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3.3 幂函数
新课引入
阅读与思考
阅读：教材89页（1）-（5）.
思考：观察（1）-（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
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（1）如果张红以1元/的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数；
（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是
（3）如果长方体的棱长为,那么立方体的体积
（4）如果一个正方形场地的面积为那么这个正方形的边长，这里是的函数；
(5)如果某人内骑车行进了1，那么他骑车的平均速度，即这里是的函数.
也可以表示为
观察（1）-（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
（1）
（2）
（3）
（4）；
（5）
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观察（1）-（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
（1）
（3）
（4）；
（5）
共同特征：
（1）解析式都具有幂的形式；
（2）以幂的底数为自变量；
（3）幂的指数都是常数.
抛开
实际背景
幂
底数
指数
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（2）
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
幂函数的概念：
概念辨析：
1、下列函数是幂函数的是______________.
(1)(4)(5)(6)
(1); (2); (3);
(4); (5); (6)
幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习.
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幂函数的概念
2、已知幂函数是奇函数，求的值.
3、已知幂函数过点，求
概念辨析：
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幂函数的概念
解：由幂函数的概念，可得
因为是奇函数，所以
解：设幂函数，因为过点，所以
解得，所以.
有了幂函数的定义，接下来我们应该研究幂函数的哪些内容呢？
如何研究一类函数的这些性质？
特殊幂函数
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幂函数的概念
图象与性质
一般幂函数：
对于幂函数，我们只研究这五个幂函数的图象与性质.
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幂函数的概念
图象与性质
请同学们在同一坐标系中画出函数的图象.
观察图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在表格内.
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性
R 　 R　 R　 [0，＋∞) {x|x≠0}
R　 [0，＋∞)　 R　 [0，＋∞) {y|y≠0}
奇函数　 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
增函数
在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减
增函数
在[0，＋∞)上单调递增
在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减
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幂函数的概念
图象与性质
请同学们在刚才的同一坐标系中画出函数的图象.
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幂函数的概念
图象与性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性
R 　 R　 R　 [0，＋∞) {x|x≠0}
R　 [0，＋∞)　 R　 [0，＋∞) {y|y≠0}
奇函数　 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
增函数
在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减
增函数
在[0，＋∞)上单调递增
在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减
请同学们在刚才的同一坐标系中画出函数的图象.
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幂函数的概念
图象与性质
观察这五个幂函数的图象，它们有哪些共同性质？有哪些不同性质？
2、奇偶性
3、单调性
4、无限接近
1、过定点
的图象都通过点（1，1).
奇函数：
偶函数：
在区间上，函数
单调递增，函数
单调递减.
在第一象限内，函数的图象向上与轴无限接近，向右与轴无限接近.
1、经过的特殊点；
2、单调性、奇偶性；
3、图象的变化趋势.
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幂函数的概念
图象与性质
2、奇偶性
3、单调性
4、无限接近
1、过定点
你能从以上五个幂函数的图象和性质出发，得出幂函数的一些基本性质吗？
函数的图象都通过点（1，1).
单调递增;
单调递减.
在第一象限内，函数的图象向上与轴无限接近，向右与轴无限接近.
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幂函数的概念
图象与性质
除上述性质外，你还能得到哪些性质？
5、当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸.
6、在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.
你能利用幂函数的性质，画出函数的草图吗？：
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幂函数的概念
图象与性质
应用
y
例 证明幂函数
作差法
作商法
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幂函数的概念
图象与性质
证明：函数的定义域是
所以
所以幂函数
因为
利用幂函数的图象与性质，比较下列各题中两个值的大小或求解不等式：
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幂函数的概念
图象与性质
应用
<
利用幂函数的图象与性质，比较下列各题中两个值的大小或求解不等式：
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幂函数的概念
图象与性质
应用
利用幂函数的图象与性质，比较下列各题中两个值的大小或求解不等式：
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幂函数的概念
图象与性质
应用
y
y
<
<
新课引入
幂函数的概念
图象与性质
小结与作业
应用
小结
作业

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