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湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷
1．（2024高一下·宁乡市期末）设，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则的虚部为.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念判断即可.
2．（2024高一下·宁乡市期末）直线 ， 互相平行的一个充分条件是（　　）
A． ， 都平行于同一个平面
B． ， 与同一个平面所成的角相等
C． 平行于 所在的平面
D． ， 都垂直于同一个平面
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由题意选项可以推出直线 ， 互相平行即可，
A中 与 不仅可以平行还可能相交或异面直线；
B中 与 不仅可以平行还可能相交或异面直线；
C中 与 不仅可以平行还可能异面直线；
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法，从而找出直线 ， 互相平行的一个充分条件。
3．（2024高一下·宁乡市期末）掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：易知掷两枚质地均匀的骰子，共有36种结果，
事件A掷出的两个骰子点数之和是5有：，共有4种结果，
根据古典概型概率公式得，.
故答案为：D.
【分析】利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
4．（2024高一下·宁乡市期末）某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分数据如下：若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比 ，一定不变的是中位数.
故答案为：B．
【分析】根据均数、中位数、方差和极差的定义判断即可．
5．（2024高一下·宁乡市期末）已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是（　　）
A．把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的平均数
B．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个
C．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个
D．把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 样本的27个数据从小到大排列，，则第个数据为中位数，且第21个数据为；小于或等于的数据可能有个，也可能多于个.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据百分位数的概念可以判断出第个数据是，小于或等于的数据可能有个，也可能多于个判断即可.
6．（2024高一下·宁乡市期末）在半径为r的中，弦的长为2，则（　　）
A．4 B．2 C．1 D．与r有关
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
取线段AB的中点D，则，即，
则.
故答案为：B.
【分析】取线段AB的中点D，易知，再利用向量数量积的运算法则求解即可.
7．（2024高一下·宁乡市期末）如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该长方体的长、宽、高分别为，，，
易知长方体的体积为，
三棱锥的体积为，
则剩下几何体的体积，
故棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.
故答案为：C.
【分析】设该长方体的长、宽、高分别为，，，利用棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，作比求解即可.
8．（2024高一下·宁乡市期末）长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为 ， ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】依题意，体对角线l满足则 ，
设l与上下底面成角 ，则 ， ；
设l与左右侧面成角 ，则 ， ；
设l与前后面成角 ，则 ， .
所以 ， .
故答案为：A.
【分析】根据长方体的特征逐项进行分析，即可得出答案。
9．（2024高一下·宁乡市期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．若复数为纯虚数，则
B．复数在复平面内对应的点在第二象限
C．若i为虚数单位，n为正整数，则
D．若，则的最大值是2
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：A、若复数为纯虚数，则，，故A正确为真命题；
B、复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B为假命题；
C、若为虚数单位，为正整数，则，故C为假命题；
D、若，则，为复平面内单位圆上的两动点，即的最大值是2，故D为真命题．
故答案为：AD．
【分析】利用复数的基本概念即可判断A；利用复数的代数表示法及其几何意义即可判断BD；利用虚数单位的运算性质即可判断C．
10．（2024高一下·宁乡市期末）已知，则正确的选项是（　　）
A．和都是单位向量 B．若，则
C．若，则 D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，
则，，即和都是单位向量，故A正确；
B、若，则，即，，故B正确；
C、若，则，即，，
即，，故C错误；
D、易知，则，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据平方关系求出，即可判断A；根据共线向量即可判断B；根据向量数量积的坐标表示及两角差的余弦公式即可判断C；根据数量积的运算律和向量垂直的性质即可判断D．
11．（2024高一下·宁乡市期末）已知分别为三个内角的对边，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、，由正弦定理可得，
由余弦定理，可得，解得，故A正确；
B、由A可知：，，则，故B正确；
C、，由正弦定理可得：，故C正确；
D、由，，，可得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由正弦定理结合余弦定理求解即可判断A；用正弦定理即可判断BC；利用三角形的面积公式计算即可判断D.
12．（2024高一下·宁乡市期末）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是　 　．
【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知将边长为1的正方形绕其一边所在直线旋转一周，所得几何体为圆柱，
圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的体积为.
故答案为：.
【分析】易知正方体旋转轴旋转一周形成底面半径为，高为的圆柱，根据圆柱的体积公式求解即可.
13．（2024高一下·宁乡市期末）一个古典概型的样本空间 和事件 和 ，其中 ， ， ， ，则 　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件交事件的个数求解公式，即，从而求出交事件的个数，再利用古典概型求概率公式，从而求出的值。
14．（2024高一下·宁乡市期末）已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为　 　.
【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设某射击运动员前10次射击命中环数分别为，
易知，方差，
即，
增加两次射击后，这12次射击的命中环数的平均数为：，
12次射击的命中环数的方差为：
.
故答案为：.
【分析】设前10次射击的命中环数分别为，由题意先算出12次射击的命中环数的平均数，再根据方差的计算公式求解即可.
15．（2024高一下·宁乡市期末）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
【答案】解：（1）设事件A=“甲猜对”，事件B=“乙猜对”，
P（A），P（B），
则任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P（.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设事件A=“甲猜对”，事件B=“乙猜对”，求出，，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：，据此求解即可；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，据此求解即可.
16．（2024高一下·宁乡市期末）已知分别为三个内角的对边，且满足.
（1）求A；
（2）若，求a.
【答案】（1）解：，由正弦定理得，即，
在中，因为，所以，则，
又因为，所以；
（2）解：因为，所以，即，解得，
则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简求得，从而可得角A；
（2）利用三角形面积公式求得，再利用余弦定理求值即可.
（1）（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，则，得，
而，可.
（2）因为，
所以，即，解得，
所以.
则.
17．（2024高一下·宁乡市期末）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
（2）估计该公司员工的值的众数，中位数；
（3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数．
【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得，解得，
则公司员工为肥胖的百分比为；
（2）解：由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
所以中位数在，设为，则；
（3）解：设样本平均数为，
易知，
根据，可得，解得．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各矩形面积之和为1计算的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比即可；
（2）利用频率分布直方图估计众数，中位数即可；
（3）先计算整体的平均数，再由分层抽样平均数的公式求解即可．
（1）由题，，解得：，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为；
（2）由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
故中位数在，设为，则；
（3）设样本平均数为，
则由频率分布直方图可得；
，
又，
即，解得：．
18．（2024高一下·宁乡市期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与底面所成角的正切值；
（3）设平面平面，求二面角的大小．
【答案】（1）证明： 在四棱锥中， 因为侧面是正三角形，是的中点，所以，
又因为底面为正方形，所以，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，、平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，，如图所示：
因为侧面是正三角形，所以，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，
则即为与底面所成角，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
则与底面所成角的正切值为；
（3）解：因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面平面，平面，所以，
由（1）知平面，则平面，
因为平面，所以，
同理可得，
则即为二面角的平面角，
因为侧面是正三角形，所以，
故二面角的大小为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由面面垂直的性质定理可得平面，从而知，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取的中点，连接，，利用面面垂直的性质定理可证平面，从而知即为所求，再利用锐角三角函数的知识求解即可；
（3）先证平面，由线面平行的性质定理知，再证平面，从而知，同理可证，于是即为所求．
（1）证明：因为侧面是正三角形，是的中点，
所以，
因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，、平面，
所以平面．
（2）解：取的中点，连接，，
因为侧面是正三角形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
所以即为与底面所成角，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
所以与底面所成角的正切值为．
（3）解：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以，
由（1）知平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可得，
所以即为二面角的平面角，
又侧面是正三角形，所以，
故二面角的大小为．
19．（2024高一下·宁乡市期末）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
（1）求：；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段上运动，设，求的最大值.
【答案】（1）解：易知是单位向量，且夹角为，
则，
因为，所以，
则；
（2）解：由，可得，，
易知，则四边形是平行四边形，，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为，
则，
所以，；
（3）解：由（2）可知：，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量新定义，结合向量数量积的运算法则求解即可；
（2）先利用向量加法的平行四边形法则得到四边形是平行四边形，进而得到，，利用向量的线性运算求解即可；
（3）设，利用向量的线性运算得到关于的表达式，利用二次函数的性质求解即可.
（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则.
（2）因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
（3）由（2）知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
1 / 1湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试卷
1．（2024高一下·宁乡市期末）设，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·宁乡市期末）直线 ， 互相平行的一个充分条件是（　　）
A． ， 都平行于同一个平面
B． ， 与同一个平面所成的角相等
C． 平行于 所在的平面
D． ， 都垂直于同一个平面
3．（2024高一下·宁乡市期末）掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·宁乡市期末）某校举行演讲比赛，10位评委对某选手评分数据如下：若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差
5．（2024高一下·宁乡市期末）已知一个样本有27个数据，该组数据的第75百分位数是164，则下列叙述正确的是（　　）
A．把这27个数据从小到大排列后，164是第20个数据和第21个数据的平均数
B．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有20个
C．把这27个数据从小到大排列后，小于或等于164数据共有21个
D．把这27个数据从小到大排列后，164是第21个数据
6．（2024高一下·宁乡市期末）在半径为r的中，弦的长为2，则（　　）
A．4 B．2 C．1 D．与r有关
7．（2024高一下·宁乡市期末）如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·宁乡市期末）长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为 ， ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024高一下·宁乡市期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．若复数为纯虚数，则
B．复数在复平面内对应的点在第二象限
C．若i为虚数单位，n为正整数，则
D．若，则的最大值是2
10．（2024高一下·宁乡市期末）已知，则正确的选项是（　　）
A．和都是单位向量 B．若，则
C．若，则 D．
11．（2024高一下·宁乡市期末）已知分别为三个内角的对边，且，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024高一下·宁乡市期末）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是　 　．
13．（2024高一下·宁乡市期末）一个古典概型的样本空间 和事件 和 ，其中 ， ， ， ，则 　 　．
14．（2024高一下·宁乡市期末）已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为　 　.
15．（2024高一下·宁乡市期末）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
16．（2024高一下·宁乡市期末）已知分别为三个内角的对边，且满足.
（1）求A；
（2）若，求a.
17．（2024高一下·宁乡市期末）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
（2）估计该公司员工的值的众数，中位数；
（3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数．
18．（2024高一下·宁乡市期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与底面所成角的正切值；
（3）设平面平面，求二面角的大小．
19．（2024高一下·宁乡市期末）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
（1）求：；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段上运动，设，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则的虚部为.
故答案为：C.
【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念判断即可.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由题意选项可以推出直线 ， 互相平行即可，
A中 与 不仅可以平行还可能相交或异面直线；
B中 与 不仅可以平行还可能相交或异面直线；
C中 与 不仅可以平行还可能异面直线；
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法，从而找出直线 ， 互相平行的一个充分条件。
3．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：易知掷两枚质地均匀的骰子，共有36种结果，
事件A掷出的两个骰子点数之和是5有：，共有4种结果，
根据古典概型概率公式得，.
故答案为：D.
【分析】利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比 ，一定不变的是中位数.
故答案为：B．
【分析】根据均数、中位数、方差和极差的定义判断即可．
5．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 样本的27个数据从小到大排列，，则第个数据为中位数，且第21个数据为；小于或等于的数据可能有个，也可能多于个.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据百分位数的概念可以判断出第个数据是，小于或等于的数据可能有个，也可能多于个判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
取线段AB的中点D，则，即，
则.
故答案为：B.
【分析】取线段AB的中点D，易知，再利用向量数量积的运算法则求解即可.
7．【答案】C
【知识点】柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该长方体的长、宽、高分别为，，，
易知长方体的体积为，
三棱锥的体积为，
则剩下几何体的体积，
故棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.
故答案为：C.
【分析】设该长方体的长、宽、高分别为，，，利用棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，作比求解即可.
8．【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】依题意，体对角线l满足则 ，
设l与上下底面成角 ，则 ， ；
设l与左右侧面成角 ，则 ， ；
设l与前后面成角 ，则 ， .
所以 ， .
故答案为：A.
【分析】根据长方体的特征逐项进行分析，即可得出答案。
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：A、若复数为纯虚数，则，，故A正确为真命题；
B、复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B为假命题；
C、若为虚数单位，为正整数，则，故C为假命题；
D、若，则，为复平面内单位圆上的两动点，即的最大值是2，故D为真命题．
故答案为：AD．
【分析】利用复数的基本概念即可判断A；利用复数的代数表示法及其几何意义即可判断BD；利用虚数单位的运算性质即可判断C．
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，
则，，即和都是单位向量，故A正确；
B、若，则，即，，故B正确；
C、若，则，即，，
即，，故C错误；
D、易知，则，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据平方关系求出，即可判断A；根据共线向量即可判断B；根据向量数量积的坐标表示及两角差的余弦公式即可判断C；根据数量积的运算律和向量垂直的性质即可判断D．
11．【答案】A,B,C
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、，由正弦定理可得，
由余弦定理，可得，解得，故A正确；
B、由A可知：，，则，故B正确；
C、，由正弦定理可得：，故C正确；
D、由，，，可得，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由正弦定理结合余弦定理求解即可判断A；用正弦定理即可判断BC；利用三角形的面积公式计算即可判断D.
12．【答案】
【知识点】柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知将边长为1的正方形绕其一边所在直线旋转一周，所得几何体为圆柱，
圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的体积为.
故答案为：.
【分析】易知正方体旋转轴旋转一周形成底面半径为，高为的圆柱，根据圆柱的体积公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件交事件的个数求解公式，即，从而求出交事件的个数，再利用古典概型求概率公式，从而求出的值。
14．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设某射击运动员前10次射击命中环数分别为，
易知，方差，
即，
增加两次射击后，这12次射击的命中环数的平均数为：，
12次射击的命中环数的方差为：
.
故答案为：.
【分析】设前10次射击的命中环数分别为，由题意先算出12次射击的命中环数的平均数，再根据方差的计算公式求解即可.
15．【答案】解：（1）设事件A=“甲猜对”，事件B=“乙猜对”，
P（A），P（B），
则任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P（.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设事件A=“甲猜对”，事件B=“乙猜对”，求出，，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：，据此求解即可；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，据此求解即可.
16．【答案】（1）解：，由正弦定理得，即，
在中，因为，所以，则，
又因为，所以；
（2）解：因为，所以，即，解得，
则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简求得，从而可得角A；
（2）利用三角形面积公式求得，再利用余弦定理求值即可.
（1）（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，则，得，
而，可.
（2）因为，
所以，即，解得，
所以.
则.
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1，可得，解得，
则公司员工为肥胖的百分比为；
（2）解：由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
所以中位数在，设为，则；
（3）解：设样本平均数为，
易知，
根据，可得，解得．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各矩形面积之和为1计算的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比即可；
（2）利用频率分布直方图估计众数，中位数即可；
（3）先计算整体的平均数，再由分层抽样平均数的公式求解即可．
（1）由题，，解得：，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为；
（2）由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
故中位数在，设为，则；
（3）设样本平均数为，
则由频率分布直方图可得；
，
又，
即，解得：．
18．【答案】（1）证明： 在四棱锥中， 因为侧面是正三角形，是的中点，所以，
又因为底面为正方形，所以，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，、平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，，如图所示：
因为侧面是正三角形，所以，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，
则即为与底面所成角，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
则与底面所成角的正切值为；
（3）解：因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面平面，平面，所以，
由（1）知平面，则平面，
因为平面，所以，
同理可得，
则即为二面角的平面角，
因为侧面是正三角形，所以，
故二面角的大小为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由面面垂直的性质定理可得平面，从而知，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取的中点，连接，，利用面面垂直的性质定理可证平面，从而知即为所求，再利用锐角三角函数的知识求解即可；
（3）先证平面，由线面平行的性质定理知，再证平面，从而知，同理可证，于是即为所求．
（1）证明：因为侧面是正三角形，是的中点，
所以，
因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，、平面，
所以平面．
（2）解：取的中点，连接，，
因为侧面是正三角形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
所以即为与底面所成角，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
所以与底面所成角的正切值为．
（3）解：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以，
由（1）知平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可得，
所以即为二面角的平面角，
又侧面是正三角形，所以，
故二面角的大小为．
19．【答案】（1）解：易知是单位向量，且夹角为，
则，
因为，所以，
则；
（2）解：由，可得，，
易知，则四边形是平行四边形，，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为，
则，
所以，；
（3）解：由（2）可知：，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量新定义，结合向量数量积的运算法则求解即可；
（2）先利用向量加法的平行四边形法则得到四边形是平行四边形，进而得到，，利用向量的线性运算求解即可；
（3）设，利用向量的线性运算得到关于的表达式，利用二次函数的性质求解即可.
（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则.
（2）因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
（3）由（2）知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
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