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第11章 不等式与不等式组 章末练习
一、选择题
1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（ ）

A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
5．一艘小船匀速顺流从A地驶向B地用了，又用了不超过匀速逆流从B地返回A地，若船速为，则水流的最大速度为（ ）
A． B． C． D．
6．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （ ）．
A． B． C． D．
8．已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有辆货车，3位同学分别列出了关于的不等式组：① ② ③，则正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ．
12．把一堆花生分给一群猴子，如果每只猴子分3颗，就剩8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子分到的花生不足5颗．求猴子的只数与花生的颗数分别为 ．
13．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是 ．
14．已知关于x的不等式组
（1）当时，不等式组的解集为 ；
（2）当的解集为时，a的取值范围为 ．
15．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则如：，．
（1）如果，则的取值范围为 ；
（2）如果，则 ．
三、解答题
16．解不等式
(1)
(2)
(3)．
17．解下列不等式：
(1)；
(2)．
18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
，第二步
，第三步
，第四步
．第五步
(1)以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
(2)第 步开始出现错误，这一步错误的具体原因是 ；
(3)请直接写出该不等式的正确解集为 ．
20．已知关于x的不等式组
(1)当时，这个不等式组的解集为_______；
(2)若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围．
21．（1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围；
（2）若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围．
22．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
(1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？
23．为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元．
(1)求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？
(2)为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？
(3)为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系．
24．（1）已知关于的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围；
（2）若关于x的不等式的最小整数解为2，求a的取值范围．
25．在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点A，B的横纵偏差，记为，即．
(1)若，，的值是______；
(2)若点，点B在x轴的正半轴上，，求点B的坐标；
(3)若点P，Q在y轴上，，点P在点Q上方，点N在线段PQ上，点M的坐标为．当点Q的坐标为时，求的最大值．
（2021·甘肃兰州·中考真题）
26．关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
（2021·广西桂林·中考真题）
27．将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2021·辽宁阜新·中考真题）
28．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2021·山东威海·中考真题）
29．解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2021·内蒙古·中考真题）
30．定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　）
A． B． C．1 D．2
（2021·吉林·中考真题）
31．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
（2021·辽宁大连·中考真题）
32．不等式的解集是 ．
（2024·福建·中考真题）
33．不等式的解集是 ．
（2022·四川南充·中考真题）
34．若为整数，x为正整数，则x的值是 ．
（2022·山西·中考真题）
35．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
（2024·天津·中考真题）
36．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______．
（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）
37．某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
（2022·四川南充·中考真题）
38．南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）
种类 真丝衬衣 真丝围巾
进价（元/件） a 80
售价（元/件） 300 100
(1)求真丝衬衣进价a的值．
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
（2021·辽宁本溪·中考真题）
39．某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．
（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？
（2021·广西柳州·中考真题）
40．如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．
（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？
（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？
41．小明同学学习了有理数后，对运算非常感兴趣，于是定义了一种新运算“”，规则如下：对于两个有理数a，b，.
(1)计算：______，______；
(2)设，试比较的大小，并说明理由；
(3)已知，且，请直接写出满足条件的x的最小值.
42．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“识别距离”为；
若，则点与点的“识别距离”为．
例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4．
【初步理解】
（1）已知点，则点与点的“识别距离”为______．
【深入应用】
（2）已知点，点为轴上的一个动点，
①若点与点的“识别距离”为3，求出满足条件的点的坐标；
②点与点的“识别距离”的最小值为______．
【知识迁移】
（3）已知点，直接写出点与点“识别距离”的最小值及对应的点坐标．
43．在平面直角坐标系中，对于任意两点，与，的“近似距离”，给出如下定义：若，则点，与点，的“近似距离”为；若，则，与点，的“近似距离”为．
(1)已知点，点，求点与点的“近似距离”；
(2)已知点，为轴上的动点．
①若点与点的“近似距离”为4，试求出满足条件的点的坐标；
②直接写出点与点的“近似距离”的最小值：　 　．
参考答案
1．A
【分析】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．理解不等式的定义是解题关键．主要依据不等式的定义进行判断即可．
【详解】解：②，③是等式，④是代数式，①⑤⑥是不等式，
因此不等式有3个，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上（或减去）一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号改变方向．
利用不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：已知，两边同乘得，则A不符合题意；
已知，两边同时减去3得，则B符合题意；
已知，两边同乘再同时加上5得，则C不符合题意；
已知，两边同乘得，则D不符合题意；
故选：B．
3．A
【详解】解：∵x+1≥2
∴x≥1
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
4．C
【分析】由得或进而即可求解；
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴（1）（4）符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的概念、不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设水流的速度是，利用路程速度时间，结合从B地匀速返回A地用了不超过，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】解：设水流的速度是，
根据题意得：，
解得：，
∴x的最大值为，
即最大流速为．
故选：B．
6．A
【分析】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后把x＝12代入方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
该不等式的最小整数解为12，
把代入方程中，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．B
【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵不等式的负整数解只有,
∴符合题意的m取值范围如图所示，
∴，
故选B．
8．B
【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
解二元一次方程组，得，由“方程组的解均为正数”可得，解得；解不等式组，由得，由得，由“不等式组的解集为”可得，解得；综合以上，于是得解．
【详解】解：，
，得：，
系数化为，得：，
将代入，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
二元一次方程组的解为，
关于，的二元一次方程组的解均为正数，
，
解得：；
，
整理，得：
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
，
解得：；
综上，的取值范围是：，
故选：．
9．C
【分析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，首先解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有3个整数解即可确定整数解，从而得到a的范围．
【详解】解：不等式组的解集是．
又∵不等式组有3个整数解，
∴整数解是0，1，2．
∴，
故选：C．
10．D
【分析】此题考查了列不等式组，根据题意分析不等式组即可得到答案．
【详解】解：设有辆货车，用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．
则① ② ③，都成立，
故选：D
11．15
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值即可．
【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，
∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数小于，
设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，根据题意，得，
解得，
∴，
又，
∴，
∴，
∴整数，
即他一共跑的圈数是15，
故答案为：15．
12．5只和23颗或6只和26颗．
【分析】设猴子的只数为x只，根据题意列出不等式组，求整数解即可．
【详解】解：设猴子的只数为x只，根据题意列出不等式组得，
，
解得，，
因为x为整数是，
所以，或，
花生的颗数为颗或颗
故答案为：5只和23颗或6只和26颗．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是准确把握题目中的不等量关系，列出不等式组．
13．64
【分析】根据第一次操作没有停止可得不等式，根据第二次操作后停止可得不等式，由此建立不等式组求解即可．本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意列出不等式组是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得
解得，
∴x的最大值是64．
故答案为：64
14．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集为，即可确定a的范围．
【详解】解：（1）当时， 不等式组为，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为；
故答案为：．
（2）解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组的解集为，
∴；
故答案为：．
15． 或
【分析】本题考查近似数和有效数字、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
（1）根据题意可以得到，然后求解即可；
（2）根据题意可以得到，且为非负整数，然后求解即可．
【详解】解：（1），
，
解得：，
故答案为：；
（2），
，
∴，
∴，
∵为非负整数，
解得：或，
故答案为：或．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解题步骤是解题的关
（1）去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可
（2）先移项，合并同类项，系数化为1即可
（3）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
17．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18．，数轴表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．(1)不等式的基本性质2
(2)五；不等式两边除以时，不等号的方向没有改变
(3)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
（1）根据不等式的基本性质，即可解答；
（2）根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答；
（3）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】（1）以上解题过程中，第一步是进行去分母，变形依据是不等式的基本性质2，
故答案为：不等式的基本性质2；
（2）第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边除以时，不等号的方向没有改变；
故答案为：五；不等式两边除以时，不等号的方向没有改变；
（3）该不等式的正确解集为，
故答案为：．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）将代入不等式组，求出结果即可
（2）先解不等式组求得，根据不等式组恰有两个整数解知不等式组的整数解为、0，据此得，解之即可．
【详解】（1）解：当时，不等式组为，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
这个不等式组的解集为；
（2）解：解不等式，得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组恰有两个整数解，
∴不等式组的整数解为、0，
则，
解得．
21．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握相关计算方法是解题的关键．
（1）先分别求出方程和不等式组的解集，然后得到关于m的不等式组求解即可；
（2）先分别求出方程组、不等式组的解集，然后根据题意得到关于a的不等式组求解即可．
【详解】（1）解：解关于x的方程得：，
解不等式组得：，
所以，解得：．
（2）解：解关于的方程组得：，
解不等式组得：，
所以，解得：．
22．(1)生产种产品8件，种产品2件．
(2)见解析
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用．
（1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划生产，两种产品共10件，工厂计划获利14万元”列出方程组即可得出结论；
（2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出m的取值范围，即可求出方案．
【详解】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件，
根据题意，得解得
答：应该生产种产品8件，种产品2件．
（2）解：设生产产品件，则生产产品件，
根据题意，得
解得．
为正整数，
的值为5，6或7，
该工厂有三种生产方案：
方案①：生产种产品5件，种产品5件；
方案②：生产种产品6件，种产品4件；
方案③：生产种产品7件，种产品3件．
23．(1)每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元
(2)共有8种购买方案
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减中的无关型问题，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
（1）设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，根据总费用和绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的建立不等式组，解不等式组即可得；
（3）设购买总费用为元，则，再根据（2）中的所有购买方案费用相同可得含的项的系数等于0，由此即可得．
【详解】（1）解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，
由题意得：，
解得，
答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元．
（2）解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，
由题意得：，
解得，
为正整数，
可能为23，24，25，26，27，28，29，30，
答：共有8种购买方案．
（3）解：设购买总费用为元，
则，
∵（2）中的所有购买方案费用相同，
，
．
24．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、一元一次不等式等知识点，熟练掌握方程组和不等式的解法是解题的关键．
（1）先将两个方程相加可得，再结合建立关于m的不等式求解即可；
（2）先解一元一次不等式求出，再根据最小整数解为2列关于a的不等式求解即可得．
【详解】解：（1），
得，
∴．
∵，
∴，
解得．
（2）解不等式，得．
∵不等式有最小整数解2，
∴，
解得：．
25．(1)5
(2)或
(3)的最大值是5
【分析】本题考查坐标与图形，掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据新定义的法则，求解即可；
（2）设，，根据新定义，列出方程进行求解即可；
（3）易得，设，得到，进而求出，得到，即可得出结果．
【详解】（1）∵，，
∴，，
∴，
故答案为：5；
（2）设，，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴或，
解得：或，
∴或．
（3）∵点P，Q在y轴上，，，P点在Q点上方，
∴．
设点为线段上任意一点，则．
∵，
∴，，
∴．
由，
∴．
∴，
∴的最大值是5．
26．B
【分析】求出不等式的解集，并表示出数轴上即可．
【详解】
解得
将表示在数轴上，如图
故选B
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，并将不等式的解集表示在数轴上，数形结合是解题的关键．
27．B
【分析】根据不等式组的解集表示方法即可求解．
【详解】不等式组的解集在数轴上表示出来为
故选B．
【点睛】此题主要考查不等式的表示，解题的关键是熟知不等式的表示方法．
28．C
【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，从而可以解答本题．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
故原不等式组的解集为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解不等式组的方法．
29．A
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【详解】解不等式①得：x> 3，
解不等式②得：x≤-1，
∴不等式组的解集为-3将不等式组的解集表示在数轴上如下：
故选A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
30．B
【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m．
【详解】解：由，
∴，
得：，
∵解集为，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．
31．B
【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
32．
【分析】根据一元一次不等式的解法可直接进行求解．
【详解】解：
，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
33．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
34．4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值．
【详解】解：∵
∴
∵为正整数
∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵为整数
∴为4或7或8
故答案为：4或7或8．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
35．32
【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可；
【详解】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
36．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组；
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；
（3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集；
（4）根据数轴上的解集取公共部分即可．
【详解】（1）解：解不等式①得，
故答案为：；
（2）解：解不等式②得，
故答案为：；
（3）解：在数轴上表示如下：
（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为，
故答案为：．
37．(1)A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元
(2)共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件
(3)这10件家电中B种家电的件数4件
【分析】（1）根据题意设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元，建立分式方程求解即可；
（2）设购进A种家电a件，购进B种家电件，建立不等式，求解不等式，选择符合实际的解即可；
（3）设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，根据题意，建立一元一次方程求解即可．
【详解】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元．
根据题意，得
．
解得．
经检验是原分式方程的解．
．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）设购进A种家电a件，购进B种家电件．
根据题意，得．
解得．
，．
为正整数，，则，
共有三种购买方案，
方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，
方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，
方案三：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）解：设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，
根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电66件，B种家电34件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电67件，B种家电33件时，得：
，
整理得：，
解得：，符合实际；则B种家电拿出件．
【点睛】本题考查分式方程的实际问题，一元一次方程的实际问题与一元一次不等的实际问题，正确理解题意，建立正确的等量关系与不等式是解题的关键，注意结果要符合实际及分式方程的检验．
38．(1)a=260；
(2)真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；
(3)每件最多降价8元．
【分析】（1）根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，根据题意列出不等式得出x≤100；设总利润为y，由题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得出；
（3）设降价z元，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：根据表格数据可得：
50a+25×80=15000，
解得：a=260；
（2）解：设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，
根据题意可得：300-x≥2x，
解得：x≤100；
设总利润为y，
根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000，
∵20>0，
∴y随x的增大而增大，
当x=100时，y最大为：20×100+6000=8000元，
此时方案为：真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元；
（3）设降价z元，
根据题意可得（100-80）+100×（300-260）+100×（100-80-z）≥8000×90%，
解得：z≤8，
∴每件最多降价8元．
【点睛】题目主要考查一元一次方程及不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，列出相应方程不等式是解题关键．
39．（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本．
【分析】（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．
【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，
根据题意可得：，
解得，
答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；
（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册本，根据题意可得：
，
解得，
∴最多能购买手绘纪念册10本．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
40．（1）A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元；（2）60箱
【分析】（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，根据两种购买方式建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，从而可得购买品牌螺蛳粉为箱，再根据“预算总费用不超过9200元”建立不等式，解不等式，结合为正整数即可得．
【详解】解：（1）设品牌螺蛳粉每箱售价为元，品牌螺蛳粉每箱售价为元，
由题意得：，
解得，
答：品牌螺蛳粉每箱售价为100元，品牌螺蛳粉每箱售价为80元；
（2）设购买品牌螺蛳粉为箱，则购买品牌螺蛳粉为箱，
由题意得：，
解得，
答：品牌螺蛳粉最多购买60箱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
41．(1)2，2
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据新运算“”规则直接计算即可；
（2）根据新运算“”规则表示出，即可比较大小；
（3）根据新运算“”规则可得，令，分和两种情况，利用绝对值的几何意义求出t的取值范围，进而求出x的取值范围，即可求解
【详解】（1）解：，
，
故答案为：2，2；
（2）解：，理由如下：
，
，
；
（3）解： ，且，
，
，
令，
当时，，
，
，即，
解得，
当时，，
，
，即，
解得，
综上可知，x的取值范围为：，
满足条件的x的最小值为．
【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，整式的运算，第3问有一定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键．
42．（1）3；（2）①点的坐标为或；②2；（3）点与的“识别距离”的最小值为
【分析】（1）根据新定义分别计算，，结合，可得答案；
（2）①设点B的坐标为，根据“识别距离”的定义可得，化简绝对值即可得；②先求出时a的值，再根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可；
（2）参考②，先求出时m的值，再根据“识别距离”的定义分三种情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可．
【详解】解：（1）∵点，
∴，，而，
∴点与点的“识别距离”为；
（2）①设点B的坐标为，而，
点与的“识别距离”为
解得
则点B的坐标为或；
②由得：，
因此，分以下两种情况：
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
当或时，，
则点A与点的“识别距离”为，
综上，点与点的“识别距离”大于或等于2，
故点A与点的“识别距离”的最小值为2；
（3）由得：或，
解得或，
因此，分以下三种情况：
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
此时，
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
此时，
由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为，
此时，，
则点C的坐标为．
【点睛】本题考查了新定义的含义，点坐标、绝对值运算，不等式的性质等知识点，较难的是题（3），理解新定义，正确分情况讨论是解题关键．
43．(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根据题意即可得点与点的“近似距离”；
（2）①设点的坐标为．由，，解得或，即可得出答案；
②设点的坐标为，且，则，，若，则点、两点的“近似距离”为，若，则点、两点的“近似距离”为；即可得出结果
【详解】（1）点、点，，
点与点的“近似距离”为5．
（2）①为轴上的一个动点，
设点的坐标为．
、两点的“近似距离”为4，，
，，
解得或，
点的坐标是或，
②设点的坐标为，且，
，，
若，则点、两点的“近似距离”为，
若，则点、两点的“近似距离”为；
、两点的“近似距离”的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值、绝对值不等式等知识；本题综合性强，正确理解新定义“近似距离”是解题的关键．

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