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参考答案
一、单项选择题（共8题，共40分）
1. 【答案】B
【解析】方法一：
因为集合 ，
所以当 时，，不合题意，舍去；
当 时，，不合题意，舍去；
当 时， 无意义，不合题意，舍去；
当 时，，符合题意；
当 时，，符合题意；
当 时，，符合题意；
当 时，，符合题意；
当 时，，不合题意，舍去；
当 时，，符合题意；
当 时，，符合题意．
所以 ．
因为 ，，
所以
故满足条件的集合 有 个．
方法二：
因为 ，，
所以 或 或 或 或 或 ，
即 或 或 或 或 或 ，
所以 ．
又因为 且集合 满足 ，
所以集合 中一定含有元素 和 ，可能含有 ，，，，
因此所有满足条件的集合 的个数为 ．
2. 【答案】C
3. 【答案】A
4. 【答案】A
【解析】一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，
所以 ．
的所有可能取值为 ，，，，
则 ，
，
，
．
所以 的分布列为：所以 ．
5. 【答案】A
【解析】若 为 上的增函数，则 即 即 ，
故 的取值范围是 ．
故选A．
6. 【答案】D
【解析】由题意，在 中，，
利用向量的数量积的定义可知 ，即 ，
即 ，
即 ，
设 ，
解得 ，，，
所以 ，，，
所以由正弦定理可得 ．
7. 【答案】C
【解析】由题意，令 得，．
所以 ，
令 得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
8. 【答案】D
【解析】过点 作函数 的切线 ，当 与直线 平行时，则此时 最小，设点 ,则 ,解得 ,即点 ,则点 到直线 的距离为 ，所以 .
二、多项选择题（共3题，共18分）
9. 【答案】B；C
10. 【答案】A；D
11. 【答案】A；B；D
三、填空题（共3题，共15分）
12. 【答案】
【解析】因为 ，，
所以 ，
所以数列 的前 项和
故 ．
13. 【答案】
【解析】因为 ，故 的驻点为 ，当 时，， 严格单调递增，当 时，， 严格单调递减，所以当 时， 取得最大值为 ，所以 ，，所以 ．
14. 【答案】
【解析】设 ，，，
由 可得
由直线 与直线 的斜率之积为 可得 ，
即
由①②可得，，
因为 ， 是双曲线 上的动点，
所以 ，．
所以 ，也就是 ，
则 点轨迹为双曲线 ，
由双曲线的定义可知该定值为 ，即 ．
四、解答题（共5题，共77分）
15. 【答案】
(1) 方法一：在 中，
因为 ，
所以由正弦定理可得 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
在 中，，
所以 ，
所以 ．
方法二：在 中，
因为 ，
由余弦定理 ，
得 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 ．
(2) 选条件②：由（Ⅰ）知 ，
因为在 中，，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以
设 边上高线的长为 ，则 ．
选条件③：
因为 ，
所以 ，
由余弦定理得 ．
所以 ．
设 边上高线的长为 ，则 ．
16. 【答案】
(1) 时，，令 ，即 ，即 ，
解得：，
故函数的零点是 ．
(2) 当 时，，
所以函数的定义域为 ，
所以 ，
设 ，
所以 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上为减函数，
所以 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上为减函数．
(3) 因为 ，
所以 ，
因为 在点 处的切线与直线 平行，
所以 ，
即 ，分别画出 与 的图象，
由图象可知交点为 ，
所以解得 ．
17. 【答案】
(1) 当 时，，解得 ．
由题知
由② ①得 ，
因为 ，所以 ．
于是：数列 的奇数项是以 为首项，以 为公差的等差数列；
偶数项是以 为首项，以 为公差的等差数列；
所以 的通项公式 ．
(2) 由（）可得 ．
当 为偶数时，；
当 为奇数时，
综上，数列 的前 项和 ．
18. 【答案】
(1) 若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有 红、 红 白、 红 白三种情况，其中 红有 种取法， 红 白有 种取法， 红 白有 种取法．因此，共有 种不同的取法．
(2) 若取出 个球的总分不少于 分，则有 红、 红 白、 红 白和 红 白四种情况．
其中 红有 种取法， 红 白有 种取法， 红 白有 种取法， 红 白有 种取法．
因此，共有 种不同的取法．
(3) 由题意知，箱子中 个球中红球有 个，白球也有 个，从这 个球中取出 个球，取出 个红球只有一种情况，取出 个白球也只有一种情况，取出 红 白有 种情况，总共有 种情况．
若操作三次，则共有 种情况．
恰有一次取到 个红球并且恰有一次取到 个白球共有 种情况，因此，所求概率为：．
19. 【答案】
(1) 因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ．
又因为 ，，
所以 ．
(2) 因为 ，，
所以 ，
所以 ，．
又因为四边形 是正方形，
所以 ．
如图，建立空间直角坐标系，因为 ，
所以 ，，，，，．
因为 ，， 分别为 ，， 的中点，
所以 ，，．
所以 ，．
设 为平面 的一个法向量，则 即 再令 ，得 ，，．
设 为平面 的一个法向量，则 即 令 ，得 ，所以所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ．
(3) 假设在线段 上存在一点 ，使直线 与直线 所成角为 ．
依题意可设 ，其中 ．
由 ，则 ．
又因为 ，，
所以 ．
因为直线 与直线 所成角为 ，，
所以 ，即 ，解得 ．
所以 ，．
所以在线段 上存在一点 ，使直线 与直线 所成角为 ，此时 ．甘南州临潭县第二中学2025届高三模拟考试
高三 数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知集合 ，，集合 满足 ，则所有满足条件的集合 的个数为
A． B． C． D．
在复平面内，复数 对应的点为 ，将点 绕原点逆时针旋转 后得到点 ，则 对应的复数是
A． B． C． D．
在 中，，，点 满足 ，点 为 的外心，则 的值为
A． B． C． D．
已知一个口袋中装有 个红球和 个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为 ，则 的期望为
A． B． C． D．
（5分）若 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
在 中，，则
A． B． C． D．
若 ，则 的值为
A． B． C． D．
函数 与 的图象关于直线 对称，， 分别是函数 图象上的动点，则 的最小值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.
已知 ， 是椭圆 短轴上的两个顶点，点 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点 与点 关于 轴对称，则下列四个命题中正确的是
A．直线 与 的斜率之积为定值 B．
C． 的外接圆半径的最大值为 D．直线 与 的交点 的轨迹为双曲线
下列四个命题中真命题是
A．一袋中有 个白球， 个红球，它们除颜色外完全相同，有放回地随机摸球 次，则摸中红球的次数符合二项分布
B．两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的值越接近于
C．两个分类变量 与 的统计量 ，若 越小，则说明“ 与 有关系”的把握程度越大
D．随机变量 ，则
如图，已知正方体 的棱长为 ， 为棱 的中点， 为棱 上的点，且满足 ，点 ，，，， 为过三点 ，， 的平面 与正方体 的棱的交点，则下列说法正确的是
A． B．三棱锥的体积
C．直线 与平面 所成的角为 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
数列 的通项公式为 ，数列 满足 ， 是数列 的前 项和，则 ．
函数 在 处取得最小值 ，则 ．
在平面直角坐标系中， 为坐标原点，， 是双曲线 上的两个动点，动点 满足：，直线 与直线 斜率之积为 ．已知平面内存在两定点 ，，使得 为定值，则该定值为 ．
解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（13分）在 中，，．
(1) 求 ；
(2) 再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边上的高
条件①：；条件②：；条件③： 的面积为 ．
（15分）已知函数 ．
(1) 若 ，确定函数 的零点；
(2) 若 ，证明：函数 是 上的减函数；
(3) 若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值．
（15分）已知数列 的前 项和 ，，，．
(1) 计算 的值，求 的通项公式．
(2) 设 ，求数列 的前 项和 ．
（17分）将 个不同的红球和 个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出 个球．
(1) 若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？
(2) 取出一个红球记 分，取出一个白球记 分，若取出 个球的总分不少于 分，则有多少种不同的取法？
(3) 若将取出的 个球放入一个箱子中，记“从箱子中任意取出 个球，然后放回箱子中”为一次操作，若操作三次，求恰有一次取到 个红球并且恰有一次取到 个白球的概率．
（17分）如图，已知四边形 是正方形，，，，，， 分别为 ，， 的中点．
(1) 求证：；
(2) 求平面 与平面 所成锐二面角的大小；
(3) 在线段 上是否存在一点 ，使直线 与直线 所成的角为 ？若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由．

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