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第1课时　任意角和弧度制、三角函数的概念
[考试要求]　1．了解任意角的概念和弧度制. 2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的______旋转所成的图形．
(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、______．
②按终边位置不同分为________和轴线角．
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为_____．
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝___________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长，r表示半径)
角度与弧度的换算 1°＝____ rad；1 rad＝______
弧长公式 弧长l＝________(R是圆的半径，α为该弧所对的圆心角)
扇形面积公式 S＝lR＝_______(R是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，l是扇形弧长，S是扇形面积)
提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与________交于点P(x，y)
定义 正弦 ___叫做α的正弦函数，记作sin α
余弦 ___叫做α的余弦函数，记作cos α
正切 ____叫做α的正切函数，记作tan α
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么r＝__，sin α＝__，cos α＝__，tan α＝__(x≠0)．
[常用结论]
1．三角函数值在各象限的符号规律
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若α∈，则tan α>α>sin α．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角． (　　)
(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是. (　　)
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角． (　　)
(4)终边落在直线y＝x上的角可以表示为k·360°＋45°，k∈Z. (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P175练习T1改编)660°等于(　　)
A． rad B． rad
C． rad D． rad
2．(人教A版必修第一册P180例3改编)若sin α<0，且tan α>0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)已知圆心角为的扇形所对的弧长为2π，则该扇形的面积为________．
4．(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
考点一　任意角
[典例1]　(1)(多选)与－835°终边相同的角有(　　)
A．－245°　　B．245°　　C．－115°　　D．－475°
(2)若α是第二象限角，则(　　)
A．－α是第一象限角
B．是第三象限角
C．＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　确定mα，(m∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围．
(2)写出mα或的范围．
(3)根据k的可能取值确定mα或的终边所在的位置．技巧：分母m是几，对k连取几个值判断，k＝0，1，2，….
[跟进训练]
1．(1)(2025·湖北襄阳模拟)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝x上，则角α的取值集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于直线y＝－x对称，写出一个符合题意的θ值为________．
考点二　扇形的弧长及面积公式
[典例2]　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　应用弧度制解决问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长、面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[跟进训练]
2．(1)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为(　　)
A．4　　　B．2　　　C．2　　　D．1
(2)机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB的长为1，则莱洛三角形的周长是________，其面积是________．
考点三　三角函数的概念及应用
[典例3]　(1)(2025·河南五市模拟)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有(　　)
A．sin α＝－
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝±
D．tan α＝±1
(2)(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
[跟进训练]
3．(1)(多选)在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
(2)(多选)质点A和B在以坐标原点O为圆心、半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．A的角速度大小为3 rad/s，起点为⊙O与x轴非负半轴的交点；B的角速度大小为1 rad/s，起点为射线y＝x(x≥0)与⊙O的交点．当A与B重合时，点A的坐标可以是(　　)
A． B．(0，1)
C．(－1，0) D．(0，－1)
第1课时　任意角和弧度制、三角函数的概念
梳理·必备知识
1．(1)端点　(2)零角　象限角　(3)－α　(4)α＋k·360°，k∈Z
2．(1)半径长　(2)°　αR2
3．(1)单位圆　y　x　　(2)
激活·基本技能
一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、1．A　[ rad＝π rad.]
2．C　[若sin α＜0，则角α在第三或第四象限或终边落在y轴负半轴上，若tan α＞0，则角α 在第一或第三象限，所以当sin α＜0且tan α＞0时，角α 在第三象限．故选C.]
3．12π　[∵α＝，l＝αr，∴r＝＝12，
∴扇形面积S＝×2π×12＝12π.]
4．－　－　[因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝.于是sin α＝，cos α＝，tan α＝.]
考点一
典例1　(1)BCD　(2)D　[(1)与－835°终边相同的角可表示为－835°＋k·360°，k∈Z，当k＝1时，为－475°；
当k＝2时，为－115°；
当k＝3时，为245°.故选BCD.
(2)因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；
对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限，所以B错误；
对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，
即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误；
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确．]
跟进训练
1．(1)D　(2)(答案不唯一)　 [(1)根据题意，角α的终边在直线y＝x上，当α为第一象限角时，α＝＋2kπ；
当α为第三象限角时，α＝＋2kπ；
综上，角α的取值集合是.
故选D.
(2)由点P，Q关于直线y＝－x对称，且点Q是点P在单位圆上逆时针旋转得到，如图所示，∠POQ＝且被y＝－x平分，而OP为θ终边，故θ＝＋kπ，k∈Z，不妨取θ＝(答案不唯一)．
]
考点二
典例2　解：(1)α＝35°＝35× rad＝ rad，
扇形的弧长l＝αr＝(cm)．
(2)法一：由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0则S＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，
当r＝4 cm时，Smax＝16 cm2，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2 rad，
∴S的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad.
法二：由题意知2r＋l＝16，∴S＝＝16，
当且仅当l＝2r，即r＝4 cm时，S的最大值是16 cm2.
此时扇形的圆心角α＝2 rad.
跟进训练
2．(1)C　(2)π　 　[(1)设扇形的半径为R(R>0)，圆心角为α(α＞0)，
则αR2＝4，所以α＝，
则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋
≥2＝8，
当且仅当2R＝，即R＝2时取等号，此时α＝2，
所以周长最小时半径的值为2.故选C.
(2)由已知∠BAC＝，AB＝1，
得，则莱洛三角形的周长是π.
又以点A，B，C为圆心，所对的扇形面积为，中间等边△ABC的面积S＝，
所以莱洛三角形的面积是3×.]
考点三
典例3　(1)C　(2)D　[(1)因为角α的终边落在直线y＝x上，
当α的终边在第一象限时，sin α＝cos α＝，tan α＝1，
当α的终边在第三象限时，sin α＝cos α＝，tan α＝1.故选C.
(2)法一：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.
法二：当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A，B，C，故选D.]
跟进训练
3. (1)AB　(2)BD　[(1)由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0.
选项A，>0；选项B，cos α－sin α>0；
选项C，sin αcos α<0；选项D，sin α＋cos α符号不确定．故选AB.
(2)依题意，点A的起始位置A0(1，0)，点B的起始位置B0，则∠A0OB0＝，
设当A与B重合时，用的时间为t s，于是3t－t＝＋2kπ，k∈N，即t＝＋kπ，k∈N，
则3t＝＋3kπ，k∈N，当k为偶数时，A，即A(0，1)，B正确；
当k为奇数时，A，即A(0，－1)，D正确．
故选BD.]
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第四章　三角函数与解三角形
第四章　三角函数与解三角形
[教师备选资源]
新高考卷三年考情图解

第四章　三角函数与解三角形
高考命题规律把握
1．常考点：三角恒等变换，正、余弦定理，三角函数的图象与性质．
解三角形问题主要考查三角恒等变换与正、余弦定理的交汇综合．
2．轮考点：三角函数的概念、诱导公式．
命题主要以三角函数的化简求值、函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象识别、性质的应用为主，试题侧重公式的变形和对图象、性质的研究，难度中等．
第1课时
任意角和弧度制、三角函数的概念
[考试要求]　1．了解任意角的概念和弧度制.
2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
链接教材·夯基固本
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的______旋转所成的图形．
(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、______．
②按终边位置不同分为________和轴线角．
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为_____．
端点
零角
象限角
－α
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝___________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
α＋k·360°，k∈Z
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2)公式
半径长
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算
1°＝______ rad；1 rad＝________
°
提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
弧长公式 弧长l＝________(R是圆的半径，α为该弧所对的圆心角)
扇形面积公式
|α|R
αR2
3．任意角的三角函数
(1)定义
前提
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与________交于点P(x，y)
单位圆
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么r＝________，sin α＝_____，cos α＝_____，tan α＝_____ (x≠0)．
定义 正弦 ___叫做α的正弦函数，记作sin α
余弦 ___叫做α的余弦函数，记作cos α
正切
___叫做α的正切函数，记作tan α
y
x
[常用结论]
1．三角函数值在各象限的符号规律
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若α∈，则tan α>α>sin α．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角． (　　)
(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是. (　　)
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角． (　　)
(4)终边落在直线y＝x上的角可以表示为k·360°＋45°，k∈Z. (　　)
×
×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P175练习T1改编)660°等于(　　)
A． rad B． rad
C． rad D． rad
A　[660°＝660× rad＝π rad.]
2．(人教A版必修第一册P180例3改编)若sin α<0，且tan α>0，则角α是
(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
√
C　[若sin α＜0，则角α在第三或第四象限或终边落在y轴负半轴上，若tan α＞0，则角α 在第一或第三象限，所以当sin α＜0且tan α＞0时，角α 在第三象限．故选C.]
3．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)已知圆心角为的扇形所对的弧长为2π，则该扇形的面积为________．
12π　[∵α＝，l＝αr，∴r＝＝12，
∴扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.]
12π
4．(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
－　－　[因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝＝.于是sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝－.]
－
考点一　任意角
[典例1]　(1)(多选)与－835°终边相同的角有(　　)
A．－245°　　B．245°　　C．－115°　　D．－475°
(2)若α是第二象限角，则(　　)
A．－α是第一象限角
B．是第三象限角
C．＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
典例精研·核心考点
√
√
√
√
(1)BCD　(2)D　[(1)与－835°终边相同的角可表示为－835°＋k·360°，k∈Z，当k＝1时，为－475°；
当k＝2时，为－115°；
当k＝3时，为245°.故选BCD.
(2)因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；
对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限，所以B错误；
对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，
即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误；
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确．]
名师点评　确定mα，(m∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围．
(2)写出mα或的范围．
(3)根据k的可能取值确定mα或的终边所在的位置．技巧：分母m是几，对k连取几个值判断，k＝0，1，2，….
[跟进训练]
1．(1)(2025·湖北襄阳模拟)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝x上，则角α的取值集合是(　　)
A． B．
C． D．
(2)若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于直线y＝－x对称，写出一个符合题意的θ值为______________．
√
(答案不唯一)
(1)D　(2)(答案不唯一)　[(1)根据题意，角α的终边在直线y＝x上，当α为第一象限角时，α＝＋2kπ；
当α为第三象限角时，α＝＋2kπ；
综上，角α的取值集合是.
故选D.
(2)由点P，Q关于直线y＝－x对称，且点Q是点P在单位圆上逆时针旋转得到，如图所示，∠POQ＝且被y＝－x平分，而OP为θ终边，故θ＝＋kπ，k∈Z，不妨取θ＝(答案不唯一)．]
【教用·备选题】
下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
√
C　[对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋(k∈Z)中角度和弧度混用，不正确；
对于C，因为＝2π＋与－315°是终边相同的角，
故与角的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；
对于D，kπ＋(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角与终边不相同，D错误，
故选C.]
考点二　扇形的弧长及面积公式
[典例2]　已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
[解]　(1)α＝35°＝35× rad＝ rad，
扇形的弧长l＝αr＝×8＝(cm)．
(2)法一：由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0则S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，
当r＝4 cm时，Smax＝16 cm2，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2 rad，
∴S的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad.
法二：由题意知2r＋l＝16，∴S＝lr＝l·2r≤＝16，
当且仅当l＝2r，即r＝4 cm时，S的最大值是16 cm2.
此时扇形的圆心角α＝2 rad.
名师点评　应用弧度制解决问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长、面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[跟进训练]
2．(1)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为(　　)
A．4　　　B．2　　　C．2　　　D．1
√
(2)机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB的长为1，则莱洛三角形的周长是________，其面积是________．
π
(1)C　(2)π　 　[(1)设扇形的半径为R(R>0)，圆心角为α(α＞0)，
则αR2＝4，所以α＝，
则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋≥2＝8，
当且仅当2R＝，即R＝2时取等号，此时α＝2，
所以周长最小时半径的值为2.
故选C.
(2)由已知∠BAC＝，AB＝1，
得＝＝＝×1＝，则莱洛三角形的周长是π.
又以点A，B，C为圆心，所对的扇形面积为×12＝，中间等边△ABC的面积S＝×1×1×＝，
所以莱洛三角形的面积是3×－2×＝.]
【教用·备选题】
屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图所示，扇环外环弧长为3.6 m，内环弧长为1.2 m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为(　　)
A．2.58 m2　 B．2.68 m2
C．2.78 m2 D．2.88 m2
√
D　[设扇形的圆心角为α，内环半径为r m，外环半径为R m，则R－r＝1.2(m)，
由题意可知，αr＝1.2(m)，αR＝3.6(m)，
所以α(R＋r)＝4.8(m)，
所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S＝α(R2－r2)＝α(R＋r)(R－r)＝×4.8×1.2＝2.88(m2)．]
考点三　三角函数的概念及应用
[典例3]　(1)(2025·河南五市模拟)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有(　　)
A．sin α＝－
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝±
D．tan α＝±1
√
(2)(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0
C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
√
(1)C　(2)D　[(1)因为角α的终边落在直线y＝x上，
当α的终边在第一象限时，sin α＝cos α＝，tan α＝1，
当α的终边在第三象限时，sin α＝cos α＝－，tan α＝1.故选C.
(2)法一：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.
法二：当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A，B，C，故选D.]
名师点评　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
[跟进训练]
3．(1)(多选)在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
√
√
(2)(多选)质点A和B在以坐标原点O为圆心、半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．A的角速度大小为3 rad/s，起点为⊙O与x轴非负半轴的交点；B的角速度大小为1 rad/s，起点为射线y＝x(x≥0)与⊙O的交点．当A与B重合时，点A的坐标可以是(　　)
A． B．(0，1)
C．(－1，0) D．(0，－1)
√
√
(1)AB　(2)BD　[(1)由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0.
选项A，>0；选项B，cos α－sin α>0；
选项C，sin αcos α<0；选项D，sin α＋cos α符号不确定．故选AB.
(2)依题意，点A的起始位置A0(1，0)，点B的起始位置B0，则∠A0OB0＝，
设当A与B重合时，用的时间为t s，于是3t－t＝＋2kπ，k∈N，即t＝＋kπ，k∈N，
则3t＝＋3kπ，k∈N，当k为偶数时，A，即A(0，1)，B正确；
当k为奇数时，A，即A(0，－1)，D正确．
故选BD.]
【教用·备选题】
1．(2024·江苏徐州一模)若角θ的终边经过两点，则xy＝(　　)
A．2 B．－2
C．－1 D．1
√
B　[角θ的终边经过两点，
则tan θ＝＝，所以xy＝－2.故选B.]
2．在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则sin α＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
√
B　[依题意，
因为sin ＝，cos ＝－，所以终边经过的点为，所以终边在第四象限，所以sin α＝＝－.故选B.]
3．(多选)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴非负半轴交于点A(1，0)．已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是(　　)
A．若∠AOB＝α，则＝α
B．若y1＝sin x0，则x1＝x0
C．若y1＝sin x0，则＝x0
D．若＝x0，则y1＝sin x0
√
√
AD　[由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；
由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cos x0，所以B错误；
当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；
反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确．故选AD.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2025·河北石家庄模拟)集合A＝{α|α＝－2 025°＋k·180°，k∈Z}中的最大负角α为(　　)
A．－2 025° B．－225°
C．－45° D．－25°
13
课后作业(二十)　任意角和弧度制、三角函数的概念
√
14
C　[因为－2 025°＝－45°－11×180°，所以集合A＝{α|α＝
－2 025°＋k·180°，k∈Z}中的最大负角α为－45°.故选C.]
题号
1
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12
13
14
2．(2024·浙江五校联盟模拟)已知角α的终边过点P(－3，2cos α)，则cos α＝(　　)
A． B．－
C．± D．－
题号
1
3
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13
14
√
B　[∵角α的终边过点P(－3，2cos α)，
∴cos α＝，解得cosα＝±，
∵cos α＝<0，
∴cosα＝－.
故选B.]
题号
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13
14
3．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为(　　)
A． B．
C． D．2
题号
1
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14
√
C　[设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则
解得故选C.]
题号
1
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13
14
4．在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　)
A． B．
C．2 D．
题号
1
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13
14
√
D　[展开过程中： BM＝＝φ·R＝2，BO＝1，
MO＝＝.故选D.]
题号
1
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14
5．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
题号
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13
14
√
A　[因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.]
6．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，如图为其结构简化图．设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
题号
1
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14
√
A　[如图，连接AB，取AB的中点为D，连接OD，由题意可得AD＝d，∠DOA＝，OD⊥AB，设OA＝r，在Rt△ADO中，sin ＝， ①
又l＝rθ， ②
所以由①②可得＝，即＝.故选A.]
题号
1
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14
二、多项选择题
7．(教材改编)若角α的终边在第三象限，则的值可能为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．－4
题号
1
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√
√
BC　[由角α的终边在第三象限，得－π＋2kπ<α<－＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ<<－＋kπ，k∈Z，
因此是第二象限角或第四象限角，
当是第二象限角时，＝1－2－(－3)＝2，
当是第四象限角时，＝－1＋2－(－3)＝4.
故选BC.]
题号
1
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14
8．已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是(　　)
A．sin θ＝－
B．α为钝角
C．cos α＝－
D．点(tan θ，sin α)在第一象限
题号
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√
√
√
ACD　[角θ的终边经过点(－2，－)，sin θ＝－，A正确；
θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确；
因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确．]
题号
1
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14
三、填空题
9．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则5sin α＋5cos α＋4tan α＝__________.
题号
1
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－4或－2
－4或－2　[设α终边上任意一点为P(－4a，3a)，r＝5|a|.当a>0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，
∴5sin α＋5cos α＋4tan α＝3－4－3＝－4；
当a<0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，
∴5sin α＋5cos α＋4tan α＝－3＋4－3＝－2.
综上可知，5sin α＋5cos α＋4tan α＝－4或－2.]
题号
1
3
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14
10．(2025·广东潮汕实验中学模拟)已知质点A1，A2从点P(1，0)处分别以ω1＝4 rad/s，ω2＝2 rad/s的速度同时在圆x2＋y2＝1上做逆时针运动，若经过t s，A1，A2第一次相遇，则t＝________．
题号
1
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13
14
π　[由已知得，经过t s，A1，A2第一次相遇，此时A1比A2多走一圈，所以4t－2t＝2π×1，所以t＝π.]
π
题号
1
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12
13
14
11．(2024·山东潍坊三模)如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N)，标志位于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是(　　)
A．2 B．1
C． D．
√
B　[由圆M与圆N外切，得MN＝2，
又圆M，圆N与x轴分别相切于原点O和点B，则OB＝MN＝2，
所以的长等于OB的长，为2，
所以对应的扇形面积为×2×1＝1.
故选B.]
题号
1
3
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14
12．(2025·广东东莞模拟)在平面直角坐标系Oxy中，半径为2的圆O与y轴非负半轴的交点为P0，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，则2 s时点P的坐标为(　　)
A．
B．
C．
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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12
13
14
√
D　[设P，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，
则经过2 s所走过圆心角的弧度数为1×2＝2，所以P点是α＝－2的终边与半径为2的圆O的交点，根据三角函数的定义可得，
sin α＝sin ＝cos 2＝，即y＝2cos 2，
cos α＝cos ＝sin 2＝，即x＝2sin 2.故选D.]
题号
1
3
5
2
4
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13
14
13．(多选)(2024·河北保定二模)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义：
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
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13
14
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即＝csc α；
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即＝sec α.
下列结论正确的有(　　)
A．csc＝－
B．cos α·sec α＝1
C．函数f (x)＝csc x的定义域为
D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α≥5
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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12
13
14
√
√
√
ABD　[csc＝＝－，A正确；
cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确；
函数f (x)＝csc x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，C错误；
sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋≥5，
当sin2α＝±1时，等号成立，D正确．故选ABD.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
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13
14
14．(2023·北京高考)已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β.能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝_______________，β＝____________________．
题号
1
3
5
2
4
6
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13
14
(答案不唯一)　(答案不唯一)　[取α＝＋2π，β＝，
则α>β，但tan α＝tan β，不满足tan α>tan β，
∴命题p为假命题，∴能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝，β＝.]
(答案不唯一)
(答案不唯一)
谢 谢！课后作业(二十)　任意角和弧度制、三角函数的概念
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共73分
一、单项选择题
1．(2025·河北石家庄模拟)集合A＝{α|α＝－2 025°＋k·180°，k∈Z}中的最大负角α为(　　)
A．－2 025° B．－225°
C．－45° D．－25°
2．(2024·浙江五校联盟模拟)已知角α的终边过点P(－3，2cos α)，则cos α＝(　　)
A． B．－
C．± D．－
3．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为(　　)
A． B．
C． D．2
4．在平面直角坐标系Oxy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细线的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　)
A． B．
C．2 D．
5．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
6．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，如图为其结构简化图．设扇面A，B间的圆弧长为l，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ，则l，d和θ所满足的关系为(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
二、多项选择题
7．(教材改编)若角α的终边在第三象限，则的值可能为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．－4
8．已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列结论正确的是(　　)
A．sin θ＝－
B．α为钝角
C．cos α＝－
D．点(tan θ，sin α)在第一象限
三、填空题
9．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则5sin α＋5cos α＋4tan α＝________.
10．(2025·广东潮汕实验中学模拟)已知质点A1，A2从点P(1，0)处分别以ω1＝4 rad/s，ω2＝2 rad/s的速度同时在圆x2＋y2＝1上做逆时针运动，若经过t s，A1，A2第一次相遇，则t＝________．
11．(2024·山东潍坊三模)如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N)，标志位于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是(　　)
A．2 B．1
C． D．
12．(2025·广东东莞模拟)在平面直角坐标系Oxy中，半径为2的圆O与y轴非负半轴的交点为P0，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，则2 s时点P的坐标为(　　)
A．
B．
C．
D．
13．(多选)(2024·河北保定二模)一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数．下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即＝csc α；
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即＝sec α.
下列结论正确的有(　　)
A．csc＝－
B．cos α·sec α＝1
C．函数f (x)＝csc x的定义域为
D．sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α≥5
14．(2023·北京高考)已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β.能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝________，β＝________．
课后作业(二十)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．C　[因为－2 025°＝－45°－11×180°，所以集合A＝{α|α＝－2 025°＋k·180°，k∈Z}中的最大负角α为－45°.故选C.]
2．B　[∵角α的终边过点P(－3，2cos α)，
∴cos α＝，解得cosα＝±，
∵cos α＝<0，
∴cosα＝－.
故选B.]
3．C　[设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则
解得故选C.]
4．D　[展开过程中： BM＝＝φ·R＝2，BO＝1，
MO＝＝.故选D.]
5．A　[因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.]
6．A　[如图，连接AB，取AB的中点为D，连接OD，由题意可得AD＝d，∠DOA＝，OD⊥AB，设OA＝r，在Rt△ADO中，sin ＝， ①
又l＝rθ， ②
所以由①②可得＝，即＝.故选A.]
7．BC　[由角α的终边在第三象限，得－π＋2kπ<α<－＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ<<－＋kπ，k∈Z，
因此是第二象限角或第四象限角，
当是第二象限角时，＝1－2－(－3)＝2，
当是第四象限角时，＝－1＋2－(－3)＝4.
故选BC.]
8．ACD　[角θ的终边经过点(－2，－)，sin θ＝－，A正确；
θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cos α＝－，B错误，C正确；
因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D正确．]
9．－4或－2　[设α终边上任意一点为P(－4a，3a)，r＝5|a|.当a>0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，
∴5sin α＋5cos α＋4tan α＝3－4－3＝－4；
当a<0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，
∴5sin α＋5cos α＋4tan α＝－3＋4－3＝－2.
综上可知，5sin α＋5cos α＋4tan α＝－4或－2.]
10．π　[由已知得，经过t s，A1，A2第一次相遇，此时A1比A2多走一圈，所以4t－2t＝2π×1，所以t＝π.]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．B　[由圆M与圆N外切，得MN＝2，
又圆M，圆N与x轴分别相切于原点O和点B，则OB＝MN＝2，
所以的长等于OB的长，为2，
所以对应的扇形面积为×2×1＝1.
故选B.]
12．D　[设P，动点P从P0出发，以1 rad/s的角速度按顺时针方向在圆O上做匀速圆周运动，
则经过2 s所走过圆心角的弧度数为1×2＝2，所以P点是α＝－2的终边与半径为2的圆O的交点，根据三角函数的定义可得，
sin α＝sin ＝cos 2＝，即y＝2cos 2，
cos α＝cos ＝sin 2＝，即x＝2sin 2.故选D.]
13．ABD　[csc＝＝－，A正确；
cos α·sec α＝cos α·＝1，B正确；
函数f (x)＝csc x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，C错误；
sec2α＋sin2α＋csc2α＋cos2α＝1＋＝1＋＝1＋≥5，
当sin2α＝±1时，等号成立，D正确．故选ABD.]
14．(答案不唯一)　(答案不唯一)　[取α＝＋2π，β＝，
则α>β，但tan α＝tan β，不满足tan α>tan β，
∴命题p为假命题，∴能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝，β＝.]
3 / 4

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