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遂溪一中高三级第九次月考
数学科试卷
总分 ：150分 时间：120分钟
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．无法确定，与有关
4．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ）
A． B． C． D．
6．2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（ ）
A．210 B．35 C．40 D．120
7．正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．与曲线和圆都相切的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、多选题
9．为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）.
A．且. B．且.
C．且. D．.
10．已知函数与函数的图象有相同的对称轴，则（ ）
A． B．
C．将的图象向左平移个单位可得到的图象
D．函数在内有4个零点
11．曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（ ）
A．曲线上不存在曲率大于的点
B．曲线在点处的曲率最大
C．曲线在点处的曲率为
D．曲线在点与处曲率相等，则
三、填空题
12．双曲线的左 右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线的实半轴长为 .
13．某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为 .
14．已知数列满足，且对任意，有递推关系式：，定义数列为，则 .
四、解答题
15．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．
(1)当时，求OP的长；
(2)当面积最大时，求．
16．已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围.
17．如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点．
(1)证明：平面．
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
19．在数列中，，，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，数列的前项和为，证明：；
(3)证明：.
遂溪一中高三级第九次月考
数学科参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B C C C C ABD ABD
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．
15．（1）由题意，在中，，，，
∴为等腰直角三角形，∴在以为直径的圆上，
取的中点，连接，∴，，
在中，，，
由正弦定理，，解得：
（2）由题意及（1）知，，，
在中，，，
由余弦定理，，
即，即，
∴，当且仅当时，等号成立，又，
∴当且仅当时，的面积最大，此时，
∴．
16．（1）设椭圆的半焦距为，则，得，
又离心率为，解得，，
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
由，得，
由，得，则，
因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角，
因不共线，所以，故，即，
因
所以
解得，因为，则得，解得或，
故实数的取值范围为.
17．（1）取线段的中点，连接． 在中，．
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，则．
因为平面平面，所以平面．
（2）连接．因为是圆的直径，所以．
过点作圆柱的母线，则平面，所以互相垂直．以为原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，所以．设为平面的法向量，
所以，令，则．
易知直线的一个方向向量为．记直线与平面所成的角为，
则，
化简得．
结合，解得，所以．
18．（1）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，当时，函数在单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点；
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
因为当时，；当时，，
所以函数有两个零点当且仅当.设，函数在单调递增.因为，的解集为.
综上所述，的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.所以，故原不等式成立.
所以.
19．（1）已知，即及，，化简得，又
所以数列是首项为公差为的等差数列.
（2）由（1）可知，
所以，.
又，所以，，
.
所以
于是，
，
因为，所以，即.
（3）定义，原不等式即
下面证明，即，
即证（*），
设，则，
于是在区间上是增函数.
因为，有，不等式（*）成立.
故原不等式成立.

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