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第2课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考试要求]　1．理解同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2．掌握诱导公式，并会简单应用．
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝___；
(2)商数关系：tanα＝__．
2．诱导公式
角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α ________
余弦 cos α －cos α cos α __________ sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α __________
口诀 奇变偶不变，符号看象限
[常用结论]
基本关系 常用变形
平方关系 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)， cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)
商数关系 sin α＝tan αcos α
和积互化 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α
弦切互化 sin2α＝＝， cos2α＝＝， sin αcos α＝＝，其中α≠＋kπ，k∈Z
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1． (　　)
(2)若α∈R，则tanα＝恒成立． (　　)
(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (　　)
(4)若sin ＝，则cos α＝－． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sin α＝＜α＜π，则tan α＝(　　)
A．－2　　　B．2　　　C．　　　D．－
2．(人教A版必修第一册P186习题5.2 T15改编)已知tan α＝，则的值为________．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
3．(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简·cos (π－α)的结果为________．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版必修第一册P185习题5.2T12改编)已知sin α·cos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α＝________．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点一　同角三角函数的基本关系
　“知一求二”问题
[典例1]　(1)(2025·重庆模拟)已知sin ＝，α∈，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　关于sin α，cos α齐次式的求值问题
[典例2]　已知tan x＝3，则＝________，sin x·cos x＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
[典例3]　(多选)已知 sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　)
A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝
C．sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　(1)利用“方程”思想，解决知弦求切，知切求弦问题．
(2)应用“弦切互化”思想，解决同角三角函数基本关系的齐次式求值问题．
(3)sin α±cos α与sin αcos α互化，可解方程组求sin α，cos α.
[跟进训练]
1．(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝3x上，则cos 2θ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)若sin θ＋cos θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．
考点二　诱导公式的应用
[典例4]　(1)下列各数中，与sin 2 026°的值最接近的是(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)已知cos ＝，则sin cos ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　常见的互余和互补的角
互余的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α
互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ
[跟进训练]
2．(1)已知cos(75°＋α)＝，则cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝________．
(2)(2025·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P(1，－2)，则＝________．
考点三　同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
[典例5]　(教材改编)已知sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin (37°＋α)的值．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　(1)利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
(3)利用诱导公式，关键是符号问题．
[跟进训练]
3．已知－π＜x＜0，sin (π＋x)－cos x＝－，则＝________．
第2课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式
梳理·必备知识
1．(1)1　(2)
2．cos α　－cos α　－tan α
激活·基本技能
一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、1.D　[因为＜α＜π，所以cos α＝，所以tanα＝.]
2．－　[原式＝.]
3．－sin α　[原式＝(－cos α)＝－sin α.]
4．－　[因为＜α＜，所以sin α＞cos α，
而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×，所以cos α－sin α＝－.]
考点一
考向1　典例1　(1)C　(2)－　[(1)由sin ＝，得cos α＝，
又α∈(0，π)，所以sin α＝＝，
所以tanα＝＝.故选C.
(2)由且θ∈，解得故sin θ－cos θ＝－.]
考向2　典例2　　[法一：因为tan x＝3，所以＝3，即sin x＝3cos x，
所以＝＝＝.
因为sin2x＋cos2x＝1，
所以sin2x＋cos2x＝9cos2x＋cos2x＝1，解得cos2x＝，
所以sinx·cos x＝3cos x·cos x＝3cos2x＝3×＝.
法二：＝＝，
sin x·cos x＝＝＝.]
考向3　典例3　 ACD　[对于A，因为sin θ＋cos θ＝，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
即sin θcos θ＝－，所以A正确；
对于B，C，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
因为θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－<0，
所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，
所以sin θ－cos θ＝，所以B错误，C正确；
对于D，联立
解得sin θ＝，cos θ＝－，
所以tan θ＝－，所以D正确．故选ACD.]
跟进训练
1．(1)A　(2)　[(1)∵角θ的终边在直线y＝3x上，
∴分别在第一象限、第三象限取点(1，3)，(－1，－3)，∴tan θ＝3，
∴cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝.
故选A.
(2)由sinθ＋cos θ＝，
平方得1＋2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝，
∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×.]
考点二
典例4　(1)C　(2)A　[(1)∵2 026°＝5×360°＋180°＋46°，∴sin 2 026°＝－sin 46°.故选C.
(2)由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得sin ＝sin ＝sin ，cos ＝cos ＝－sin ，
所以sin cos ＝－sin2＝cos2－1＝－1＝－.故选A.]
跟进训练
2．(1)0　(2)3　[(1)因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(75°＋α)＝90°，
所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]
＝－cos (75°＋α)＝－，sin (15°－α)＝sin [90°－(α＋75°)]＝cos (75°＋α)＝.
所以cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝－＝0.
(2)因为角α终边上一点P(1，－2)，所以tan α＝＝－2，
所以＝＝＝3.]
考点三
典例5　解：由已知－270°<α<－90°可得，143°<53°－α<323°，因为sin (53°－α)＝＞0，所以cos (53°－α)＝－＝－＝－，
所以sin(37°＋α)＝sin [90°－(53°－α)]＝cos (53°－α)＝－.
跟进训练
3．－　[由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，
整理得2sinx cos x＝－.
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝，
由－π＜x＜0知，sin x＜0，又sin x cos x＝－＜0，∴cos x＞0，∴sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
∴＝
＝＝
＝－.]
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第四章　
三角函数与解三角形
第2课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考试要求]　1．理解同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．
2．掌握诱导公式，并会简单应用．
链接教材·夯基固本
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝___；

(2)商数关系：tanα＝____________________．
1
2．诱导公式
角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α ________
余弦 cos α －cos α cos α ________ sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α ________
口诀 奇变偶不变，符号看象限 cos α
－cos α
－tan α
[常用结论]
基本关系 常用变形
平方关系 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)，
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)
商数关系
和积互化 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α
基本关系 常用变形
弦切互化
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1． (　　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立． (　　)
(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (　　)
(4)若sin ＝，则cos α＝－． (　　)
×
×
×
√
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sin α＝＜α＜π，则tan α＝(　　)
A．－2　　　B．2　　　C．　　　D．－
D　[因为＜α＜π，所以cos α＝－＝－＝
－，所以tan α＝＝－.]
2．(人教A版必修第一册P186习题5.2 T15改编)已知tan α＝，则的值为________．
－　[原式＝＝＝－.]
－　
3．(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简·cos (π－α)的结果为________．
－sin α　[原式＝(－cos α)＝－sin α.]
－sin α
4．(人教A版必修第一册P185习题5.2T12改编)已知sin α·cos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α＝________．
－　[因为＜α＜，
所以sin α＞cos α，
而(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－.]
－　
考点一　同角三角函数的基本关系
考向1　“知一求二”问题
[典例1]　(1)(2025·重庆模拟)已知sin ＝，α∈，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝
________．
典例精研·核心考点
√
－
(1)C　(2)－　[(1)由sin ＝，得cos α＝，
又α∈(0，π)，所以sin α＝＝，
所以tan α＝＝.故选C.
(2)由且θ∈，解得故
sin θ－cos θ＝－.]
考向2　关于sin α，cos α齐次式的求值问题
[典例2]　已知tan x＝3，则＝________，sin x·cos x＝________．
　[法一：因为tan x＝3，所以＝3，即sin x＝3cos x，
所以＝＝＝.
因为sin2x＋cos2x＝1，
所以sin2x＋cos2x＝9cos2x＋cos2x＝1，解得cos2x＝，
所以sinx·cos x＝3cos x·cos x＝3cos2x＝3×＝.
法二：＝＝，
sin x·cos x＝＝＝.]
考向3　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
[典例3]　(多选)已知 sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　)
A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝
C．sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－
√
√
√
ACD　[对于A，因为sin θ＋cos θ＝，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
即sin θcos θ＝－，所以A正确；
对于B，C，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
因为θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－<0，
所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，
所以sin θ－cos θ＝，所以B错误，C正确；
对于D，联立
解得sin θ＝，cos θ＝－，
所以tan θ＝－，所以D正确．故选ACD.]
名师点评　(1)利用“方程”思想，解决知弦求切，知切求弦问题．
(2)应用“弦切互化”思想，解决同角三角函数基本关系的齐次式求值问题．
(3)sin α±cos α与sin αcos α互化，可解方程组求sin α，cos α.
[跟进训练]
1．(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝3x上，则cos 2θ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)若sin θ＋cos θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．
√
(1)A　(2)　[(1)∵角θ的终边在直线y＝3x上，
∴分别在第一象限、第三象限取点(1，3)，(－1，－3)，∴tanθ＝3，
∴cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－.
故选A.
(2)由sin θ＋cos θ＝，
平方得1＋2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝，
∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×＝.]
考点二　诱导公式的应用
[典例4]　(1)下列各数中，与sin 2 026°的值最接近的是(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)已知cos ＝，则sin cos ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
√
√
(1)C　(2)A　[(1)∵2 026°＝5×360°＋180°＋46°，∴sin 2 026°＝－sin 46°.故选C.
(2)由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得sin ＝sin ＝sin ，cos ＝cos ＝
－sin ，
所以sin cos ＝－sin2＝cos2－1＝－1＝－.故选A.]
名师点评　常见的互余和互补的角
互余的角
互补的角
[跟进训练]
2．(1)已知cos(75°＋α)＝，则cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝________．
(2)(2025·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P(1，－2)，则＝________．
0
3
(1)0　(2)3　[(1)因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(75°＋α)＝90°，
所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]
＝－cos (75°＋α)＝－，sin (15°－α)＝sin [90°－(α＋75°)]＝cos (75°＋α)＝.
所以cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝－＝0.
(2)因为角α终边上一点P(1，－2)，所以tan α＝＝－2，
所以＝＝＝3.]
考点三　同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
[典例5]　(教材改编)已知sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin (37°＋α)的值．
[解]　由已知－270°<α<－90°可得，143°<53°－α<323°，因为sin (53°－α)＝＞0，所以cos (53°－α)＝－＝－＝－，
所以sin(37°＋α)＝sin [90°－(53°－α)]＝cos (53°－α)＝－.
名师点评　(1)利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
(3)利用诱导公式，关键是符号问题．
[跟进训练]
3．已知－π＜x＜0，sin (π＋x)－cos x＝－，则＝________．
－　[由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，
整理得2sinx cos x＝－.
－
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝，
由－π＜x＜0知，sin x＜0，又sin x cos x＝－＜0，∴cos x＞0，∴sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
∴＝
＝＝＝－.]
【教用·备选题】
1．(多选)若α为第一象限角，cos ＝，则(　　)
A．sin ＝－
B．cos ＝－
C．sin ＝－
D．tan ＝－
√
√
BD　[由题意得2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
则2kπ－<α－<＋2kπ，k∈Z，
若α－是第四象限角，则cos >cos ＝>，不符合题意．
所以α－是第一象限角，
所以sin ＝.
sin ＝sin ＝cos
＝cos ＝，A项错误；
cos ＝cos ＝－cos ＝－，B项正确；
sin ＝sin ＝－cos ＝－cos ＝
－，C项错误；
tan ＝－tan ＝－＝－，D项正确．故选BD.]
2．(多选)若＝－，则tan (k∈Z)的值可能是
(　　)
A． B．
C．2 D．3
√
√
CD　[＝sin θ·(cos θ－sin θ)
＝＝＝.
得5tanθ－5tan2θ＝－3－3tan2θ，
即2tan2θ－5tanθ－3＝0，解得tan θ＝－或tan θ＝3.
当k＝2m(m∈Z)时，tan ＝tan (mπ＋θ)＝tan θ，
当k＝2m－1(m∈Z)时，tan ＝
tan ＝tan ＝－，
所以，当tan θ＝－时，tan ＝－或tan ＝2，
当tan θ＝3时，tan ＝3或tan ＝－.故选CD.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．sin 1 050°＝(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
13
课后作业(二十一)　同角三角函数的基本关系与诱导公式
√
14
B　[sin 1 050°＝sin (3×360°－30°)＝－sin 30°＝－.]
2．若角α的终边在第三象限，则等于(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[由角α的终边在第三象限，
得sinα<0，cos α<0，
故原式＝＝＝－1－2＝－3.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
3．(2025·山东泰安模拟)已知sin＝且<α<π，则tan α＝
(　　)
A．－ B．－
C． D．3
B　[由诱导公式得sin ＝sin ＝－sin ＝
－cos α＝，
所以cos α＝－，又因为α∈，所以sin α＝，所以tan α＝＝－.
故选B.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．已知cos α＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan β＝(　　)
A． B．－
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[∵cos α＝，α是第一象限角，
∴sin α＝＝，tanα＝＝，
∵角α，β的终边关于y轴对称，
∴tan β＝－tan α＝－.
故选D.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
5．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C　[法一(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以或
所以＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝＝.故选C.
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
法二(弦化切法)：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
法三(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.
则＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6．已知θ为第三象限角，sin θ－cos θ＝－，则＝
(　　)
A．－ B．－
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[由sin θ－cos θ＝－，且sin2θ＋cos2θ＝1，
解得或
又因为θ为第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，
所以
所以＝＝－.故选B.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、多项选择题
7．在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin (A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan (A＋B)＝－tan C
D．cos (A＋B)＝cos C
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABC　[在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，A正确；
sin ＝sin ＝cos ，B正确；
tan (A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确；
cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，D错误．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．(2024·湖北荆门期末)已知sin＋2sin ＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．tan α＝2 B．sin α－cos α＝
C．sin αcos α＋cos2α＝ D．＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
AC　[由sin ＋2sin ＝0 －sin α＋2cos α＝0 tan α＝2，故A正确；
sin αcos α＋cos2α＝＝＝＝，故C正确；
＝＝3，故D错误；
因为tan α＝2>0，所以α为第一或第三象限角．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
若α为第一象限角，则所以sin α－cos α＝；
若α为第三象限角，则所以sin α－cos α＝－，所以B错误．故选AC.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
13
14
三、填空题
9．已知α为锐角，且＝tan ，则α＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
13
14
　[由条件得＝，
又因为α为锐角，所以sin ＝cos ，
即sin ＝sin ，
所以α－＝，解得α＝.]
10．设f (θ)＝，则f＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
－　[∵f (θ)＝＝，
又cos ＝cos ＝cos ＝，
∴f ＝＝－.]
－
11．(多选)(2025·江苏盐城模拟)下列计算或化简，结果正确的是(　　)
A．＝2
B．＝－1
C．若tanx＝，则＝1
D．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABD　[对于A，＝＝2，故A正确；
对于B，＝＝＝－1，故B正确；
对于C，若tan x＝，则＝＝＝2，故C错误；
对于D，若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝＝＝＝2，故D正确．
故选ABD.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．已知角α的终边上一点的坐标为，则α的最小正值为(　　)
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[法一：由三角函数的定义可知
cos α＝sin ＝sin ＝cos ，
sin α＝cos ＝cos ＝－sin ，
由诱导公式可得α＝2kπ－，k∈Z，
所以当k＝1时，α取得最小正值，为.
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
法二：由题意得tan α＝＝＝＝tan ，
∴α＝kπ－，k∈Z，
∵sin >0，cos <0，∴角α是第四象限角，
∴当k＝2时，α取得最小正值，为.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．(2025·陕西西安模拟)若π<α<，则的化简结果是(　　)
A． B．－
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
D　[＝
＝，
由于π<α<，所以cos α<0，1＋sin α>0，1－sin α>0，故原式＝－＝－.
故选D.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．已知α∈，β∈(0，π)，若等式sin (3π－α)＝cos cos (－α)＝－·cos (π＋β)同时成立，则α＝________，β＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
　[由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sinα＝±.
∵α∈，∴α＝±.
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴α＝，β＝.]
题号
1
3
5
2
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14
谢 谢！课后作业(二十一)　同角三角函数的基本关系与诱导公式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共73分
一、单项选择题
1．sin 1 050°＝(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
2．若角α的终边在第三象限，则等于(　　)
A．3 B．－3
C．1 D．－1
3．(2025·山东泰安模拟)已知sin＝且<α<π，则tan α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．3
4．已知cos α＝，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan β＝(　　)
A． B．－
C． D．－
5．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
6．已知θ为第三象限角，sin θ－cos θ＝－，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
二、多项选择题
7．在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin (A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan (A＋B)＝－tan C
D．cos (A＋B)＝cos C
8．(2024·湖北荆门期末)已知sin＋2sin ＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．tan α＝2 B．sin α－cos α＝
C．sin αcos α＋cos2α＝ D．＝
三、填空题
9．已知α为锐角，且＝tan ，则α＝________．
10．设f (θ)＝，则f＝________．
11．(多选)(2025·江苏盐城模拟)下列计算或化简，结果正确的是(　　)
A．＝2
B．＝－1
C．若tanx＝，则＝1
D．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2
12．已知角α的终边上一点的坐标为，则α的最小正值为(　　)
A． B．
C． D．
13．(2025·陕西西安模拟)若π<α<，则的化简结果是(　　)
A． B．－
C． D．－
14．已知α∈，β∈(0，π)，若等式sin (3π－α)＝cos cos (－α)＝－·cos (π＋β)同时成立，则α＝________，β＝________．
课后作业(二十一)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．B　[sin 1 050°＝sin (3×360°－30°)＝－sin 30°＝－.]
2．B　[由角α的终边在第三象限，
得sinα<0，cos α<0，
故原式＝＝＝－1－2＝－3.]
3．B　[由诱导公式得sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α＝，
所以cos α＝－，又因为α∈，所以sin α＝，所以tan α＝＝－.
故选B.]
4．D　[∵cos α＝，α是第一象限角，
∴sin α＝＝，tanα＝＝，
∵角α，β的终边关于y轴对称，
∴tan β＝－tan α＝－.
故选D.]
5．C　[法一(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以或
所以＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝＝.故选C.
法二(弦化切法)：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
法三(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.
则＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.]
6．B　[由sin θ－cos θ＝－，且sin2θ＋cos2θ＝1，
解得或
又因为θ为第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，
所以
所以＝＝－.故选B.]
7．ABC　[在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，A正确；
sin ＝sin ＝cos ，B正确；
tan (A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确；
cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，D错误．]
8．AC　[由sin ＋2sin ＝0 －sin α＋2cos α＝0 tan α＝2，故A正确；
sin αcos α＋cos2α＝＝＝＝，故C正确；
＝＝3，故D错误；
因为tan α＝2>0，所以α为第一或第三象限角．
若α为第一象限角，则所以sin α－cos α＝；
若α为第三象限角，则
所以sin α－cos α＝－，所以B错误．故选AC.]
9．　[由条件得＝，
又因为α为锐角，所以sin ＝cos ，
即sin ＝sin ，
所以α－＝，解得α＝.]
10．－　[∵f (θ)＝＝，
又cos ＝cos ＝cos ＝，
∴f ＝＝－.]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．ABD　[对于A，＝＝2，故A正确；
对于B，＝＝＝－1，故B正确；
对于C，若tan x＝，则＝＝＝2，故C错误；
对于D，若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝＝＝＝2，故D正确．
故选ABD.]
12．D　[法一：由三角函数的定义可知
cos α＝sin ＝sin ＝cos ，
sin α＝cos ＝cos ＝－sin ，
由诱导公式可得α＝2kπ－，k∈Z，
所以当k＝1时，α取得最小正值，为.
法二：由题意得tan α＝＝＝＝tan ，
∴α＝kπ－，k∈Z，
∵sin >0，cos <0，∴角α是第四象限角，
∴当k＝2时，α取得最小正值，为.]
13．D　[＝
＝，
由于π<α<，所以cos α<0，1＋sin α>0，1－sin α>0，故原式＝－＝－.
故选D.]
14．　[由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sinα＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴α＝，β＝.]
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