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2025年普通高等学校招生全国统一考试
科目：数学
（试题卷）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共6页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
姓 名
准考证号
祝你考试顺利！
2025年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则的真子集有
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
2.复数为虚数单位，在复平面上对应的点不可能在
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3.苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方粮仓，圆筒粮仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为
A. B.
C. D.
4.已知，，，则的值为
A. B.
C. D. 或
5.已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为
A. B.
C. D.
6.已知是定义在上的导函数，同时，若任意正数，满足，则必有
A. B.
C. D.
7.为定义在上的偶函数，当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. 数据，，，，的第百分位数是
B. 若随机变量服从正态分布，，则
C. 张彩票中只有张能中奖，现从中一次性抽取张，若其中至少有一张中奖的概率大于，则的最小值为
D. 已知数据，，，的平均数为，方差为，现加入和两个数，则这个数的方差
10.已知常数的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则
A.
B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为
C. 展开式中的系数为
D. 若展开式中各项系数的和为，则第项的系数最大
11.已知正方体的棱长为，是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，，则下列判断正确的是
A. 时，截面面积为 B. 时，
C. 随着的增大先减小后增大 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围为 ．
13.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为 ．
14.已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，，求的面积
若角为钝角，求的取值范围．
16.本小题分
已知，分别为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
求椭圆的标准方程．
若过的直线与椭圆交于，两点，且与以为直径的圆交于，两点，试问是否存在常数，使为常数若存在，求的值若不存在，说明理由．
17.本小题分
已知．
当时，求证：
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
如图，几何体由两个直三棱柱拼接而成，在直三棱柱中，，；在直三棱柱中，直线，分别交平面于点，．
求证：；
若，则
(ⅰ)当时，求线段的长度；
(ⅱ)当平面与平面的夹角与互余时，求的值．
19.本小题分
设数列是一个无限数列，若对于一个给定的正整数，不等式对每一个大于的正整数都成立，则称是阶友好数列．
若，证明：是阶友好数列，但不是阶友好数列；
若是阶友好数列，为数列的前项和．
证明：
．
参考答案及解析
1.【答案】
解：不等式可化为，所以，
所以，
不等式可化为，所以或，
所以或，
所以，
所以有个真子集．
故选：．
2.【答案】
解： 因为复数，
其在复平面内对应的点为，
若在第一象限，
若在第二象限，
若在第三象限，
若在第四象限，
所以复数为虚数单位，在复平面上对应的点不可能在第二象限．
故选：．
3.【答案】
解：设圆锥母线长为，高为，底面半径为，
则由，得，
所以，
所以．
故选：．
4.【答案】
解：， ，
，
，
，
又，，
，，
，
又 且，
．
故选：．
5.【答案】
解：，且，的夹角为，
建立直角坐标系，如图所示：
可设，，，
，
，
，即，
点轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
．
故选：．
6.【答案】
解：，，．
设，，则，
在区间上单调递减，，，
即，即，
故选B．
7.【答案】
解：画出函数，的图象，
的零点个数即为方程的根的个数，
设，则，
当时，无实数根，
则无实数根；
当时，
有两个实数根，
其中，，
有一个实数根，无实数根，
所以共有个实数根；
当时，
有三个实数根，，，
其中，，，
有一个实数根，有一个实数根，
无实数根，
所以共有个实数根；
当时，
有四个实数根，，，，
其中，，
，，
有一个实数根，有一个实数根，
有两个实数根，无实数根，
所以共有个实数根；
当时，有两个实数根，，
有一个实数根，
有一个实数根，
所以共有两个实数根；
当时，无实数根，
则无实数根；
综上所述，实数的取值范围为．
故选：．
8.【答案】
解：由圆，
可得，
则圆心，半径，
设，则，
由绝对值的几何意义可得点的轨迹为如下所示的正方形，
其中，则，
则，
所以的最大值为．
故选：．
9.【答案】
解：对于，因为，
所以数据，，，，的第百分位数是第个数与第个数的平均数，
即，故A正确；
对于，若随机变量服从正态分布，，
则，，故B错误；
对于，用表示中奖票数，则，
即，
所以，
又为整数，所以至少为，故C正确；
对于，数据，，，的平均数为，方差为，
现加入和两个数，则这个数的平均数为，
原个数的方差为，所以，
所以这个数的方差，故D正确．
故选：．
10.【答案】
解：选项，因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，
所以，得，故A正确；
选项，展开式中奇数项的二项式系数和为，故B错误；
选项，展开式的通项公式为，
令，解得，故展开式中含项的系数为，故C正确
选项，当展开式中各项系数之和为，令，得得，
故给定的二项式为，展开式的系数与对应的二项式系数相等，
所以第项的系数最大，故D正确．
故选：．
11.【答案】
解：如图，当时，截面为正六边形，且棱长为，故截面面积为，A错误
由对称性可知，当时，平面分两部分体积相等，B正确
如图，当从变化到时，截面从四边形变化至五边形其中为靠近点的三等分点，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至，再逐渐增大，故C正确．
取最大值时对应为，或时情形计算可知时，，
时，，的最大值为，故D正确．
故选BCD．
12.【答案】
解：由，得，
设切点坐标为，则，整理得，
因为曲线有两条过坐标原点的切线，
所以方程有两个不同的解，故，解得或，
则的取值范围为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜，
乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为，
乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为，
乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为，
所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：设、，
又因为，
所以设，
则的直线方程为：，
令，得，所以可得，
设的中点为，则，
易知，又，
所以，所以可得，
，，
则，即得，
又点在双曲线上，所以可得，即，
结合，
可得，
即，
整理得：，
即可得：，又，解得：，
故．
故答案为：．
15.【答案】解：根据题意得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，因为 ，所以，所以 ，
又 ，所以 ．
由余弦定理 得 ，即 ，
又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
由正弦定理 可得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 为钝角，所以 ，可得 ，
则 ， ，即 ，
故 的取值范围是 ．
16.【答案】解：由，可得，解得，
又因为，所以，
因为点在椭圆上，所以，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为．
当直线不与轴重合时，设，，直线的方程为，
由整理得，
则，，
故
，
圆心到直线的距离为，则，
所以
，
当时，为定值．
当与轴重合时，，所以，
所以当时，为常数．
17.【答案】解：证明：方法一：当时，
要证，
即证，
设，
则，
在上单调递增，
，即，
设，则，
在上单调递增，
，即，
故证得；
方法二：当时，要证，
即证，
如图所示，在单位圆中，设锐角，
则，劣弧，
的面积，
扇形的面积，
的面积，
，
故证得；
变形得，
得恒成立，
令，
则
，
当时，，
由知，
所以，得，
当时，
，
得，
在上单调递减，
，
，即的取值范围为．
18.【答案】解：因为为直三棱柱，
所以，平面，平面，
所以平面．
平面，平面平面，
所以
如图，因为，，
所以，，从而，
又因为，所以，可得；
据题意，可以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立图示的空间直角坐标系，
从而，，，，
则平面法向量，
设平面法向量，
，，
则，即
从而取，
所以，，
显然，，与平面与平面的夹角相等，均为锐角，也是锐角，
则，，
得，
变形得，
，
，
，
令，则，
上式
，
解得或舍，
所以．

19.【答案】解：因为，所以要证是阶友好数列，
只需证不等式对每一个大于的正整数都成立，
只需证对每一个大于的正整数都成立，
只需证，即对每一个大于的正整数都成立，
这是显然成立的，
所以是阶友好数列，
又，，，所以，所以不是阶友好数列；
因为是阶友好数列，所以对每一个大于的正整数都成立，
即对每一个大于的正整数都成立．
令．
由上述过程，知，
所以，
所以．
要证，
只需证，
只需证，
即证．
当为奇数时，即证，由，
得，，，，
此时式显然成立．
当为偶数时，即证，
由，得，，，，
此时式也显然成立，所以．

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