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第6课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)
[考试要求]　1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝__ f＝＝ _______ ___
2．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x －
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
[常用结论]
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝sin (ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A. (　　)
(2)y＝sin x的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin . (　　)
(3)将y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式是y＝3sin . (　　)
(4)如果函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，4π， B．2，
C．2，，－ D．2，4π，－
2．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到函数y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
3．(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为____________________________________．
考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
[典例1]　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
(2)(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
(3)为得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度．注意：不是向左平移φ个单位长度，相位变换是针对“x”．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负值时应先变成正值．
[跟进训练]
1．(1)(2022·全国甲卷)将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·山东淄博模拟)函数f (x)＝A sin (ω＞0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g(x)＝A cos ωx的图象，只需将函数f (x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
考点二　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b的解析式
[典例2]　(1)(2024·安徽A10联考)已知函数f (x)＝4sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f (x)＝(　　)
A．4sin B．4sin
C．4sin D．4sin
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
[跟进训练]
2．(1)(多选)已知函数f＝A cos ＋b的部分图象如图，则(　　)
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f (x)的图象关于点对称
(2)函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝________．
考点三　三角函数图象与性质的综合应用
[典例3]　(1)(多选)已知函数f＝sin (ω>0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若ω＝1，则是f的图象的对称中心
B．若f≤f恒成立，则ω的最小值为2
C．若f在上单调递增，则0<ω≤
D．若f在上恰有2个零点，则≤ω≤
(2)若关于x的方程2cos2x－sin2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的取值范围为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　与三角函数性质有关的综合题的求解策略
(1)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
[跟进训练]
3．(1)已知偶函数f ＝sin 的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
考点四　三角函数模型的应用
[典例4]　(2024·广东佛山二模)近年来，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2π rad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB＝，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即t＝0秒时，点A位于圆心正下方，则t＝________秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　三角函数模型的应用体现在两方面
一是已知函数模型求解数学问题；
二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
[跟进训练]
4．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________米(用α表示)；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________平方米．
第6课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)
梳理·必备知识
1．　ωx＋φ　φ　3.　A　　A
激活·基本技能
一、(1)×　(2)×　(3) ×　(4)√
二、1．C　[由题意知A＝2，f＝，初相为－.]
2．B　[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝图象．故选B.]
3．A　[y＝2sin ＝2sin .故选A.]
4．y＝5sin ＋10，x∈[6，14]　[从题图中可以看出，6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期，则
所以A＝×(15－5)＝5，b＝×(15＋5)＝10.
又＝14－6，所以ω＝.
又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝，所以y＝5sin ＋10，x∈[6，14].]
考点一
典例1　(1)C　(2)B　(3)A　[(1)因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点．故选C.
(2)依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到f (x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f (x)＝sin 的图象．故选B.
(3)法一：y＝cos ＝sin ＝sin，
将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度，得到y＝sin (2x＋2φ)的图象，故2φ＝，解得φ＝，即向左平移个单位长度．故选A.
法二：y＝sin 2x＝cos ＝cos ，所以y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到y＝cos 的图象，故选A.]
跟进训练
1．(1)C　(2)C　[(1)由题意知，曲线C为y＝sin ＝sin ，又C关于y轴对称，则＝＋kπ，k∈Z，
解得ω＝＋2k，k∈Z.又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C.
(2)f (x)＝A sin (ω＞0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，
则T＝2×＝＝，∴ω＝3，
∴f (x)＝A sin
＝A cos
＝A cos ＝A cos ，
∴只需将函数f (x)的图象向左平移个单位长度即可得函数g(x)＝A cos ωx的图象．故选C.]
考点二
典例2　(1)D　(2)－　[(1)由题意，得－0，则T＝，
∴ω＝＝3，∴f(x)＝4sin (3x＋φ)．
∵f(0)＝4sin φ＝2，∴sin φ＝，
又，∴φ＝，
∴f(x)＝4sin .
(2)设A＝可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，
ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝，
即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.
因为f＝sin ＝0，
所以＋φ＝2kπ，即φ＝－＋2kπ，k∈Z.
所以f(x)＝sin
＝sin ，
所以f(π)＝sin .]
跟进训练
2．(1)BD　(2)－　[(1)由题图可得解得故A错误；由题图可知，f的最小正周期T＝＝，所以＝，则ω＝4，B正确；
由题图可知，直线x＝＝是函数f图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.又0<φ<，所以φ＝，C错误；
由上述可得f ＝2cos ＋1.
令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z.
当k＝0时，f的图象的一个对称中心为，D正确．故选BD.
(2)如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB＝3.
设函数f (x)的最小正周期为T，则AD＝T，
由题意得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π，得ω＝，即f (x)＝tan ，
f (x)的图象过点，即tan ＝tan ＝－1，
∵φ∈，则＋φ∈，
∴＋φ＝－，解得φ＝－.]
考点三
典例3　(1)ABC　(2){m|m＝－2或－1由正弦函数的图象可知是f的图象的对称中心，A正确；
选项B，若f≤f恒成立，则ω×＝＋2kπ，解得ω＝2＋12k，
又ω>0，所以ω的最小值为2，B正确；
选项C，因为x∈，所以ωx＋∈，由题意得，即ω≤，C正确；
选项D，当x∈时，ωx＋∈，
若f在上恰有2个零点，则2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D错误．故选ABC.
(2)由2cos2x－sin2x＝－m，整理可得cos ＝－，令t＝2x＋，因为x∈，则t∈.
所以cos t＝－在区间上有且只有一个解，即y＝cos t的图象和直线y＝－只有1个交点．作出y＝cos t，t∈的图象，
由图可知，－＝1或0≤－<，解得m＝－2或－1]
跟进训练
3．(1)　(2)[2，3)　[(1)因为偶函数f＝，所以φ＝kπ＋，k∈Z，
即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx，
又f＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，
所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝3k＋，k∈Z，
因为当x∈时，函数单调，
所以0≤ωx≤≤π，
即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．
(2)法一：函数f (x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象(图略)可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．
法二：f (x)＝cos ωx－1在x≥0上的前4个零点依次为0，，
依据题意得≤2π＜，即2≤ω＜3.
故ω的取值范围是[2，3)．]
考点四
典例4　　[以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速度ω＝2π rad/s，
设点A，圆上两点A，B始终保持∠AOB＝，则B，要使A，B两点的竖直距离为0，则sin ＝sin ，第一次为0时，4πt－＝π，解得t＝.
f (t)＝＝＝＝.]
跟进训练
4．60sin α　225　[在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60(米)，
∴PQ＝AP sin α＝60sin α(米)．
在Rt△PAR中，可得PR＝60sin ，
由题可知∠QPR＝，
∴S△PQR＝·PQ·PR·sin ∠QPR
＝×60sin α×60sin ×sin
＝900sin αsin
＝450
＝450，
又α∈，∴2α＋∈，
∴当2α＋＝，即α＝时，△PQR的面积取最大值225平方米，即三角形绿地的最大面积是225平方米．]
8 / 8(共100张PPT)
第四章　
三角函数与解三角形
第6课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)
[考试要求]　1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
链接教材·夯基固本
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝____ _______ ___
ωx＋φ
φ
2．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
[常用结论]
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝sin (ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.
(　　)
(2)y＝sin x的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin . (　　)
×
×
(3)将y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式是y＝3sin . (　　)
(4)如果函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. (　　)
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，4π， B．2，
C．2，，－ D．2，4π，－
√
C　[由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.]
2．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到函数y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
√
B　[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象．故选B.]
3．(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
√
A　[y＝2sin ＝2sin .故选A.]
4．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为_______________________ _____________．
y＝5sin ＋10，
x∈[6，14]
y＝5sin ＋10，x∈[6，14]　[从题图中可以看出，6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期，则
所以A＝×(15－5)＝5，b＝×(15＋5)＝10.
又＝14－6，所以ω＝.
又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝，所以y＝5sin ＋10，x∈[6，14].]
考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
[典例1]　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
典例精研·核心考点
√
(2)(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
√
(3)为得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
√
(1)C　(2)B　(3)A　[(1)因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点．故选C.
(2)依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到f (x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f (x)＝sin 的图象．故选B.
(3)法一：y＝cos ＝sin ＝sin，
将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度，得到y＝sin (2x＋2φ)的图象，故2φ＝，解得φ＝，即向左平移个单位长度．故选A.
法二：y＝sin 2x＝cos ＝cos ，所以y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到y＝cos 的图象，故选A.]
名师点评　(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度．注意：不是向左平移φ个单位长度，相位变换是针对“x”．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负值时应先变成正值．
[跟进训练]
1．(1)(2022·全国甲卷)将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是
(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2025·山东淄博模拟)函数f (x)＝A sin (ω＞0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g(x)＝A cos ωx的图象，只需将函数f (x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
√
(1)C　(2)C　[(1)由题意知，曲线C为y＝sin ＝
sin ，又C关于y轴对称，则＝＋kπ，k∈Z，
解得ω＝＋2k，k∈Z.又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C.
(2)f (x)＝A sin (ω＞0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，
则T＝2×＝＝，∴ω＝3，
∴f (x)＝A sin
＝A cos
＝A cos ＝A cos ，
∴只需将函数f (x)的图象向左平移个单位长度即可得函数g(x)＝
A cos ωx的图象．故选C.]
【教用·备选题】
(2023·全国甲卷)函数y＝f (x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f (x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
√
C　[把函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝f (x)＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象．作出函数f (x)＝－sin 2x和直线y＝x－的部分图象如图所示，
所以由图可知，y＝f (x)＝－sin 2x的图象与
直线y＝x－的交点个数为3.
故选C.]
考点二　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b的解析式
[典例2]　(1)(2024·安徽A10联考)已知函数f (x)＝4sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f (x)＝(　　)
A．4sin B．4sin
C．4sin D．4sin
√
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
－
(1)D　(2)－　[(1)由题意，得＝－0，则T＝，
∴ω＝＝3，∴f (x)＝4sin (3x＋φ)．
∵f (0)＝4sin φ＝2，∴sin φ＝，
又|φ|＜，∴φ＝，
∴f (x)＝4sin .
(2)设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，
ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝＝，
即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.
因为f＝sin ＝0，
所以＋φ＝2kπ，即φ＝－＋2kπ，k∈Z.
所以f (x)＝sin ＝sin ，所以f (π)＝
sin ＝－.]
名师点评　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
[跟进训练]
2．(1)(多选)已知函数f＝A cos ＋b
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f (x)的图象关于点对称
√
√
(2)函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝________．
－
(1)BD　(2)－　[(1)由题图可得解得故A错误；由题图可知，f的最小正周期T＝＝，所以＝，则ω＝4，B正确；
由题图可知，直线x＝＝是函数f图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.又0<φ<，所以φ＝，C错误；
由上述可得f ＝2cos ＋1.
令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z.
当k＝0时，f的图象的一个对称中心为，D正确．故选BD.
(2)如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB＝3.
设函数f (x)的最小正周期为T，则AD＝T，
由题意得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π，得ω＝，即f (x)＝
tan ，
f (x)的图象过点，即tan ＝
tan ＝－1，
∵φ∈，则＋φ∈，
∴＋φ＝－，解得φ＝－.]
【教用·备选题】
已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________．
－
－　[由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.
又因为f (x)＝A cos (ωx＋φ)为奇函数，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f (x)＝cos ＝－sin x，所以f (1)＝－.]
考点三　三角函数图象与性质的综合应用
[典例3]　(1)(多选) 已知函数f＝sin (ω>0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若ω＝1，则是f的图象的对称中心
B．若f≤f恒成立，则ω的最小值为2
C．若f在上单调递增，则0<ω≤
D．若f在上恰有2个零点，则≤ω≤
√
√
√
(2)若关于x的方程2cos2x－sin2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的取值范围为__________________________．
{m|m＝－2或－1(1)ABC　(2){m|m＝－2或－1由正弦函数的图象可知是f的图象的对称中心，A正确；
选项B，若f≤f恒成立，则ω×＝＋2kπ，解得ω＝2＋12k，
又ω>0，所以ω的最小值为2，B正确；
选项C，因为x∈，所以ωx＋∈，由题意得，即ω≤，C正确；
选项D，当x∈时，ωx＋∈，
若f在上恰有2个零点，则2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D错误．故选ABC.
(2)由2cos2x－sin2x＝－m，整理可得cos ＝－，令t＝2x＋，因为x∈，则t∈.
所以cos t＝－在区间上有且只有一个解，即y＝cos t的图象和直线y＝－只有1个交点．作出y＝cos t，t∈的图象，
由图可知，－＝1或0≤－<，解得m＝
－2或－1名师点评　与三角函数性质有关的综合题的求解策略
(1)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
[跟进训练]
3．(1)已知偶函数f ＝sin 的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝_____．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
[2，3)
(1)　(2)[2，3)　[(1)因为偶函数f＝，所以φ＝kπ＋，k∈Z，
即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx，
又f＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，
所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝3k＋，k∈Z，
因为当x∈时，函数单调，
所以0≤ωx≤≤π，
即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．
(2)法一：函数f (x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象(图略)可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．
法二：f (x)＝cos ωx－1在x≥0上的前4个零点依次为0，，
依据题意得≤2π＜，即2≤ω＜3.
故ω的取值范围是[2，3)．]
【教用·备选题】
1．(多选)设函数f (x)＝cos (ω>0)，已知f (x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则(　　)
A．f (x)在(0，2π)上有且仅有5个零点
B．f (x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点
C．f (x)在上单调递减
D．ω的取值范围是
√
√
CD　[因为x∈(0，2π)，所以ωx＋∈.设t＝ωx＋∈，画出y＝cos t的图象如图所示．
由图象可知，若f (x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则5π＜2πω＋≤7π，故f (x)在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A错误；f (x)在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B错误；由5π<2πω＋≤7π，可得<ω≤，故D正确；当x∈时，ωx＋∈.因为<ω≤，所以<ω＋，故f (x)在上单调递减，故C正确．故选CD.]
2．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f (x)＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－4sin2sinφ(ω＞0，|φ|＜π)，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且f (0)＜0；②函数f (x)的图象的一个对称中心为且f＞0.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)将函数f (x)图象上所有点的横坐标变为原来的(t＞0)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)在区间上恰有3个零点，求t的取值范围．
[解]　(1)由题意可得
f (x)＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－4sin2sinφ
＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－sin φ(2－2cos ωx)
＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φ
＝2sin (ωx＋φ)，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故T＝4×＝，∴ω＝2，
故f (x)＝2sin (2x＋φ)．
若选①，函数f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为y＝2sin ，
由题意知该函数为偶函数，故
＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z，
由于|φ|＜π且f (0)＜0，即sin φ＜0，故φ＝－，故f (x)＝2sin .
若选②，函数f (x)的图象的一个对称中心为且f ＞0，
则＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，
由于|φ|＜π且f＞0，即sin ＞0，故φ＝－，故f (x)＝
2sin .
(2)由题意可得g(x)＝2sin ，x∈，∴2tx－∈，
由于y＝g(x)在区间上恰有3个零点，
故2π≤＜3π，即t∈.
故t的取值范围是.
考点四　三角函数模型的应用
[典例4]　(2024·广东佛山二模)近年来，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2π rad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB＝，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度
差的绝对值．假设运动开始时刻，即t＝0秒时，点A位于圆心正下方，则t＝________秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f＝____________________．
　[以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速度ω＝2π rad/s，
设点A，圆上两点A，B始终保持∠AOB＝，则B，要使A，B两点的竖直距离为0，则sin ＝sin ，
第一次为0时，4πt－＝π，解得t＝.
f (t)＝＝＝＝.]
名师点评　三角函数模型的应用体现在两方面
一是已知函数模型求解数学问题；
二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
[跟进训练]
4．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________米(用α表示)；当P在上运动时，
这块三角形绿地的最大面积是________平方米．
60sin α
　225
60sin α　225　[在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60(米)，
∴PQ＝AP sin α＝60sin α(米)．
在Rt△PAR中，可得PR＝60sin ，
由题可知∠QPR＝，
∴S△PQR＝·PQ·PR·sin ∠QPR
＝×60sin α×60sin ×sin
＝900sin αsin
＝450
＝450，
又α∈，∴2α＋∈，
∴当2α＋＝，即α＝时，△PQR的面积取最大值225平方米，即三角形绿地的最大面积是225平方米．]
【教用·备选题】
李华以18 km/h的速度骑着一辆车轮直径为24寸(1米等于3尺，1尺等于10寸)的自行车行驶在一条平坦的公路上，自行车前轮胎上有一块红色的油漆印(图中点O)，则点O滚动一周所用的时间为________s(用π表示)；若刚开始骑行时，油漆印离地面0.6 m，在前行的过程中油漆印离地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的函数解析式可以用h＝f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋
b来刻画，
则f (t)＝____________________．
sin
sin 　[李华的时速为18 km/h ＝5 m/s，车轮直径为 m，周长为 m，故滚动一周所用时间为 s，即最小正周期为T＝，于是ω＝，依题意知A＝，b＝，f (0)＝ sin φ＝，又－<φ<，所以φ＝，
故f (t)＝sin .]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：cm)之间满足函数关系：y＝sin t＋cos ，则这个简谐运动的振幅是(　　)
A．1 cm B．2 cm
C． cm D．2 cm
13
课后作业(二十五)　函数y＝A sin (ωx＋φ)
√
C　[因为y＝sin t＋cos ＝sin t＋cos t cos ＋sin t sin ＝sin t＋cos t＝sin ，
所以这个简谐运动的振幅是 cm.故选C.]
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
13
2．为了得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin x的图象上每一点的纵坐标不变(　　)
A．每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度
B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍
D．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的
题号
1
3
5
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4
6
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13
√
题号
1
3
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11
12
13
C　[y＝sin x的图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象，故A，B错误；
y＝sin x的图象先向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，故C正确，D错误．]
3．(2025·成都石室中学模拟)将函数f (x)＝2sin 的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．g(x)＝2sin B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin D．g(x)＝2sin
题号
1
3
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6
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12
√
13
D　[将函数f (x)＝2sin 的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin ＝2sin 的图象，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin ＝
2sin 的图象．]
题号
1
3
5
2
4
6
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12
13
4．(2025·广东中山模拟)已知函数f＝sin ，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f的图象关于点中心对称
B．函数f的图象关于直线x＝－对称
C．函数f在区间内有4个零点
D．函数f在区间上单调递增
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
√
13
C　[对于A，由f＝sin ＝sin ＝≠0，
所以不是函数f的图象的对称中心，所以A错误；
对于B，由f＝sin
＝sin ≠±1，
所以x＝－不是函数f的图象的对称轴，所以B错误；
对于C，令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝，k∈Z，
题号
1
3
5
2
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6
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12
13
当k＝0时，可得x＝；当k＝1时，可得x＝；当k＝－1时，可得x＝－；
当k＝－2时，可得x＝－，所以在内，函数f有4个零点，所以C正确；
对于D，由x∈，可得2x－∈，此时函数f不单调，所以D错误．故选C.]
题号
1
3
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13
题号
1
3
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12
5．(2025·云南昆明模拟)已知f (x)＝2sin 的部分图象如图所示，－<φ<0，x1，x2是f (x)相邻的两个零点，且x2＝4x1，则x1的值为(　　)
A． B．π
C．π D．π
13
√
题号
1
3
5
2
4
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8
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10
11
12
A　[由题意可得T＝π，且由题图可得x2－x1＝.
又因为x2＝4x1，可得x1＝.故选A.]
13
题号
1
3
5
2
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11
12
6．(2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈的图象如图所示，
则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω∈.故选C.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
二、多项选择题
7．(2025·江苏常州模拟)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sin ωt＋b，其中0≤t≤24.已知当天开始计时时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　)
A．ω＝
B．当天下午3：00温度最高
C．温度为28 ℃是当天晚上7：00
D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
12
13
ABD　[t＝0时，θ＝25 ℃，∴b＝25，
第二天凌晨3：00温度最低为19 ℃，此时t＝18，
∴∴A正确；
θ＝6sin t＋25，令t＝＋2kπ，k∈Z，即t＝6时θ取最大值，t＝6对应下午3：00，B正确；
令θ＝28，得t＝2或10，即上午11：00或晚上7：00时温度为28 ℃，C错误；当14≤t≤20时，19≤θ≤22，D正确．故选ABD.]
题号
1
3
5
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6
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11
12
8．(2025·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．A＝2
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)在内有3个极值点
D．f (x)在区间上的最大值为
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
ABD　[对于AB，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2, T＝4×＝π，所以ω＝＝2，故AB正确；
对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
由于0<φ<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin .
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z，
当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－；
13
题号
1
3
5
2
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12
当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误；
对于D，因为x∈，
所以2x＋∈，
故当2x＋＝，即x＝2π时，f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD.]
13
题号
1
3
5
2
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12
三、填空题
9．已知函数f＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．
13
－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
－　[由题意可得，T＝＝，∴T＝π，又T＝，∴ω＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，
由|φ|＜，可得φ＝－，
∴f＝2cos ，
f＝2cos ＝2cos ＝－.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2025·江苏南通模拟)某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为________cm.
13
60
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
60　[如图所示，EF＝10，FG＝20，
令∠AEF＝α，则AF＝10sin α，∠AFE＝－α，
则∠BFG＝α， BF＝20cos α，BG＝20sin α，∠BGF＝－α，
则∠CGH＝α，CG＝10cos α.
∴周长为2AB＋2BC＝2＋2
＝60sin α＋60cos α＝60sin ≤60，
当α＝时取等号，
即矩形框架周长的最大值为60 cm.]
13
题号
1
3
5
2
4
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11
12
四、解答题
11．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2.
(1)求f (x)的解析式；
(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要求列表)；
(3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
(4)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f (x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin .
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
13
π 2π
x 0 π
f (x) 1 2 0 －2 0 1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
描点、连线得图象，如图．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(3)将y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f (x)＝2sin 的图象．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(4)因为f (x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ，将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos 的图象，即为f (x)＝2sin 的图象．
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题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
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12．(2025·山东烟台模拟)已知函数f ＝sin ，其中x∈R，ω>0，函数f图象上相邻的两条对称轴之间的距离为.
(1)求f的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数f图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g的图象，求函数h＝·g在 上的最大值．
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[解]　(1)由题意可知，＝，
所以T＝π＝，所以ω＝2.
所以f (x)＝sin .
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z,
故f (x)的单调递增区间为(k∈Z)．
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(2)将函数f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度，得g(x)＝sin x的图象．
所以h(x)＝sin x(sin x＋cos x)＝sin2x＋sinx cos x＝＝sin ，
因为0≤x≤，所以－≤2x－，
所以当2x－＝，即x＝时，h(x)取得最大值为1＋.
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13．已知函数f＝sin 在区间上单调，其中ω为正整数，<，且f＝－f.
(1)求y＝f图象的一个对称中心；
(2)若f＝，求φ.
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[解]　(1)因为f在区间上单调，
且f＝－f∈∈，
所以f＝f＝0，
所以y＝f图象的一个对称中心是.
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题号
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(2)由题设，f的最小正周期T≥2×＝π，＝<，
故ω＝≤2，由ω∈N*，得ω＝1，2，
由点为f (x)＝sin 图象的一个对称中心，
所以ω＋φ＝k1π，k1∈Z，①
因为f＝，所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z.
若ω＋φ＝＋2k2π，②
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题号
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①－②得ω＝－π，
即ω＝－2＋6.
不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2.
若ω＋φ＝＋2k3π，③
①－③得ω＝－π，
即ω＝－4＋6，
不存在整数k1，k3，使得ω＝1，当k1＝2k3＋1时，ω＝2.
此时φ＝＋2k3π＝＋2k3π，由<，得φ＝.
综上所述，φ＝.
13
谢 谢！课后作业(二十五)　函数y＝A sin (ωx＋φ)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、单项选择题
1．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：cm)之间满足函数关系：y＝sin t＋cos ，则这个简谐运动的振幅是(　　)
A．1 cm B．2 cm
C． cm D．2 cm
2．为了得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin x的图象上每一点的纵坐标不变(　　)
A．每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度
B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍
D．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的
3．(2025·成都石室中学模拟)将函数f (x)＝2sin 的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．g(x)＝2sin
B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin
D．g(x)＝2sin
4．(2025·广东中山模拟)已知函数f＝sin ，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f的图象关于点中心对称
B．函数f的图象关于直线x＝－对称
C．函数f在区间内有4个零点
D．函数f在区间上单调递增
5．(2025·云南昆明模拟)已知f (x)＝2sin 的部分图象如图所示，－<φ<0，x1，x2是f (x)相邻的两个零点，且x2＝4x1，则x1的值为(　　)
A． B．π
C．π D．π
6．(2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2025·江苏常州模拟)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sin ωt＋b，其中0≤t≤24.已知当天开始计时时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　)
A．ω＝
B．当天下午3：00温度最高
C．温度为28 ℃是当天晚上7：00
D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃
8．(2025·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．A＝2
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)在内有3个极值点
D．f (x)在区间上的最大值为
三、填空题
9．已知函数f＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________．
10．(2025·江苏南通模拟)某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为________cm.
四、解答题
11．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2.
(1)求f (x)的解析式；
(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要求列表)；
(3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
(4)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
12．(2025·山东烟台模拟)已知函数f ＝sin ，其中x∈R，ω>0，函数f图象上相邻的两条对称轴之间的距离为.
(1)求f的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数f图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g的图象，求函数h＝·g在 上的最大值．
13．已知函数f＝sin 在区间上单调，其中ω为正整数，<，且f＝－f.
(1)求y＝f图象的一个对称中心；
(2)若f＝，求φ.
课后作业(二十五)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．C　[因为y＝sin t＋cos ＝sin t＋cos t cos ＋sin t sin ＝sin t＋cos t＝sin ，
所以这个简谐运动的振幅是 cm.故选C.]
2．C　[y＝sin x的图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象，故A，B错误；
y＝sin x的图象先向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，故C正确，D错误．]
3．D　[将函数f (x)＝2sin 的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin ＝2sin 的图象，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin ＝2sin 的图象．]
4．C　[对于A，由f＝sin ＝sin ＝≠0，
所以不是函数f的图象的对称中心，所以A错误；
对于B，由f＝sin
＝sin ≠±1，
所以x＝－不是函数f的图象的对称轴，所以B错误；
对于C，令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝，k∈Z，
当k＝0时，可得x＝；当k＝1时，可得x＝；当k＝－1时，可得x＝－；
当k＝－2时，可得x＝－，所以在内，函数f有4个零点，所以C正确；
对于D，由x∈，可得2x－∈，此时函数f不单调，所以D错误．故选C.]
5．A　[由题意可得T＝π，且由题图可得x2－x1＝.
又因为x2＝4x1，可得x1＝.故选A.]
6．C　[依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈的图象如图所示，
则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω∈.故选C.]
7．ABD　[t＝0时，θ＝25 ℃，∴b＝25，
第二天凌晨3：00温度最低为19 ℃，此时t＝18，
∴∴A正确；
θ＝6sin t＋25，令t＝＋2kπ，k∈Z，即t＝6时θ取最大值，t＝6对应下午3：00，B正确；
令θ＝28，得t＝2或10，即上午11：00或晚上7：00时温度为28 ℃，C错误；当14≤t≤20时，19≤θ≤22，D正确．故选ABD.]
8．ABD　[对于AB，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2, T＝4×＝π，所以ω＝＝2，故AB正确；
对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
由于0<φ<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin .
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z，
当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－；
当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误；
对于D，因为x∈，
所以2x＋∈，
故当2x＋＝，即x＝2π时，f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD.]
9．－　[由题意可得，T＝＝，∴T＝π，又T＝，∴ω＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，
由|φ|＜，可得φ＝－，
∴f＝2cos ，
f＝2cos ＝2cos ＝－.]
10．60　[如图所示，EF＝10，FG＝20，
令∠AEF＝α，则AF＝10sin α，∠AFE＝－α，
则∠BFG＝α， BF＝20cos α，BG＝20sin α，∠BGF＝－α，
则∠CGH＝α，CG＝10cos α.
∴周长为2AB＋2BC＝2＋2
＝60sin α＋60cos α＝60sin ≤60，
当α＝时取等号，
即矩形框架周长的最大值为60 cm.]
11．解：(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f (x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin .
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f (x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象，如图．
(3)将y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f (x)＝2sin 的图象．
(4)因为f (x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ，将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos 的图象，即为f (x)＝2sin 的图象．
12．解：(1)由题意可知，＝，
所以T＝π＝，所以ω＝2.
所以f (x)＝sin .
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z,
故f (x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)将函数f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度，得g(x)＝sin x的图象．
所以h(x)＝sin x(sin x＋cos x)＝sin2x＋sinx cos x＝＝sin ，
因为0≤x≤，所以－≤2x－，
所以当2x－＝，即x＝时，h(x)取得最大值为1＋.
[B组　在综合中考查关键能力]
13．解：(1)因为f在区间上单调，
且f＝－f∈∈，
所以f＝f＝0，
所以y＝f图象的一个对称中心是.
(2)由题设，f的最小正周期T≥2×＝π，＝<，
故ω＝≤2，由ω∈N*，得ω＝1，2，
由点为f (x)＝sin 图象的一个对称中心，
所以ω＋φ＝k1π，k1∈Z，①
因为f＝，所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z.
若ω＋φ＝＋2k2π，②
①－②得ω＝－π，
即ω＝－2＋6.
不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2.
若ω＋φ＝＋2k3π，③
①－③得ω＝－π，
即ω＝－4＋6，
不存在整数k1，k3，使得ω＝1，当k1＝2k3＋1时，ω＝2.
此时φ＝＋2k3π＝＋2k3π，由<，得φ＝.
综上所述，φ＝.
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