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期末小专题复习：实际问题与二元一次方程组-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
1．某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
2．从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别为多少元？
3．某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的两次运输记录，如下表：
A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨）
第一次 12 8 360
第二次 5 4 160
(1)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？
(2)请你通过计算说明现在运输190吨物资所有可行的运输方案．
4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，试求黄金、白银每枚各重多少两？
5．为了激励学习表现好的学生，班主任去奶茶店购买两种款式的奶茶作为奖品，下表是班主任两次去购买奶茶的情况：
购买数量 花费总额
A种款式 B种款式
第一次 2杯 5杯 80元
第二次 4杯 2杯 64元
（1）求两种款式奶茶的销售单价？
（2）在奶茶售价不变的情况下，班主任准备购买奶茶共15杯，共花费174元，则两种款式奶茶各购买了多少杯？
6．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为
物理常识：
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热景等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度=温水的体积温水升高的温度．
(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，王老师的水杯容量为______；
(2)嘉琪同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求嘉琪分别接温水和开水的时间．
7．四月春风和煦，气温适宜，正是放风筝的好时节．某景区提前购买了、两种型号风筝进行销售，已知2只型风筝和1只型风筝共需18元，3只型风筝和2只型风筝共需31元．
(1)求、两种型号风筝的进价各多少元？
(2)该景区将型风筝的售价定为每只12元，型风筝的售价定为每只20元．该景区第一天售出型风筝200只，型风筝150只，第二天该景区决定对型风筝打折，型风筝售价不变，结果第二天型风筝售出的数量比第一天少了型风筝售出的数量比第一天多了．若第二天的销售利润比第一天的销售利润少了640元，请问型风筝打了几折？
8．某纸品厂要制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒，该厂利用边角料裁出了制作甲、乙两种小盒所需的长方形和正方形纸片（如图丙），其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等． 现将150张正方形纸片和300张长方形纸片用来制作这种小盒（不计算连接部分），问可以制作甲、乙两种小盒各多少个？
9．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙造型的玩偶深受大众喜爱，某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出哪吒玩偶5个和敖丙玩偶3个的总销售额为95元，售出哪吒玩偶3个和敖丙玩偶5个的总销售额为105元．
(1)哪吒、敖丙造型的玩偶的售价各是多少元？
(2)刘老师决定用105元钱购买这两种造型玩偶（两种都要买）奖励半期考试表现优异的同学，那么一共有哪些购买方案？
10．2025年3月28日，缅甸发生级大地震，中国政府第一时间宣布启动紧急人道主义救援行动，向缅甸运送捐赠物资。在某次运送捐赠物资的过程中，已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货13吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都载满物资一次可分别运送多少吨
(2)若现有救灾物资20吨，计划同时租用型车辆，型车辆（，均不为0），一次运完，且恰好每辆车都载满物资，求型车，型车各有多少辆
11．每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下：
营养成分 食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆
能量
蛋白质
脂肪
碳水化合物
钠
钙
某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．
(1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？
(2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由．
12．水是生命之源，“节约用水，人人有责”，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是找市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息
阶梯 年用水量（吨/户） 水价（元/吨） 污水处理价格（元/吨）
第一阶梯 不超过250吨 2.20 1.00
第二阶梯 超过250吨不超过350吨 3.30 1.00
第三阶梯 超过350吨 6.60 1.00
①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：水费=自来水费用+污水处理费用；
②每月用水量会计入全年总量，决定当月每吨水的价格．
（例如：前几个月累计用水260吨，则当月水价均按3.3元/吨计算；若前几个月累计用水240吨，当月用水量20吨，则当月的水价中10吨按照2.2元/吨，另外10吨按照3.3元/吨计算）
(1)若小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，10月预计用水35吨，则小明家10月份预计应缴纳水费多少元？
(2)若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119元，设上半年用水量x吨，下半年用水量y吨，列方程组解应用题，求上半年用水量．
(3)若小红家2024年全年用水400吨，其中下半年比上半年少缴费76元，求上半年用水量．
13．某校组织学生去参加研学活动，并准备了甲、乙两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分表如下：
甲营养成分表（每） 乙营养成分表（每）
热量
蛋白质
(1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用甲、乙两种食品各多少包？
(2)若要使得每份午餐中的蛋白质含量正好是100克（两种食品均购买），并且热量最低，应如何选择这两种食品？
14．【问题情境】
如图所示，张奶奶准备在长的围墙边放花盆种花，现有两种型号的花盆，长分别是和，宽和高均相等．
【探究学习】
（1）已知购买2个型花盆，3个型花盆共需68元，购买3个型花盆比购买5个型花盆少花31元．则两种型号的花盆的单价是多少元？
（2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边，求正整数的值．
【灵活应用】
（3）在（1）和（2）的条件下，某商店提供了两种优惠方案：
方案一：购买6个型花盆，赠送一把铲子；
方案二：购买6个型花盆，总费用打九折．
张奶奶想要购买一些花盆（花盆正好摆满围墙墙边）和一把铲子（铲子的单价是15元），请你帮张奶奶选择一种更划算的购买方案，并说明理由．
《期末小专题复习：实际问题与二元一次方程组-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
1．(1)每辆小客车能坐20名，每辆大客车能坐45名学生．
(2)①见解析；②最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车，最少租金为元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（1）设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，根据“用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据“一次运送400名学生，且恰好每辆车都坐满”，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案；②利用总租金=每辆车的租金×租车辆数，可分别求出3种租车方案所需总租金，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，
依题意可得，，
解得，
答：每辆小客车能坐20名，每辆大客车能坐45名学生．
（2）解：①依题意可得，，
，
，为非负整数，
或或，
答：租车方案有三种：方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客车2辆，大客车8辆．
②方案一：（元）；
方案二：（元）；
方案三：（元）；
，
最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车，最少租金为元．
2．篮球和足球的单价分别为120元和80元
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；由题意可设篮球和足球的单价分别为元和元，然后可得方程组，进而求解即可．
【详解】解：设篮球和足球的单价分别为元和元，
根据题意得：，
解得：
答：篮球和足球的单价分别为120元和80元．
3．(1)A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
(2)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用．
（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可；
（2）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到，当时，；当时，；当时，．共三种运输方案．
【详解】（1）解：设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，
则根据题意，得，
解得，
答：A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；
（2）解：设A、B两种货车各需要m辆、n辆，
则，
∴，
①当时，；
②当时，；
③当时，．
∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．
4．每枚黄金重两，每枚白银重两。
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量等于11枚白银的重量；②（10枚白银的重量枚黄金的重量）（1枚白银的重量枚黄金的重量）等于13两，根据等量关系列出方程组求解即可．
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得，
解得，
答：每枚黄金重两，每枚白银重两。
5．（1）两种款式奶茶的销售单价分别为元、元；（2）两种款式奶茶各购买了杯、杯
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
（1）设两种款式奶茶的销售单价分别为元、元，根据题意得到，解方程组即可得到答案；
（2）设购买两种款式奶茶分别为杯、杯，根据题意得到，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）设两种款式奶茶的销售单价分别为元、元，
根据题意得，
解得：，
答：两种款式奶茶的销售单价分别为元、元；
（2）设购买两种款式奶茶分别为杯、杯，
根据题意得，
解得，
答：两种款式奶茶各购买了杯、杯．
6．(1)400
(2)，
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式表达式，正确掌握等量关系是解题的关键．
（1）根据题目给出的容量公式进行计算即可；
（2）设接温水的时间为，接开水的时间为，根据容量和温度列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：王老师的水杯容量为，
故答案为：400；
（2）解：设接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得，
解得
所以，嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为．
7．(1)种型号风筝的进价是5元，种型号风筝的进价是8元
(2)8折
【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的关键．
（1）设种型号风筝的进价是元，种型号风筝的进价是元，由等量关系列方程组求解即可得到答案；
（2）设型风筝打了折，由等量关系列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设种型号风筝的进价是元，种型号风筝的进价是元，则
，
解得，
答：种型号风筝的进价是5元，种型号风筝的进价是8元；
（2）解：设型风筝打了折，则
，
解得，
答：B型风筝打了8折．
8．可以恰好制作30个甲种盒子，60个乙种盒子．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设可以恰好制作x个甲种盒子，y个乙种盒子，根据正方形纸片及长方形纸片的张数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】设可以恰好制作x个甲种盒子，y个乙种盒子，
依题意，得：，
解得：．
答：可以恰好制作30个甲种盒子，60个乙种盒子．
9．(1)哪吒造型的玩偶的售价为10元，敖丙造型的玩偶的售价为15元；
(2)一共有三种方案：购买哪吒造型的玩偶3个，购买敖丙造型的玩偶5个或购买哪吒造型的玩偶6个，购买敖丙造型的玩偶3个或购买哪吒造型的玩偶9个，购买敖丙造型的玩偶1个．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键．
（1）设哪吒造型的玩偶的售价为x元，敖丙造型的玩偶的售价为y元，根据售出哪吒玩偶5个和敖丙玩偶3个的总销售额为95元，售出哪吒玩偶3个和敖丙玩偶5个的总销售额为105元建立方程组求解即可；
（2）设购买哪吒造型的玩偶m个，购买敖丙造型的玩偶n个，根据总费用为105元可得，求出方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：设哪吒造型的玩偶的售价为x元，敖丙造型的玩偶的售价为y元，
由题意得，，
解得．
答：哪吒造型的玩偶的售价为10元，敖丙造型的玩偶的售价为15元；
（2）解：设购买哪吒造型的玩偶m个，购买敖丙造型的玩偶n个，
由题意得，，
∴，
∵m、n都是正整数，
∴是正整数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
答：一共有三种方案：购买哪吒造型的玩偶3个，购买敖丙造型的玩偶5个或购买哪吒造型的玩偶6个，购买敖丙造型的玩偶3个或购买哪吒造型的玩偶9个，购买敖丙造型的玩偶1个．
10．(1)1辆型车一次可分别运送3吨，1辆型车一次可运送4吨
(2)型车有4辆，型车有2辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（1）设1辆型车载满货物一次可运送吨，1辆型车载满货物一次可运送吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据租用的两种车一次运完20吨货物且恰好每辆车都装满货物，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出答案．
【详解】（1）解：设1辆型车载满货物一次可运送吨，1辆型车载满货物一次可运送吨，
依题意得，，解得：，
答：1辆型车载满货物一次可运送3吨，1辆型车载满货物一次可运送4吨．
（2）解：依题意得，，
，
、均为正整数且不为0，
，
答：型车有4辆，型车有2辆．
11．(1)小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆
(2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则运算的实际应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键．
（1）设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．”列方程组求解即可；
（2）由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可．
【详解】（1）解：设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据题意：
，
解得： ，
答：小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆；
（2）解：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由如下：
由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆，
则喝完牛奶和豆浆后，摄入的脂肪为，
则这天小石这天共摄入脂肪，
，
∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标．
12．(1)小明家10月份预计应缴纳水费元；
(2)小明家2024年上半年用水140吨；
(3)小红家2024年上半年用水260吨．
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，理解分段收费的各段标准，确定相等关系是解本题的关键．
（1）根据题意小明家10月消费有20吨按第一阶梯计费，15吨按第二阶梯计费，列式计算即可求解；
（2）先判断小明家2024年上半年用水属于第一阶梯，再根据题意列二元一次方程组，求解即可；
（3）设小红家2024年上半年用水吨，分三种情况讨论，列一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，属于第一阶梯，
10月预计用水35吨，则10月后累计用水：吨，属于第二阶梯，
∴小明家10月消费有20吨按第一阶梯计费，15吨按第二阶梯计费，
∴元，
答：小明家10月份预计应缴纳水费元；
（2）解：若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119，
∴小明家2024年上半年用水属于第一阶梯，
∴由题意得，
整理得，解得，
答：小明家2024年上半年用水140吨；
（3）解：设小红家2024年上半年用水吨，
根据题意，下半年比上半年少缴费，故有三种情况：
①，
此时上半年水费为元，下半年水费为元，
由题意得，
解得，不符合题意，舍去；
②，
此时上半年水费为元，
下半年水费为元，
由题意得，
解得，符合题意；
③，
此时上半年水费为元，
下半年水费为元，
由题意得，
解得，不符合题意，舍去；
综上，小红家2024年上半年用水260吨
13．(1)选用甲种食品包，乙种食品包
(2)选用甲种食品1包，乙种食品6包
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键．
（1）设选用甲种食品包，乙种食品包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用甲种食品包，选用乙种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量正好是100克”列方程即可求解．
【详解】（1）解：设选用甲种食品包，乙种食品包，
根据题意，得，
解方程组，得，
答：选用甲种食品包，乙种食品包．
（2）设选用甲种食品包，乙种食品包，
根据题意，得，整理得：，
∵，均为正整数，
∴只能取2，4，6，
当时，，则热量为；
当时，，则热量为；
当时，，则热量为；
故选用甲种食品1包，选用乙种食品6包．
14．（1）两种型号的花盆的单价分别为元，元；（2）或；（3）张奶奶应选择购买2个型花盆，6个型花盆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先设两种型号的花盆的单价分别为元，元，再列方程组，进行计算，即可作答．
（2）理解题意，列出，再结合，均为正整数，分别得出或．即可作答．
（3）结合方案一和方案二，且或，分别算出每种情况的金额，再比较，即可作答．
【详解】解：（1）设两种型号的花盆的单价分别为元，元，
依题意，得
解得，
∴两种型号的花盆的单价分别为元，元，
（2）依题意，围墙长为的边放花盆种花， 两种型号的花盆的长分别是和，且个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边
∴，
∴，
∵，均为正整数，
即为正整数，且为正整数，
∴或．
（3）依题意，当购买个型花盆，6个型花盆,
则（元），
当购买6个型花盆，3个型花盆,
则（元），
∵
∴张奶奶应选择购买2个型花盆，6个型花盆．
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