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2024-2025 学年云南省昆明市云南地矿局中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 、 是全集 的真子集，则下列四个命题中与命题 等价的有( )
① ∩ = ；② ∪ = ；③ ∩ ( ) = ；④ ∩ =
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
2.下列是全称命题且是真命题的是( )
A. ∈ ， 2 > 0 B. ∈ ， 2 ∈
C. 20 ∈ ， 0 > 1 D. ， ∈ ， 2 + 2 > 0
3.设 > 0， > 0， + = 1，则下列说法错误的是( )
A. 1的最大值为4 B.
2 + 2 1的最小值为2
C. 4 + 1 的最小值为 9 D. + 的最小值为 2
4.为了给地球减负，提高资源利用率，2019 年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假
设某市 2019 年全年用于垃圾分类的资金为 5000 万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长 20%，
则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过 1.28 亿元的年份是(参考数据： 1.2 ≈ 0.079， 2.56 ≈ 0.408)( )
A. 2023 年 B. 2024 年 C. 2025 年 D. 2026 年
5.已知复数 3 + 4 是关于 的一元二次方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个复数根，则复数 + 在复平
面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.已知 ， ， 满足| | = | | = | |， + + = 0， = = 则点 ， ，
依次是△ 的( )
A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心 C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，
内心
7.如图，△ ′ ′ ′是由斜二测画法得到的△ 水平放置的直观图，其中
′ ′ = ′ ′ = 2，点 ′为线段 ′ ′的中点， ′对应原图中的点 ，
则在原图中下列说法正确的是( )
A. = 0 B. △ 的面积为 2
C. 在 上的投影向量为 2 D.与 5同向的单位向量为 10
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8.已知四棱锥 中，四边形 为等腰梯形， // ，∠ = 120°，△ 是等边三角形，且 =
= 2 3，若点 在四棱锥 的外接球面上运动，记点 到平面 的距离为 ，若平面 ⊥平
面 ，则 的最大值为( )
A. 13 + 1 B. 13 + 2 C. 15 + 1 D. 15 + 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ( ) = 2 2 + 3 2 1( > 0)的最小正周期为 ，则下列说法正确的有( )
A. = 2
B. 函数 ( )在[0, 6 ]上为增函数
C. 直线 = 3是函数 = ( )图象的一条对称轴
D.点( 512 , 0)是函数 = ( )图象的一个对称中心
10.对于△ 有如下命题，其中正确的是( )
A.若sin2 + sin2 + cos2 < 1，则△ 为钝角三角形
B.若 = 3， = 1 3， = 30°，则△ 的面积为 2
C.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
1 D.若
| | |
= 2，且(| | + ) = 0，则△ 为等边三角形| | |
11.如图，在菱形 中， = 2，∠ = 60°， 为 的中点，将△ 沿直线 翻折成△ 1 ，
连接 1 和 1 ， 为 1 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )
A. ⊥ 1
B. 的长不为定值
C. 1与 的夹角为3
D.当三棱锥 1 的体积最大时，三棱锥 1 的外接球的表面积是 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 , ≤ 1
12.已知函数 ( ) = 1 1 , > 1，若 ( ( )) = 2，则 =______．
3

13.已知复平面上的点 对应的复数 满足：存在模长为 1 的复数 ，使得 + + = 0.那么所有满足条件
的点 组成的图形的面积为______．
14.已知函数 ( ) = 2 ， ( ) , ≥ 为偶函数，且当 ≥ 0 时， ( ) = 2 4 .记 { , } = , < .给出下列关
于函数 ( ) = { ( ), ( )}( ∈ )的说法：①当 ≥ 6 时， ( ) = 2 4 ；②函数 ( )为奇函数；③函
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数 ( )在[ 2,2]上为增函数；④函数 ( )的最小值为 0，无最大值．其中正确的是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在①( )2 = sin2 ，② + = 2 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问
题中，△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 ( ) = 2 ( 4 )，若_____，是否存在
使得 ( )存在最大值？
16.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = sin 2 cos 2 3cos
2 3
2 + 2 ．
(1)求函数 ( )的周期和单调递增区间；
(2)在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且满足 2 2 ≥ 3 2，求 ( )的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，已知正方形 边长为 2，过中心 的直线 与两边 、 分别交于点 、 ．
(1)求 的值；
(2)若 是 的中点，求 的取值范围；
(3)若 是平面上一点，且满足 2 = + (1 ) ，求 的最小值．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥底面 1 1 1， ⊥ ， = 2， = 4， 1 = 6，点 ， 分别
为 1与 的中点．
(1)证明： //平面 1 1；
(2)求二面角 1 的平面角的正切值．
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19.(本小题 17 分)
函数 ( ) = | |．
(1)根据 不同取值，讨论函数 = ( )的奇偶性；
(2)若 ≤ 0，对于任意的 ∈ [0,1]，不等式 1 ≤ ( ) ≤ 6 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若已知 = 2， = [ 1,4].设函数 ( ) = 1( 2 + + )， ∈ ，存在 1、 2 ∈ ，使得 ( 1) ≤ ( 2)，
2
求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.4
14.①③
15. ( ) = 2 ( ) = 2 2 ( ) = 1 2 1+ 2 = 2解： 4 2 2 2 2 sin(2

4 )
1
2，

选择条件①：由正弦定理知， = = ，
∵ ( )2 = sin2 ，
∴ ( )2 = 2 ，即 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理知， = 2 = 2 = 2，
∵ ∈ (0, )，∴ = 3，
∴ ∈ (0, 2 ) 2 13 3 ， 4 ∈ ( 4 , 12 )，
当 2 4 =

2，即 =
3
8时， ( )取得最大值．
选择条件②：
∵ + = 2 ，
∴ + = 2 + = 2 ，即 ，
∴ sin( + ) =
2
= ，
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∴ = 12，
∵ ∈ (0, )，∴ = 3，
∴ ∈ (0, 2 3 )，2

4 ∈ (
, 13 4 12 )，
2 = 3 当 4 2，即 = 8时， ( )取得最大值．
16. ( ) = sin 解： 2 cos
2 3 1
2 3cos 2 + 2 = 2
3
2 ( + 1) +
3 1 3
2 = 2 2 = sin(

3 )，
(1) ( ) 2 根据 的解析式可得 = 1 = 2 ，
+ 2 ≤ ≤ + 2 ∈ [ + 2 , 5令 2 3 2 ，解得 6 6 + 2 ]( ∈ )，
即 ( ) 5的单调递增区间为：[ 6 + 2 , 6 + 2 ]( ∈ )；
2 2 2
(2)因为 2 2 ≥ 3 2，即 2 + 2 2 ≥ 3 + ，则由余弦定理 = 2 ≥
3
2 ，
3
因为 ∈ (0, )，所以 2 ≤ < 1，
0 < ≤ 则 6，所以

3 <

3 ≤ 6，
sin( 则 3 ) ∈ (
3 1
2 , 2 ]，
3
即 ( )的值域为：( 2 ,
1
2 ].
17.解：(1) ∵ ∠ = 90°，
∴ = 0，
∴ = ( + ) = ( )2 = ( )2 = 4，
(2) ∵ = ( + ) ( + ) = | |2 + + + ，
∵ 为 的中点，
∴ = ，
∴ = | |2 | |2，
∵ | | = 1,1 ≤ | | ≤ 2，
∴ 1 ≤ ≤ 0，
∴ 的取值范围[ 1,0]，
(3) ∵ = ( + ) ( + ) = ( )2 ( )2，
设 = 2 ，
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则 = 2 = + (1 ) ，
∴ 、 、 三点共线，
∴ | | ≥ 1，| | ≥ 12，
又∵ 1 ≤ | | ≤ 2，
∴ = ( )2 ( )2 ≥ 14 2 =
7
4，
∴ 7的最小值为 4．
18.(1)证明：在三棱柱 1 1 1中，因为 1 ⊥底面 1 1 1，
所以三棱柱是直三棱柱，故四边形 1 1 是矩形，
又因为点 是 1的中点，连接 1，则点 是 1的中点，
连接 1，因为 是 的中点，所以 // 1，
因为 1 平面 1 1， 平面 1 1，
所以 //平面 1 1；
(2)解：因为平面 1 ⊥平面 1 交于 1， 平面 1，
所以 ⊥平面 1 ，又 1 平面 1 ，
所以 ⊥ 1 ，
过 在平面 1 1 内，作 ⊥ 1 交 1 于点 ，连接 ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 1 ⊥ ，
因此∠ 为二面角 1 的平面角，
又因为 ⊥ ，所以∠ = 90°，
故平面 1 ⊥平面 1 ，
由(1)可知，四边形 1 1 是矩形，
取 1的中点 ，连接 ，
因为 为 1的中点，所以 ⊥ 1，
因为 = 2，所以 = 1，
又因为 = 4， 1 = 6， 是 的中点，
所以在矩形 1 1 内，利用等面积法可得，
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24 = 1 12 × (3 × 2 + 3 × 4 + 6 × 2) + 2 1 × ，
又 = 62 21 + 2 = 2 10，
9
因此 = 10，
在 △ 中，tan∠ = =
10，
9
因此二面角 1 的平面角的正切值为
10．
9
19.解：(1)函数 ( ) = | |的定义域为 ，关于原点对称．
当 = 0 时， ( ) = | |， ( ) = | | = | | = ( )，
此时，函数 = ( )为奇函数；
当 ≠ 0 时， ( ) = | |， ( ) = | |， ( ) = | | = | + |，
则 ( ) ≠ ( )， ( ) ≠ ( )，
此时，函数 = ( )为非奇非偶函数；
综上，当 = 0 时，函数为奇函数；当 ≠ 0 时，函数为非奇非偶函数；
(2)当 = 0 时，则有 1 ≤ 0 ≤ 6 恒成立，此时 ∈ ；
当 0 < ≤ 1 时，由 1 ≤ | | ≤ 6，即 1 ≤ | | ≤ + 6，
1 1即 ≤ | | ≤ 1 +
6
，
因为 0 < ≤ 1 1，所以 ≥ 1，
1
则 1 ≤ 0，
又因为| | ≥ 0，
1
所以不等式| | ≥ 1 对任意的 ∈ (0,1]恒成立，
6
由| | ≤ 1 + ，
6
即| | ≤ 1 + ，
所以 1 6 ≤ ≤ 1 +
6
，
即 6 6 1 ≤ ≤ + + 1．
因为函数 ( ) = 6 1 在区间(0,1]上单调递增，
所以 ≥ ( ) = (1) = 6，
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6
由对勾函数的性质可知函数 ( ) = + + 1 在区间(0,1]上单调递减，
则 ≤ ( ) = (1) = 8，
所以 6 ≤ ≤ 8．
综上，实数 的取值范围是[ 6,8]；
(3)由题意知，当 ∈ [ 1,4]时， ( ) ≤ ( ) ，
(2 ), 1 ≤ ≤ 2
当 = 2 时， ( ) = | 2| = ( 2), 2 < ≤ 4 ．
当 1 ≤ ≤ 2 时， ( ) = 2 2 = ( 1)2 + 1，开口向下，
此时，函数 = ( )在区间[ 1,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，
且 ( 1) = 3， (2) = 0， (1) = 1，
则 1 ≥ ( ) ≥ 3；
当 2 < ≤ 4 时， ( ) = 2 2 = ( 1)2 1，开口向上，
此时，函数 = ( )在区间(2,4]上单调递增，则 ( ) > 0．
所以，函数 = ( )在区间[ 1,4]上的最小值为 ( ) = 3．
对于函数 ( ) = 1( 2 + + )，
2
1 1
内层函数 = 2 + + 在区间[ 1, 2 )上单调递减，在区间( 2 , 4]上单调递增，
外层函数 = 1 是单调递减函数，
2
所以函数 = ( )在区间[ 1, 12 )上单调递增，在区间(
1
2 , 4]上单调递减，
1
所以 ( ) = ( 2 ) = 1(
1
4 )，2
1
由题意得 1( 4 ) ≥ 3，则有 0 <
1 1 3 1
4 ≤ ( 2 ) = 8，解得4 < ≤
33
4．2
1 33
所以实数 的取值范围是( 4 , 4 ]．
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