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云南省前锋中学2025届高三5月仿真考试数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.对于数列，“”是“数列为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知向量，，，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量( )
A. B. C. D.
5.函数为常数，，的部分图象如图所示，为得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
6.正三棱台三条侧棱的延长线交于点，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点在轴上方，若的面积为，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则下列可能成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，，，满足，，则下列结论正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果与相互独立，那么
C. 如果与互斥，那么
D. 如果，那么，
10.在棱长为的正方体中，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则( )
A. 与为异面直线
B. 与所成的角为
C. 平面截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D. ，则点轨迹长度为
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 恰有一个极值点
B. 有最小值但没有最大值
C. 直线与曲线的公共点个数最多为
D. 经过点只可作的一条切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为 ．
13.已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
14.某小区有个连排的私家车位，其中、号为甲家所有，、号为乙两家所有，号为丙家所有．若甲、乙、丙三家各有一辆私家车，规定每个车位至多停一辆车且这三辆车只能停这个车位，称车辆未停在自家车位上为停错位，则三辆车全停错位的停法数为 用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，C.
求角
若，，求的周长．
16.本小题分
已知实数，设．
若，求函数的图象在点处的切线方程；
若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围．
17.本小题分
甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为，甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为，在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响．
若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率
如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止设停止游戏时进行了轮游戏，求证：．
18.本小题分
在中，，，，，分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面
求与平面所成角的大小
在线段上是否存在点，使平面与平面夹角余弦值为若存在，求出的长度若不存在，请说明理由．
19.本小题分
角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数列其中其递推关系式为称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题：
若，求数列的项数；
若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合；
对任意的数列，求证：．
答案及解析
1.【答案】
【解析】解：，，且，
，
的取值范围是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：因为，
则，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
【解答】
解：若数列的通项公式为，
则为常数，
由等差数列的定义可得数列为等差数列，故充分性满足；
若数列为等差数列，设首项为，公差为，
则通项公式为，
令，，则数列的通项公式可写为，为常数，，
故必要性满足；
所以对于数列，“”是“数列为等差数列”的充要条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为向量与的夹角等于向量与的夹角，
所以，
设，
则，
所以，
所以，
即，解得或．
若，则与共线，矛盾；
若，
由，得，解得．
当，则，则，此时．
当，则，则，此时．
又，故，所以舍去，
综上所述，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
【解答】
解：由，所以，
又，
所以，
又，
只需将函数的图象向右平移个单位长度即可．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：由正三棱台三侧棱的延长线交于点，得三棱锥为正三棱锥，过作平面于，交平面于，连接，
由，得，则，
又，则，
则
，
解得，则，
设的边长为，则，解得，
由三棱锥为正三棱锥，得是的中心，
所以，
由平面，得为侧棱与底面所成的角，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，

设圆与轴切于点，与切于点，
设椭圆与轴正半轴交于点，下面证明，重合，
设，，
，
而，
与重合，即点是短轴的端点，
，，
则，所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：函数定义域为，
，
则，
，
所以函数是奇函数，
，
则，
又，且，
，
所以在定义域上单调递增，
由，又函数是奇函数，
得，
又在定义域上单调递增，
得，
若，则，从而，得
若，则，从而，得
若，则，从而，得
当时，，
设，则，
若，由得，且，
单调递增，，
从而，得，
从而，
若，由得，且，
单调递减，，
从而，得，
从而得，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
【解答】
解：，
不一定为，A错误
B.若、相互独立，则，也相互独立，
，B正确；
C.如果，互斥，则，则，C正确；
D.如果，那么，，D错误．
故选BC．
10.【答案】
【解析】
解：取中点，
因为分别是棱的中点，则，
又因为分别是棱的中点，
则，且 ，，且，
所以，且，
则四边形为平行四边形，可知，可得，
即 四点共面，同理可证四点共面，四点共面，四点共面，可知 六点共面，
对于，平面，平面，，故与为异面直线，A正确；
对于，在中，，，，，故，，所以与所成的角为，故B正确；
对于，平面截该正方体所得截面形状为六边形，故C错误；
对于，因为，且为的中点，所以，
故，所以点轨迹是过点与平行的线段，
取中点，连接，则，且，
所以，所以D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
【解答】
解：对于，的定义域为，，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故是唯一的极值点，故 A正确；
对于，由上述可知函数在上的最小值为，
又因为当时，且，当且时，，
当且时，，
所以既无最小值也无最大值，故 B错误；
对于，由选项作出函数的大致图象如图所示，
直线恒过点，
当足够大时，
直线与曲线有个交点，
直线与曲线有个交点，
则直线与曲线的公共点个数最多为，故C正确；
对于，易知点不在的图象上，设切点为，
则，解得，
则经过点只可作曲线的一条切线，故 D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：因为 ，所以这组数据的上四分位数为第个数，故，
所以二项式 展开式的通项为 ，
令，得，
所以展开式的常数项为 ．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：依题意知抛物线的焦点，连接，
则点到直线的距离，
所以，
的最小值，即点到直线的距离，即，
当且仅当点在到直线的垂线上且在和之间时，等号成立，
所以，
即的最小值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
【解答】
解：根据题意可知，三辆车全停错位的停法可分三类情况．
若甲的车辆停在乙家的车位上，丙的车辆停在甲家的车位上，有种不同方法；
若甲的车辆停在乙家的车位上，乙的车辆停在丙家的车位上，有种不同方法；
若甲的车辆停在丙家的车位上，乙的车辆停在甲家的车位上，有种不同方法；
故三辆车全停错位的停法数为种．
故答案为：．
15.【答案】解：由题意，，
所以，
所以
，
所以B.
因为，所以，所以．
又因为，所以．
因为，
所以，
即，
由余弦定理得，
所以，
所以，，
所以的周长．
16.【答案】解：因为，，，
所以，则，
故点处的切线方程为，即；
由已知有，令，解得或，列表如下：
所以的单调增区间是，单调减区间是和，
当时，取极小值，当时，取极大值，
由知，当时，；当时，，
因为对于任意的，总存在，使得，
当时，不成立，故，所以，所以，
设集合，集合，
则“对于任意的，都存在，使得”等价于，
下面分两种情况讨论：
当即时，有且此时在上单调递减，的值域为，
故，，所以不是的子集；

当即时，有且此时在上单调递减，
故，因而，
由有在上的值域为，所以，所以满足题意，

综上的取值范围为：
17.【答案】解：设“甲在第轮活动中答对”，“乙在第轮活动中答对”，
“甲乙在第轮活动中都答对”，，
则
，
，
证明：第二轮甲答对的概率为，
第二轮乙答对的概率为，
依此类推得到，，
每一轮甲乙都答错的概率为，
因此，
则，
所以，
得，
所以．
18.【答案】解：因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，，
且都在面内，
所以平面；
由，，且平面 ，而平面 ，
故，而，
以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即
不妨令，则，，．
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为．
在空间直角坐标系中，，，，
设，
则，，
设平面的法向量为，
则有，即
不妨令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即
不妨令，则，，所以，
若平面与平面夹角的余弦值为．
则满足，
化简得，解得或 均满足，
即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面夹角的余弦值为此时的长度为或．

19.【答案】解：因为，根据题意可得：，，，
，，，，，
所以数列的项数为
由题意可得：
因为，则，，舍或，
当时，，或，
当时，则；当时，；
综上所述，的取值集合为
依题意，
当时，，不等式成立；当时，，即也成立；
当时，对任意，，
故，即，
当时，由，，
所以；
当时，由，，
，所以．
综上所述，对任意的数列，．

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