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广西“贵百河”2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷
1．（2025高一下·广西壮族自治区月考）在复平面中，复数的共轭复数所对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知向量，满足，，，则（　　）
A．7 B． C． D．4
3．（2025高一下·广西壮族自治区月考）在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知向量，，且，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·广西壮族自治区月考）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知复数满足，则最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·广西壮族自治区月考）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（　　）
A． B．32 C． D．64
9．（2025高一下·广西壮族自治区月考）下列说法中正确的是（　　）
A．若，，则
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若，则存在唯一实数使得
D．若是三角形的重心，则
10．（2025高一下·广西壮族自治区月考）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（　　）
A．该几何体的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为
11．（2025高一下·广西壮族自治区月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则下列说法正确的是(　　)
A．
B．面积的最大值为
C．若D为边BC的中点，则AD的最大值为3
D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
12．（2025高一下·广西壮族自治区月考）若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为　 　．
13．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知向量、满足，，且，则与的夹角为　 　.
14．（2025高一下·广西壮族自治区月考）如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则清风楼的高度　 　．
15．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知复数
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
16．（2025高一下·广西壮族自治区月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
17．（2025高一下·广西壮族自治区月考）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.
（1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积；
（2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？
18．（2025高一下·广西壮族自治区月考）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
（1）求：；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段上运动，设，求的最大值.
19．（2025高一下·广西壮族自治区月考）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
（1）若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：依题意，，则，
所以所求点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再结合共轭复数定义和复数的几何意义，从而求出复数z的共轭复数对应点的坐标.
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的值.
3．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：∵中，，，，
由正弦定理，
可得：，解得：，
则或.
当时，∵，
∴，是直角三角形；
当时，∵，
∴，是等腰三角形，
故是直角三角形或等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和正弦定理得出角C的正弦值，从而得出角C的值，再结合分类讨论发方法和三角形内角和定理，从而判断出三角形的形状.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，，
得，
由，
得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出实数k的值.
5．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由直观图可得如下平面图形，其中，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据斜二测画直观图的方法得到原图的平面图，从而求出相关线段的长度，再结合三角形的面积公式得出的面积.
6．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由点在线段的延长线上，且，得，
因此，
所以点P的坐标为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件可得，再利用结合向量坐标运算，从而得出点P的坐标．
7．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：依题意，
表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上，
又因为表示上述圆上的点到原点的距离，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合复数的减法运算法则、复数求模公式、复数的几何意义、圆上点到原点的距离公式以及几何法求距离最大值的方法，从而得出最大值.
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：作，垂足为，如下图所示：
则为的中点，
故
.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和中点的性质以及数量积的定义，从而得出的值.
9．【答案】B,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；三角形五心
【解析】【解答】解：若满足“，”，但不一定成立，故A错；
根据向量减法几何意义，当，则与共线且反向，故B对；
若满足，但不满足存在唯一实数使得，故C错；
如图所示：
则，
故D对．
故答案为：BD．
【分析】若，满足“，”，但不一定成立，则判断出选项A；根据向量减法几何意义可判断选项B；若满足，但不满足存在唯一实数使得，则判断出选项 C；根据三角形重心特点可判断选项D，从而找出说法正确的选项．
10．【答案】A,C,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；简单组合体的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：对于A，因为正四棱锥底面半径，高，
因此该几何体的高为，故A正确；
对于B，因为几何体的表面积为，
故B错误；
对于C，因为该几何体的体积为，故C正确；
对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或，
由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图，
取中点，连接，
则，
又因为，
所以最短路程为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件求出四棱锥的高判断出选项A；利用已知条件和棱锥表面积公式、棱柱表面积公式和组合体表面积公式，从而得出该几何体的表面积，则判断出选项B；利用棱锥和棱锥的体积公式结合求和法求出该几何体的体积，则判断选项C；将长方形和正置于同一平面，从而求出，则判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，解得，又因为，
所以，故A错误；
B、由A可知：的面积为，因为，
所以，当且仅当时等号成立，故，故B错误；
C、在和中，由余弦定理可得：，化简可得，由B知，的最大值为12，故的最大值为3，故C正确；
D、利用正弦定理可得：，则，
故的周长为，
因为为锐角三角形，所以，解得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用余弦定理化简求值即可判断A；利用三角形面积公式结合基本不等式求解即可判断B；在和中分别用余弦定理化简求值即可判断C；利用正弦定理表示边b，c，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解判断即可.
12．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z，从而得出复数z的虚部.
13．【答案】.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，
∴
＝0，
∴，
∵与夹角的取值范围为[0，π]，
∴的夹角为．
故答案为：．
【分析】根据可得，再利用数量积的运算律求出的值，则根据向量夹角的取值范围求出向量的夹角．
14．【答案】米
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，，，设米，
在中，米，
在中，米，
在中，米，
在中，由余弦定理得，
即，即，
在中，由余弦定理可得，
则，
所以，
所以，
又因为，解得，
所以清风楼的高度为米.
故答案为：米.
【分析】设米，由此表示出、、，在、中利用余弦定理表示出、，再利用得出清风楼的高度OP的长.
15．【答案】（1）解：若复数为纯虚数，
则，
解得.
（2）解：已知是关于的方程的一个根，
则也是方程的根，
所以，
所以.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数为纯虚数的判断方法，从而得出的值.
（2）利用韦达定理得出的值，从而得出的值.
（1）若复数为纯虚数，则，解得.
（2）已知是关于的方程的一个根，
则也是方程的根，
所以，
所以.
16．【答案】（1）解：在中，
由，
得，
整理得，
因为，解得，
又因为，
所以.
（2）解：依题意，，
又因为，所以，
由余弦定理得，即，
则，
所以，解得，
所以的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和三角形内角和定理、诱导公式以及两角和的正弦公式，再结合得出角A的余弦值，再根据三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）由（1）的结论结合三角形面积公式和余弦定理，从而得出b+c的值，再结合三角形的周长公式得出的周长.
（1）在中，由，得，
整理得，而，解得，而，
所以.
（2）依题意，，而，解得，
由余弦定理得，即，则，
于是，解得，所以的周长为.
17．【答案】（1）解：令陀螺外接球半径为，则，可得，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，
又因为圆柱的高为，
所以圆柱底面直径，
则底面半径，
综上所述，圆锥的高为，母线长为，
所以陀螺的体积为，
陀螺表面积为.
（2）解：令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径，
所以圆柱底面直径为，圆锥的高为，
所以陀螺的高为，
由圆柱侧面积，
当且仅当时取等号，
所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；组合几何体的面积、表面积、体积问题；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】（1）根据题意得出外接球半径，从而可得底面半径，再利用圆锥体积、圆柱体积、圆柱表面积公式和圆锥表面积公式，再结合作和法和作差法，从而得出该陀螺的体积和表面积.
（2）令圆柱的高为，则陀螺的高为，利用圆柱体积公式、基本不等式求最值的方法，从而求出圆柱侧面积的最大值，进而确定取值条件，则得出陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
（1）令陀螺外接球半径为，则，可得，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为，
所以圆柱底面直径，则底面半径，
综上，圆锥的高为，母线长为，
所以陀螺的体积为，
陀螺表面积为.
（2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径，
所以圆柱底面直径为，圆锥的高为，
所以陀螺的高为，
由圆柱体侧面积，
当且仅当时取等号，
所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
18．【答案】（1）解：易知是单位向量，且夹角为，
则，
因为，所以，
则；
（2）解：由，可得，，
易知，则四边形是平行四边形，，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为，
则，
所以，；
（3）解：由（2）可知：，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量新定义，结合向量数量积的运算法则求解即可；
（2）先利用向量加法的平行四边形法则得到四边形是平行四边形，进而得到，，利用向量的线性运算求解即可；
（3）设，利用向量的线性运算得到关于的表达式，利用二次函数的性质求解即可.
（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则.
（2）因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
（3）由（2）知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
19．【答案】（1）解：由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图：
过作于，
则，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
（2）解：（i）由正弦定理得，又因为，，
则，即，得，
则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，
则
．
（ii）由（i）知，点在内部，
且，
设，
则，
由余弦定理得，，
，
，
因为，
即，
整理得，即，
则，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）过作于，再利用等边三角形的性质和费马点定义，再结合余弦函数的定义得出该三角形的费马点到各顶点的距离之和.
（2）（i）根据正弦定理得出角的值，再由费马点定义和三角形面积之间的关系以及三角形的面积公式，从而得出，再结合数量积定义得出的值.
（ii）设，从而得出，再由余弦定理和勾股定理得出，再利用基本不等式求最值的方法， 从而得出的最小值．
（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图：
过作于，则，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
（2）（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，则
．
（ii）由（i）知，点在内部，且，
设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
1 / 1广西“贵百河”2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷
1．（2025高一下·广西壮族自治区月考）在复平面中，复数的共轭复数所对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：依题意，，则，
所以所求点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再结合共轭复数定义和复数的几何意义，从而求出复数z的共轭复数对应点的坐标.
2．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知向量，满足，，，则（　　）
A．7 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的值.
3．（2025高一下·广西壮族自治区月考）在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：∵中，，，，
由正弦定理，
可得：，解得：，
则或.
当时，∵，
∴，是直角三角形；
当时，∵，
∴，是等腰三角形，
故是直角三角形或等腰三角形.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和正弦定理得出角C的正弦值，从而得出角C的值，再结合分类讨论发方法和三角形内角和定理，从而判断出三角形的形状.
4．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知向量，，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，，
得，
由，
得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出实数k的值.
5．（2025高一下·广西壮族自治区月考）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由直观图可得如下平面图形，其中，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据斜二测画直观图的方法得到原图的平面图，从而求出相关线段的长度，再结合三角形的面积公式得出的面积.
6．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由点在线段的延长线上，且，得，
因此，
所以点P的坐标为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件可得，再利用结合向量坐标运算，从而得出点P的坐标．
7．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知复数满足，则最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：依题意，
表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上，
又因为表示上述圆上的点到原点的距离，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合复数的减法运算法则、复数求模公式、复数的几何意义、圆上点到原点的距离公式以及几何法求距离最大值的方法，从而得出最大值.
8．（2025高一下·广西壮族自治区月考）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（　　）
A． B．32 C． D．64
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：作，垂足为，如下图所示：
则为的中点，
故
.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和中点的性质以及数量积的定义，从而得出的值.
9．（2025高一下·广西壮族自治区月考）下列说法中正确的是（　　）
A．若，，则
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若，则存在唯一实数使得
D．若是三角形的重心，则
【答案】B,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；三角形五心
【解析】【解答】解：若满足“，”，但不一定成立，故A错；
根据向量减法几何意义，当，则与共线且反向，故B对；
若满足，但不满足存在唯一实数使得，故C错；
如图所示：
则，
故D对．
故答案为：BD．
【分析】若，满足“，”，但不一定成立，则判断出选项A；根据向量减法几何意义可判断选项B；若满足，但不满足存在唯一实数使得，则判断出选项 C；根据三角形重心特点可判断选项D，从而找出说法正确的选项．
10．（2025高一下·广西壮族自治区月考）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（　　）
A．该几何体的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为
【答案】A,C,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；简单组合体的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：对于A，因为正四棱锥底面半径，高，
因此该几何体的高为，故A正确；
对于B，因为几何体的表面积为，
故B错误；
对于C，因为该几何体的体积为，故C正确；
对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或，
由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图，
取中点，连接，
则，
又因为，
所以最短路程为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件求出四棱锥的高判断出选项A；利用已知条件和棱锥表面积公式、棱柱表面积公式和组合体表面积公式，从而得出该几何体的表面积，则判断出选项B；利用棱锥和棱锥的体积公式结合求和法求出该几何体的体积，则判断选项C；将长方形和正置于同一平面，从而求出，则判断选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高一下·广西壮族自治区月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则下列说法正确的是(　　)
A．
B．面积的最大值为
C．若D为边BC的中点，则AD的最大值为3
D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，解得，又因为，
所以，故A错误；
B、由A可知：的面积为，因为，
所以，当且仅当时等号成立，故，故B错误；
C、在和中，由余弦定理可得：，化简可得，由B知，的最大值为12，故的最大值为3，故C正确；
D、利用正弦定理可得：，则，
故的周长为，
因为为锐角三角形，所以，解得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用余弦定理化简求值即可判断A；利用三角形面积公式结合基本不等式求解即可判断B；在和中分别用余弦定理化简求值即可判断C；利用正弦定理表示边b，c，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解判断即可.
12．（2025高一下·广西壮族自治区月考）若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为　 　．
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z，从而得出复数z的虚部.
13．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知向量、满足，，且，则与的夹角为　 　.
【答案】.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵，
∴
＝0，
∴，
∵与夹角的取值范围为[0，π]，
∴的夹角为．
故答案为：．
【分析】根据可得，再利用数量积的运算律求出的值，则根据向量夹角的取值范围求出向量的夹角．
14．（2025高一下·广西壮族自治区月考）如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则清风楼的高度　 　．
【答案】米
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，，，设米，
在中，米，
在中，米，
在中，米，
在中，由余弦定理得，
即，即，
在中，由余弦定理可得，
则，
所以，
所以，
又因为，解得，
所以清风楼的高度为米.
故答案为：米.
【分析】设米，由此表示出、、，在、中利用余弦定理表示出、，再利用得出清风楼的高度OP的长.
15．（2025高一下·广西壮族自治区月考）已知复数
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
【答案】（1）解：若复数为纯虚数，
则，
解得.
（2）解：已知是关于的方程的一个根，
则也是方程的根，
所以，
所以.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数为纯虚数的判断方法，从而得出的值.
（2）利用韦达定理得出的值，从而得出的值.
（1）若复数为纯虚数，则，解得.
（2）已知是关于的方程的一个根，
则也是方程的根，
所以，
所以.
16．（2025高一下·广西壮族自治区月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：在中，
由，
得，
整理得，
因为，解得，
又因为，
所以.
（2）解：依题意，，
又因为，所以，
由余弦定理得，即，
则，
所以，解得，
所以的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和三角形内角和定理、诱导公式以及两角和的正弦公式，再结合得出角A的余弦值，再根据三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）由（1）的结论结合三角形面积公式和余弦定理，从而得出b+c的值，再结合三角形的周长公式得出的周长.
（1）在中，由，得，
整理得，而，解得，而，
所以.
（2）依题意，，而，解得，
由余弦定理得，即，则，
于是，解得，所以的周长为.
17．（2025高一下·广西壮族自治区月考）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.
（1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积；
（2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？
【答案】（1）解：令陀螺外接球半径为，则，可得，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，
又因为圆柱的高为，
所以圆柱底面直径，
则底面半径，
综上所述，圆锥的高为，母线长为，
所以陀螺的体积为，
陀螺表面积为.
（2）解：令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径，
所以圆柱底面直径为，圆锥的高为，
所以陀螺的高为，
由圆柱侧面积，
当且仅当时取等号，
所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；组合几何体的面积、表面积、体积问题；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】（1）根据题意得出外接球半径，从而可得底面半径，再利用圆锥体积、圆柱体积、圆柱表面积公式和圆锥表面积公式，再结合作和法和作差法，从而得出该陀螺的体积和表面积.
（2）令圆柱的高为，则陀螺的高为，利用圆柱体积公式、基本不等式求最值的方法，从而求出圆柱侧面积的最大值，进而确定取值条件，则得出陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
（1）令陀螺外接球半径为，则，可得，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为，
所以圆柱底面直径，则底面半径，
综上，圆锥的高为，母线长为，
所以陀螺的体积为，
陀螺表面积为.
（2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径，
所以圆柱底面直径为，圆锥的高为，
所以陀螺的高为，
由圆柱体侧面积，
当且仅当时取等号，
所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
18．（2025高一下·广西壮族自治区月考）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
（1）求：；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段上运动，设，求的最大值.
【答案】（1）解：易知是单位向量，且夹角为，
则，
因为，所以，
则；
（2）解：由，可得，，
易知，则四边形是平行四边形，，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为，
则，
所以，；
（3）解：由（2）可知：，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量新定义，结合向量数量积的运算法则求解即可；
（2）先利用向量加法的平行四边形法则得到四边形是平行四边形，进而得到，，利用向量的线性运算求解即可；
（3）设，利用向量的线性运算得到关于的表达式，利用二次函数的性质求解即可.
（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则.
（2）因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
（3）由（2）知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
19．（2025高一下·广西壮族自治区月考）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
（1）若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．
【答案】（1）解：由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图：
过作于，
则，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
（2）解：（i）由正弦定理得，又因为，，
则，即，得，
则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，
则
．
（ii）由（i）知，点在内部，
且，
设，
则，
由余弦定理得，，
，
，
因为，
即，
整理得，即，
则，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）过作于，再利用等边三角形的性质和费马点定义，再结合余弦函数的定义得出该三角形的费马点到各顶点的距离之和.
（2）（i）根据正弦定理得出角的值，再由费马点定义和三角形面积之间的关系以及三角形的面积公式，从而得出，再结合数量积定义得出的值.
（ii）设，从而得出，再由余弦定理和勾股定理得出，再利用基本不等式求最值的方法， 从而得出的最小值．
（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图：
过作于，则，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
（2）（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，则
．
（ii）由（i）知，点在内部，且，
设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
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