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二次函数压轴题专项突破练习-2025年中考数学二轮专题
1．如图所示，在平面直角坐标系中，为原点，抛物线交轴于两点，交轴于点，若．
(1)______；
(2)如图点为第一象限的抛物线上一点，且在对称轴的右侧，抛物线的对称轴交轴于点，连接与抛物线的对称轴交于，点的横标为，的长为，求与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
(3)如图，在（）的条件下，作．连接，若，，求点的坐标．
2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点，其中a、b分别是一元二次方程的两个根（）．连接，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形，设矩形的面积为S，求S的最大值，并求S取得最大值时点P的坐标；
(3)如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，请求出点Q纵坐标n的取值范围．
4．如图，平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，点B在y轴上，四边形为菱形，．抛物线经过点，，且点C为此抛物线的顶点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在边上以每秒2个单位长度的速度由B向C运动，同时动点Q在线段上以每秒3个单位长度的速度由D向A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，求t的值；
(3)抛物线上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求点M的坐标；不存在，说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与直线交于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接，是否存在点使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
6．定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．
(1)抛物线的对称轴为直线且其伴随直线为，求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线的伴随直线是．
①试用含a的代数式表示b和c；
②抛物线经过定点Q，且与x轴交于点D和点E，若为直角三角形，求m的值；
(3)顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，当时，y轴上存在点P，使得取得最大值，求此时点P的坐标．
7．太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．
(1)已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______；
(2)如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______；
(3)如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标；
(4)如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标．
8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为动点，且，过点作于点，交抛物线于点，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若，求的值；
(3)平移抛物线，使其顶点为点，设平移后的抛物线在轴上方的部分记为图象，且图象始终在原抛物线的下方，求的取值范围．
9．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
(3)若是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在轴上，求点的坐标．
10．【问题背景】
抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：______，______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标．
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由．
《二次函数压轴题专项突破练习-2025年中考数学二轮专题》参考答案
1．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）将点的坐标代入得：，即可求解；
（）作于，则，故有，根据性质得， 即可求解；
（）证明，，得 到，，作轴于，则有矩形， 设，，，，则，得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴将点代入得：，
解得：；
（2）解：令，则，
∴或，
∴，，
∵在抛物线对称轴上，
∴，
∴，
∵点横坐标为，
作于， 则， ，，
∴，
∴，
∴，
∴
即；
（3）解：连接交于点，延长，交于点，如图，
由对称性可知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴由四边形内角和得：，
∵，
∴，
在上截取，连接，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
延长至点，使得，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作轴于，
∵轴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
设，
由勾股定理知：，，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
解得：，
∴点．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键．
2．(1)
(2)，
(3)存在，，或
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意得：，，从而得到，即可求解；
（3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解．
【详解】（1）解：直线，当时，．
当时，．
，，
将，代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：根据题意得：，，
∴，
，
开口向下，有最大值．
当时，l取最大值．
此时；
（3）解：分两种情况讨论：
①若点P在x轴上方时，如图1，

根据题意得：，，
∴，
，
，
解得：，，
②若点P在x轴下方，如图2，

，
解得：，（舍）
的值为或或．
3．(1)
(2)S取得最大值为6，此时
(3)点Q纵坐标n的取值范围为：或
【分析】（1）先求解，，可得，，再利用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）先求解直线的解析式为，设，则，而，可得，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）求解抛物线对称轴为直线，设Q点坐标为，①如图2：当为直角时，设交x轴于点H，②如图3：当为直角时，③当为直角时，再分别求解三种情况下的的坐标，进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，，
∵a、b分别是一元二次方程的两个根，且，
∴，，
∴，，
依题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1：设直线的解析式为，
把、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则
∵，则，
∴，
∴当时，S取得最大值为6，此时；
（3）解：由可得其对称轴为直线，
设Q点坐标为，
①如图2：当为直角时，设交x轴于点H，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴可设直线的解析式为，
把代入，得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
②如图3：当为直角时，
过点Q作直线轴交y轴于点N，过点A作直线轴交于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
③当为直角时，
此时：，
∴可设直线的解析式为，
把代入，得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
综上所述，以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，点Q纵坐标n的取值范围为：或．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，清晰的分类讨论是解本题的关键．
4．(1)
(2)
(3)存在，M为或
【分析】（1）过点C作于点E，由菱形的性质可得，则可证明为等边三角形，则，解直角三角形求出的长，进而可得点C的坐标，再把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可；
（2）证明四边形为平行四边形，得到，即，解方程即可得到答案；
（3）分，三种情况画出示意图，讨论求解即可．
【详解】（1）四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，
过点C作于点E，则
，
在中，，，
，
则C为，
设抛物线的解析式为，则，
解得，
；
（2）解：四边形为菱形，
，，
，
，
∴
四边形为平行四边形，
∴，即，
解得．
（3）解：当时，如图所示，过点C作于点E，设直线交y轴于H，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立解得或，
∴此时点M的坐标为；
同理可得当时，设直线与y轴交于K，过点C作轴于J，
∵轴，，即轴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或
此时点M的坐标为，
当时，点M不在抛物线上，故舍去，
综上知M为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
5．(1)抛物线的函数表达式为；
(2)点的横坐标为或．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数和一次函数性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）先求出，然后利用待定系数法即可求解；
（）过作轴于点，交于点，然后求出，故，设，则，则有，分别求出，，再由，得出，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∵抛物线图象过，，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，过作轴于点，交于点，
由得，当时，
∴，
解得：，，
∴，
∴，
设，则，
∵点是直线上方抛物线上的一个动点，
∴，
∴，，
∵，
∴，整理得：，
解得：，，符合题意，
∴点的横坐标为或．
6．(1)
(2)①，；②
(3)
【分析】（1）把伴随直线解析式变形为，再根据定义即可得到答案；
（2）①根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，，，则，；根据②所求，可得定点，进而可证明Q为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得点E坐标为或，据此利用待定系数法求解即可；
（3）根据题意写出线的伴随函数，联立求出交点，在求出抛物线与x轴的交点，用勾股定理列出关于的方程，求出，先证明当取得最大值，的外接圆与轴相切，根据题意画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且伴随直线．
∴抛物线．
（2）解：①依题意得原抛物线解析式为，
∴，，，
∴，．
②由①得抛物线解析式为，
∴时的函数值与m值无关，此时，
∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线．
∵点E、D为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点，
∴，
∵点E、D与定点Q构成直角三角形，
∴，即为等腰直角三角形．
∵为抛物线顶点，对称轴为直线，
∴点Q到的距离为3，
∴，
∴点E到对称轴的距离为3，
∴点E坐标为或，
选择其中一点代入，可解得．
（3）∵抛物线的解析式为：，
∴其伴随直线为即，顶点坐标为，
∵抛物线顶点在第一象限，
∴，
联立抛物线与伴随直线的解析式为：，
解得：，，
∴，，
，令，
即，
解得：或，
∴，
∴，，，
∵，
∴
即，
解得：或（舍去），
∴当时，．
设的外接圆为，当与轴相切时，
在轴上任意取一点，连接交于一点，则，
∵，
∴当取得最大值，的外接圆与轴相切，
当时，则，，如图所示，此时，
设过，，的直线解析式为，
∴，
解得：，
∴，
设经过的外心的直线解析式为，
∵，，
∴中点坐标为，
∴，
解得：，
∴直线为：，
∵轴，则，
∴设，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，切线的性质，圆周角定理，三角形的外心的性质，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练进行计算是解题的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）利用待定系数法即可解答；
（3）过点作轴交于点，利用等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线即可解答；
（4）设，利用等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线即可解答．
【详解】（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：,
为等腰直角三角形，
设，
,
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
8．(1)，顶点坐标为；
(2)
(3)
【分析】（1）把，代入得，解出a，b的值，可得抛物线的表达式为，即可得顶点坐标为；
（2）求出，直线解析式，即可得，，根据，得，即可解得m的值为；
（3）由知，平移后的抛物线解析式为，把代入，可得或（舍去）；把代入，可得或（舍去），画出图形可得，当时，图象始终在原抛物线的下方．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：在中，
令，得，
∴，
设直线解析式为，
代入，
得，
解得，
∴，
∵点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴m的值为；
（3）解：如图：由（2）知，，
∴平移后的抛物线解析式为，
把代入，
得，
解得或（舍去）；
把代入，
得，
解得或（舍去），
由图可知，当时，
图象始终在原抛物线的下方．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，平移变换，二次函数图象上点坐标的特征，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
9．(1)
(2)当时，取得最大值，此时，
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，三角形的内切圆，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴交于点，证明，列出比例式，转化为二次函数求最值即可；
（3）根据三角形的内心为三个内角的角平分线的交点，得到轴为的角平分线，作点关于轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为点，求出直线的解析式，与抛物线的解析式进行联立，求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于、，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）抛物线与轴交于点，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，解得：，
直线的解析式为，
如图，过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，；
（3）的内切圆的圆心恰好落在轴上，则轴为的角平分线，
作点关于轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为点，
设直线的关系式为，
将点、代入得，
解得，
直线的解析式为，
联立抛物线与直线得，解得或，
点的坐标为．
10．（1）；3；
（2）
（3）能，点N的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法即可求出b、c的值，联立方程组，解方程组即可求出点E的坐标；
（2）过点P作轴，交于Q，设，则，，根据，得，解方程即可求解；
（3）过作轴于H，过C作轴于G，证明，得出，，则，根据待定系数法求出直线解析式，则，故线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，设且，则，然后分；；三种情况讨论，根据两点间距离公式构建关于x的方程求解即可．
【详解】解：（1）把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：，2，；
（2）过点P作轴，交于Q，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
当时，，此时点P在x轴上，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
∴；
（3）令，解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作轴于H，过C作轴于G，
∵点B沿的方向平移个单位长度，得到点，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式，
又直线解析式为，
∴，
∴线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，
∵平移，
∴
设且，则，
当时，，
解得（不符合题意，舍去）；
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，，
∴；
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，，
∴；
综上，N的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，平移的性质，二次函数的图象与系数的关系，求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，解一元二次方程，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
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