资源简介

2024-2025 学年湖南省长沙市铁路一中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 1 = 6 5 ， 2 = 3 + 2 ，其中 为虚数单位，则 1 + 2 =( )
A. 9 3 B. 9 + 3 C. 9 7 D. 9 + 7
2.已知向量 = (1,2)， = ( , 4)，若 = 2 ，则 =( )
A. 5 B. 2 C. 3 D. 4
3.如图是由哪个平面图形旋转得到的( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径是 1，高是 2，则这个圆锥的体积为( )
A. 2 3 B. C.
4
3 D. 2
5.半径为 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( )
A. 2 2 3 B. 4 3 3 3 8 33 C. 9 D. 9 3
6.已知 tan( + ) = 3，tan( ) = 2，则 2 =( )
A. 65 B. 7 C.
1
7 D.
7
24
7 .把函数 = 2 图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把所得图像向右平移4个单位
长度，得到 ( )的图像，则 ( ) =( )
A. sin( 4 ) B. sin( +

4 ) C. 4 D. 4
8.在△ 中，点 是 上一点，且 为靠近 点的三等分点， 是 中点，
与 交点为 ，又 = ，则 =( )
A. 1 B. 22 3
C. 34 D.
1
2
第 1页，共 7页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是( )
A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是四面体 D.④是棱柱
10.已知复数 = 5 4 ，以下说法正确的是( )
A. 的实部是 5 B. | | = 41

C. = 5 + 4 D. 在复平面内对应的点在第一象限
11.函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < ) 的部分图象如图，若 ( )的相邻两个零点间的距离为2，则( )
A. = 2
B. = 6
C. ( ) 的零点形成的集合为{ | = 12 ( ∈ )
D. ( ) [ + , + 2 的单调递减区间为 6 3 ]( ∈ )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1 . 为虚数单位，计算2 =______．
13.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 30°， = 1， = 2，则 = ______．
1 2

2 sin

14.若 ( ) = + 2
1
2 4
( )
2 cos
，则 8 的值是______．2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,3)， = ( 2,1)．
第 2页，共 7页
(1)求向量 与 夹角的余弦值；
(2)若向量 + 与 互相垂直，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的
轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面) 是边长为 6 的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
17.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 2 (2 6 )．
(1)求函数 ( )的最小正周期和对称轴方程；
(2) 求函数在 ∈ [0, 2 ]上的最大值与最小值及相对应的 的值．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 3 = 3 ．
(1)求 ；
(2)若 = 2，△ 周长为 6，求△ 的面积；
(3)若△ + 为锐角三角形，求 的范围．
19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，对于函数 ( ) = + ，称向量 = ( , )为函数 ( )的相伴特征向量，同时
称函数 ( )为向量 的相伴函数．
(1)设 ( ) = cos( + 4 ) + 3 (

4 )( ∈ )，试求函数 ( )的相伴特征向量
，并求出与 方向相反的
单位向量；
(2)记向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( )，若 ( ) = 45且 ∈ (

3 , 6 )，求 的值；
第 3页，共 7页
(3)已知 ( 2,3)， (2,6)， = ( 3, 1)为函数 ( ) = ( 6 )( ∈ )的相伴特征向量， ( ) =
( 2 3 )，请问在 = ( )的图象上是否存在一点 ，使得
⊥ ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，
说明理由．
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 15 5
13.90°
14. 1
15.解：(1) = (1,3)， = ( 2,1)，
∴ = 2+ 3 = 1，
| | = 12 + 32 = 10，| | = ( 2)2 + 12 = 5，
设向量 与 的夹角为 ，
=
1 2
则
| ||
=
| 10 5
= 10；
(2)若向量 + 与 互相垂直，
= 2 + 3 = 1，| | = 12 + 32 = 10， = ( 2)2 + 12 = 5，
则( +
2
) ( ) = 2 + (1 ) = 10 5 + 1 = 0，
11
所以 = 6．
16.解：由题意可知半球的半径 = 3，圆柱的底面圆半径 = 3，高 = 6，
(1) 1由球的表面积公式可得半球的曲面面积 1 = 2 × 4
2 = 18 ，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积 2 = 2 = 9 ，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积 3 = 2 = 36 ，
第 5页，共 7页
故该几何体的表面积 = 1 + 2 + 3 = 18 + 9 + 36 = 63 ．
(2) 1 4由球的体积公式可得半球的体积 31 = 2 × 3 = 18 ，
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积 2 = = 2 = 54 ，
故该几何体的体积 = 1 + 2 = 18 + 54 = 72 ．
17.解：(1)函数 ( ) = 2 (2 6 )
2
的最小正周期为 = 2 = ，

由 2 6 = +

2， ∈ =
+ ，可得 2 3， ∈ ，

所以函数 ( )的图象对称轴方程为 = 2 + 3， ∈ ．
(2)由(1) 5 知，在 ∈ [0, 2 ]上，2 6 ∈ [ 6 , 6 ]，

故当 2 6 = 2，即 = 3时， ( )取得最大值为 2，

当 2 6 =

6，即 = 0 时， ( )取得最小值为 1，

故 ( )的最大值是 2，此时 = 3， ( )的最小值是 1，此时 = 0．
18.解：(1) △ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，3 = 3 ．
可得： 33 = 0，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，则 33 = 0，
则 = 3 ，又 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，得 4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
由△ 周长为 6，得 + = 4，解得 = 4，
△ 1所以 的面积2 × =
1
2 × 4

3 = 3；
(3) △ = 在锐角 中，由 3，得6 < < 2 12 < 2 < 4，则 tan

12 < tan

2 < tan

4 = 1，
tan tan
tan 12 = tan( 3 4 ) =
3 4 3 1
1+tan tan = 1+ 3 = 2 3，则 2 3 < tan 2 < 1，3 4
1 sin
+ 3+sin( + )
故 1 < < 2 + 3 + + ，由正弦定理得 = = 3 = 2 3
tan 2
3+ 3 + 1 3(1+ ) 31 (1+ 2 2

2 2 2 2 2 2 1) 1= = + 2 = +2 cos 22 2
3
2 cos
3
= 2 + 1 = 2 1 3 1
sin 2
+ ∈ ( + , 3 + 2)，
2 tan
2 2 2
2
第 6页，共 7页
+
所以 的范围是(
3
2 +
1
2 , 3 + 2)．
19.解：(1)因为 ( ) = cos( + 4 ) + 3 (

4 ) = 2 2 + 2 ，
故函数 ( )的相伴特征向量 = ( 2, 2 2)，
5 2 5
则与 反向的单位向量为( 5 , 5 )；
(2) 由题意知，向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( ) = + 3 = 2 ( + 3 )，
由题意 ( ) = 2 ( + 3 ) =
4
5，且 +

3 ∈ (0,

2 )，
sin( + ) = 2 21则 3 5，cos( + 3 ) = 5 ，
故 = sin[( + 3 ) 3 ] = sin( + 3 )cos 3 cos( +

3 )sin 3
= 2 × 1 21 3 2 3 75 2 5 × 2 = 10 ；
(3)因为 ( ) = ( 6 ) =
3
2
1
2 ，
其相伴特征向量 = ( 3, 1)，
3
故 2
= 3
1 ，解得 = 2，则 ( ) = 2 (

= 1 6
)，
2

则 ( ) = ( 2 3 ) = 2 [(

2 3 ) 6 ] = 2 (
2 2 ) = 2

2，

设点 ( , 2 2 )，又 ( 2,3)， (2,6)，
所以 = ( + 2,2 2 3)， = ( 2,2
6)，若 ⊥ 2 ，
= ( + 2)( 2) + (2 则 2 3)(2

2 6)
= 2 4 + 4 2 2 18

2 + 18 = 0，
(2 9 2 25即 22 2 ) = 4 ，
因为 2 ≤ 2 2 ≤ 2
13 9 5
，所以 2 ≤ 2 2 2 ≤ 2，
25 9 2 169 25 2 25故 4 ≤ (2 2 2 ) ≤ 4 ，又 4 ≤ 4，
9
故当且仅当 = 0 时，(2 )2 = 25 2 252 2 4 = 4成立，
故在 = ( )的图象上存在一点 (0,2)，使得 ⊥ ．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑