（组）可以求出它的解，由解满足的条件，建立不等式（组），就可以求出字母的取值范围；有时，可以把方程组进行加减，形成满足条件的等式，利用这个等式建立不等式（组）求解；
【例题】
36．关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
37．如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
38．关于的不等式组的解集为，则、的值是（ ）
A． B． C． D．
【练经典】
39．已知关于x、y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则z的取值范围是
40．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ．
【练易错】
41．若关于x，y的二元一次方程组．
(1)解出方程组的解（用含m的式子表示）；
(2)若方程组的解满足，求m的取值范围．
【阅读类小练】
42．阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：因为 ，所以． 又因为，所以 ，所以．
又，所以．
同理得：
由 得 ，
所以 的取值范围是 ．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且， ，则的取值范围是多少．
(2)已知关于 的方程组 的解都为正数．
①求的取值范围；
②已知 ，求的取值范围．
【新定义小练】
43．对于三个实数a，b，c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：max{ 1，2，6}=6，max{0，4，4}=4，若max{ x 1，2，2x 2}=2，则x的取值范围是 ．
参考答案
1．D
【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案．
【详解】解：解不等式，
可得．
A.由于，故不是不等式的解，故选项错误；
B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误；
C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误；
D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确；
故选D．
2．A
【分析】首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，判断即可．
【详解】解：解不等式2x－60得x3，
在数轴上表示为：
故选A．
【点睛】此题主要考查了在数轴上表示解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．A
【分析】求得不等式的解集，由题意可得出，则可得出答案．
【详解】解：∵
∴
∵不等式的解集为，
∴
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键．
4．A
【分析】本题主要考查利用数轴确定不等式组的解集；根据数轴可直接得出答案．
【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集是．
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的性质求出不等式的解集是解题的关键．
根据题意求出不等式的解集，再用排除法解题即可．
【详解】解：解不等式的解集是；
A．是不等式的一个解，故本选项不符合题意；
B．不是不等式的解集，故本选项不符合题意；
C．不等式的解集是，故本选项符合题意；
D．不等式的解集是，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．C
【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解．
【详解】解：根据题意得，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变．
7．C
【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】解：x>2在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有C选项符合；
故选：C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等．
8．B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选：B．
9．A
【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．
【详解】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意；
B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意；
C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意；
D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，符合题意；
、∵，
当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意；
、∵，
当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意；
故选：．
11．D
【分析】本题考查的是不等式的性质，根据不等式的基本性质在不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，都乘以同一个负数时，不等号的方向改变，都乘以零时，左右两边相等，从而可得答案.
【详解】解：∵，
当时，，
当时，，
当时，，
综上：由到，成立的条件是，
故选：D．
12．A
【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．
【详解】解：A．若，则不等式两边同时减去3得，，原变形成立，故本选项符合题意；
B．若，则不等式两边同时减去得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
D．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
故选：A．
13．D
【分析】本题主要考查了不等式的性质．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、由可得，故本项不符合题意；
B、由可得，故本项不符合题意；
C、由可得，故本项不符合题意；
D、由可得，故本项符合题意；
故选：D．
14．
【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质，即可得出正确答案．
【详解】解： ，
，
故答案为：．
15．C
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．若，根据不等式的性质①，两边同时加3得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
B．若，根据不等式的性质①两边同时减4得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
C．若，根据不等式的性质③两边同时乘得，，不等号的方向改变，原变形不成立，故本选项符合题意；
D．若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
故选：C．
16．A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解，先移项，再合并同类项，根据不等式性质求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
∴，
解得，
在数轴上表示不等式的解集如下：
．
故选：A．
17．B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答．
【详解】解：，
移项，得：，
不等式的最小整数解是，
，
故选：B．
18．
【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
19．D
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则，
表示在数轴上为：
．
故选：D．
20．D
【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先分别求出不等式的解集，然后求其正整数解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴正整数解为1，2，3，共3个，
故选：D．
21．＞
【详解】根据不等式的性质1，不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，可得答案．a﹣3>b﹣3.
故答案：>.
22．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
23．；见解析
【分析】先去分母，然后移项合并同类项，再将系数化为1，并把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
去分母得：，
移项合并同类项得：，
将未知数系数化为1得：．
把解集表示在数轴上，如图所示：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，注意不等式两边同除以或乘以同一个负数，不等号方向发生改变．
24．B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设该校足球队获胜了场，则平了场，根据最后的积分不少于分可列不等式，解不等式可得获胜的场次最少是多少．
【详解】解：设该校足球队获胜了场，则平了场，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
的最小值为．
故应选：B．
25．40
【分析】本题考查不等式的实际应用，设购进甲种商品为件，根据购进两种商品的总费用不超过2700元，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：设购进甲种商品为件，则购进乙种商品件，由题意，得：
，
解得：；
答：购进甲种商品不少于40件；
故答案为：40．
26．(1)采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元
(2)最多采购大型纪念品20套
【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意，正确的列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元，依题意列出方程即可得解；
（2）设采购大型纪念品能套，依题意列出不等式即可得解；
【详解】（1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元．
根据题意得．
解得．
．
答：采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元．
（2）设采购大型纪念品能套．
根据题意得．
解得．
答：最多采购大型纪念品20套．
27．C
【分析】五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，A队的积分为9分，就可以得到A队的胜负情况．
【详解】解：∵5个队进行单循环足球比赛，
∴每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次，
设A队胜x场，平y场，则由题意得：
x+y≤4，
3x+y=9，则y=9-3x，
将y=9-3x代入不等式得x+9-3x≤4，
解得：x≥2.5，
∴当x=3时，y=0，队积分9分，
故A队的战绩是3胜0平1负．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的应用，根据球队的积分判处出胜负的场次是解题的关键．
28．
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，利用不等式的性质解答． 由“”根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得售价的最小值．
【详解】解：设橙子每千克的售价至少为元，
依题意得：
解得：
即橙子每千克的售价至少为元．
故答案为：．
29．(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
∴，
∴，
∵每天分拣快递的件数，
∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
30．A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，得出关于a、b的方程组是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．
【详解】解：由不等式可得，
由不等式可得，
不等式组的解集为，
，
解得：，
，
故选A．
31．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解，再根据已知得出答案即可．
【详解】解：，
∵解不等式①得：，
又∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
32．C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，进而确定出非正整数，再相乘计算即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：，
则非正整数，，0，
所有满足条件的的积为，
故选：C．
33．
【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先解出的不等式组的解集是，再结合关于的不等式组有解，则，解得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵有解，
∴，
∴．
故答案为：．
34．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解：解不等式得：x＜2.5，
解不等式得：x＞a，
∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
35．B
【分析】利用加减消元法可解得x的代数式，根据x＞0，即可确定a的取值范围；同理可得y的代数式，根据y＜0，即可确定a的取值范围；综合可确定a的取值范围，再根据a是正整数即可确定a的值．
【详解】解：原方程组，
①﹣②×2得：ax﹣6x＝8﹣12，（a﹣6）x＝﹣4，
∵方程的解满足x＞0，
∴a﹣6＜0即a＜6．
①×3﹣②×a得：12y﹣2ay＝24﹣6a，即（6﹣a）y＝12﹣3a，
∵方程的解满足y＜0，且由以上得a＜6．
∴12﹣3a＜0，解得a＞4．
综上得4＜a＜6，又因为a是正整数，所以a＝5．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组和解不等式，要注意的是根据x，y的取值范围，则解出x，y关于a的式子，最终求出a的范围，即可确定整数a的值．
36．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组至少有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入④得：，解得
方程组的解为：，
关于的方程组的解为整数，
，解得：，
当时，，符合题意；
所有满足条件的整数的值为．
故答案为：．
37．
【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．
先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案．
【详解】解：解不等式，得．
解不等式，得．
该不等式组有解，
，
解得．
整理方程，得．
方程有正整数解，
，解得，
．
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得，不符合题意，舍去；
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
38．A
【分析】首先解不等式组利用a和b表示出不等式组的解集，然后根据不等是组的解集得到一个关于a和b的方程，解方程求解．
【详解】解：解不等式组得，
不等式组的解集为，
，
解得，
故选：．
【点睛】主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代数式中即可求解．
39． 5≤z≤ 2
【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得 1≤a≤1，据此得出3≤ 2a＋5≤7，即3≤b≤7，结合2≤b≤5知3≤b≤5，继而得出 5≤ b≤ 3，由b＝5 2a，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出a b的范围，即可得出答案．
【详解】解：解方程组，得，
∵方程组的解都是非负数，
∴，解得： 1≤a≤1，
∴ 2≤ 2a≤2，
则3≤ 2a＋5≤7，
∵2a＋b＝5，即b＝5 2a，
∴3≤b≤7，
∵2≤b≤5，
∴3≤b≤5，
则 5≤ b≤ 3，
∴3≤5 2a≤5，
解得0≤a≤1，
∴ 5≤a b≤ 2，即 5≤z≤ 2，
故答案为： 5≤z≤ 2．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
40．6
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的综合，掌握不等式组的取值方法，加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键．
根据不等式的性质解不等式组，结合不等式组的取值方法得到，运用加减消元法解二元一次方程组得到，根据解为整数，分别代入计算得到满足条件的的值为0或6，由此即可求解．
【详解】解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
∵关于的不等式组有且仅有4个整数解，
∴，
解得，，
，
解得，，
∵关于，的二元一次方程组的解为整数，
∴是的倍数，是的倍数，
当整数时，，符合题意；
当整数时，，不符合题意；
当整数时，，不符合题意；
当整数时，，不符合题意；
当整数时，，不符合题意；
当整数时，，不符合题意；
当整数时，，符合题意；
∴，
故答案为： ．
41．(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法求解可得；
（2）把x和y用含有m的式子表示，代入，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．
【详解】（1）解：
由得③
由得
解得：
把代入①解得：
所以方程组的解为；
（2）将代入，
得，
解得
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
42．(1)
(2)①；②
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）①先解二元一次方程组求出方程组的解，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可；②分别求出范围相加即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴①，
同理可得②，
由得：，
∴的取值范围为
（2）解：①解方程组，
得，
∵该方程组的解都是正数，
∴，
∴，
解不等式组得：，
∴a的取值范围为：；
②∵，
∴，
∵①，
∴，
∴②，
∴得，
∴的取值范围为
【点睛】本题考查的是一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，二元一次方程组的解法，新运算方法的理解，掌握一元一次不等式组的解法，二元一次方程组的解法、理解阅读材料是解题的关键．
43．
【分析】根据题意，可以得到关于x的不等式，然后即可求得x的取值范围．
【详解】解：∵max{-x-1，2，2x-2}=2，
∴，
解得-3≤x≤2，
故答案为：-3≤x≤2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．

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