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期末应用题专项训练：三角形、平行四边形和梯形-2024-2025学年数学四年级下册苏教版
1．如图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠6。图中的等腰三角形按角分是什么三角形？
2．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形的上底延长8厘米，就变成了平行四边形。这个梯形的上、下底各是多少厘米？（先在图中画一画，再解答）
3．如图，把一张长方形纸的一个角折起，已知∠2＝80°，求∠1和∠3。
4．图中一共有（ ）个三角形。这些三角形位于同一直线l上的底边上的高相等吗？为什么？
5．用一根长24厘米的铁丝围成一个三角形，这个三角形最长边的长度必须小于多少厘米？
6．一个直角梯形，上底是1厘米，一条腰是5厘米，如果把上底延长3厘米，就变成了一个正方形。原来梯形的周长是多少厘米？
7．有一根长10厘米的小棒，如果以它为一条边，围成一个周长是25厘米的三角形，还需要两根多长的小棒？（小棒长度都是整厘米数〉
8．周末小红在家做了一个三角形模板，∠3的度数比∠2的度数大4度，∠2的度数比∠1的度数大10度，你知道∠2是多少度吗？（先画线段图整理信息，再解答。）
9．如下图，∠1＝122°，∠2，∠3分别是多少度？
10．如下图所示的是由三个等边三角形组成的图形，一只小蚂蚁从A出发经过C到达B，与从A出发经过D，F，E到达B，哪条路线更近？
11．一个三角形的两个较小的内角的度数和是110°，两个较大的内角的度数和是135°。这个三角形的三个内角分别是多少度？
12．小恒妈妈画了一个等腰三角形的园林规划图。在这个三角形中，一个角的度数是另一个角的4倍。这个等腰三角形的顶角是多少度？
13．我市一工厂加工了200个等腰三角形的警示牌，一条边长30厘米，另一条边长70厘米，用铝合金给这块警示牌包上边，至少需要多少米的铝合金？（接缝处忽略不计）
14．把一个正方形的一条边缩短6分米，它就变成了一个梯形。已知这个梯形的下底是上底的3倍，这个梯形的上底、下底和高各是多少分米？
15．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角，其中∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍。这个三角形按角分是什么三角形？
16．下图中的两个三角形都是等腰三角形，求∠1的度数。
17．（1）剪出两个完全一样的梯形。
（2）用这两个梯形拼成一个平行四边形。
（3）拼成的平行四边形的底与梯形的上底、下底有什么关系？拼成的平行四边形的高与梯形的高呢？
18．下边是一张长方形纸对折两次后的展开图。
（1）以展开图上的10个交点为顶点，画出不同的梯形，并说说梯形的上底、下底和高各是多少厘米。
（2）能画出不同的平行四边形吗？它们的底和高各是多少？
19．下面每种小棒各有2根。
（1）任选3根小棒围三角形，是不是都能围成？你能围出什么三角形，是怎样围的？
（2）要围出平行四边形，最多用几种不同的小棒？最少呢？你能把围出的平行四边形改围成长方形或正方形吗？这些图形之间有什么联系？
（3）要围出梯形，最多用几种不同的小棒？最少呢？
20．如图，五边形ABCDE由点A可引出（ ）条对角线，把五边形分成（ ）个三角形，所以五边形的内角和是（ ）°。
如果照下面的图把五边形分成若干个三角形，可以分别怎样算出五边形的内角和？请列式计算。
21．在人类文化史中，“五角星”是一个古老而又神奇的几何图形。数学实践课上龙龙和小伙伴一起探究五角星中“角”的奥秘。首先他们发现并提出问题：五角星的5个角一样大，每个角究竟是多少度呢？他们团队经历了下面的思考过程：
(1)先研究（图1）五角星中心的正五边形的内角和是( )°，再推算出图2中∠1＝( )°。
(2)如图2根据∠1与∠2的关系，推算出∠2＝( )°。
(3)如图2根据等腰三角形中3个角的特点，推算出五角星一个角的度数：∠3＝( )°。
《期末应用题专项训练：三角形、平行四边形和梯形-2024-2025学年数学四年级下册苏教版》参考答案
1．∠6＝120°；钝角三角形
【分析】三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形，三角形的内角和为180°。在等腰三角形中，两个底角相等。在等边三角形中，三个角都相等且每个角的度数都是60°。由题意得，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4。由图可知，∠1和∠2合起来、∠3和∠4合起来都是等边三角形的内角，那么直接用60°除以2即可算出∠2和∠3的度数。∠2、∠3和∠6是等腰三角形的三个内角，那么直接用180°减去∠2和∠3的度数和即可算出∠6的度数。然后根据三个角的度数来判断三角形的类型即可。
【详解】∠1＝∠2，∠1＋∠2＝60°，那么∠2＝60°÷2＝30°。
∠3＝∠4，∠3＋∠4＝60°，那么∠3＝60°÷2＝30°。
∠6＝180°－（∠2＋∠3）＝180°－（30°＋30°）＝180°－60°＝120°
∠6是一个钝角，这个等腰三角形是钝角三角形。
答：∠6＝120°，这个等腰三角形是钝角三角形。
2．图见详解；上底4厘米；下底12厘米
【分析】根据题意，上底延长8厘米，就变成了平行四边形，平行四边形对边相等，则梯形的下底比上底多8厘米，下底是上底的3倍，则下底比上底多了上底的（3－1）倍，用8除以多的倍数，即可求出上底是多少厘米，用上底的长度乘3即可求出下底的长度。
【详解】
如图：
8÷（3－1）
＝8÷2
＝4（厘米）
4×3＝12（厘米）
答：这个梯形的上底是4厘米，下底是12厘米。
3．50°；40°
【分析】根据题意，因为是折起，所以∠1和一个与∠1度数一样的角以及∠2组成平角，平角等于180°，用180°减去∠2的度数再除以2，即可求出∠1的度数；折起的其中一个角是长方形的一个角，则折起的三角形是一个直角三角形，∠1、∠3以及一个直角组成一个三角形，三角形内角和是180°，用180°减去90°再减去∠1的度数，即可求出∠3的度数。
【详解】∠1＝（180°－∠2）÷2＝（180°－80°）÷2＝100°÷2＝50°
∠3＝180°－90°－∠1＝180°－90°－50°＝90°－50°＝40°
答：∠1＝50°，∠3＝40°。
4．15；相等；因为所有的高重合。
【分析】单个三角形有：5个；二合一的三角形有：4个；三合一的三角形有：3个；四合一的三角形有：2个；五合一的三角形有：1个，相加即可求出图中一共有多少个三角形。
根据三角形高、底的意义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这些三角形位于同一直线l上的底边上的高重合。
【详解】5＋4＋3＋2＋1
＝9＋3＋2＋1
＝12＋2＋1
＝14＋1
＝15（个）
图中一共有（15）个三角形。这些三角形位于同一直线l上的底边上的高相等，因为所有的高重合。
5．12厘米
【分析】三角形任意两边之和大于第三边，所以最长的一条边应小于三角形周长的一半。
【详解】（厘米）
答：这个三角形最长边的长度必须小于12厘米。
6．14厘米
【分析】上底是1厘米，把上底延长3厘米，就变成了一个正方形，说明下底长是1＋3＝4（厘米），高是1＋3＝4（厘米）；将梯形的四条边相加，即可求出它的周长。
【详解】高、下底为：1＋3＝4（厘米）
1＋5＋4＋4＝14（厘米）
答：原来梯形的周长是14厘米。
7．3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米
【分析】根据题意，已知周长是25厘米的三角形，有一条边10厘米，另外两条边的长度之和为：25－10＝15（厘米）。根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；又知小棒长度都是整厘米数；可知：1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8＝15；筛选出符合要求的答案即可。
【详解】根据分析可知：
25－10＝15（厘米）
1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8＝15
1＋10＜14，2＋10＜13，不能组成三角形， 所以其余两条边长可以是3厘米和12厘米，也可以是4厘米和11厘米、5厘米和10厘米，6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。
答：还需要两根小棒的长度可以是3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。
8．
图见详解；62度
【分析】根据题意可先画出线段整理出信息，根据线段可看出：用再除以3，即可算出∠1的度数，据此再加上10度，即可算出∠2的度数。
【详解】
（度）
（度）
（度）
答：∠2是62度。
9．∠2＝58°；∠3＝32°
【分析】根据题意，∠1＋∠2＝180°，所以用180°减去∠1的度数就可以得到∠2的度数；看图可知，∠2＋∠3＋90°＝180°，所以∠3＝180°－90°－∠2；据此解答。
【详解】∠2＝180°－122°＝58°
∠3＝180°－90°－58°＝32°
答：∠2是58°，∠3是32°。
10．两条路线一样近
【分析】三个三角形都是等边三角形，大三角形的边长是35＋15＝50（厘米），中三角形的边长是35厘米，小三角形的边长是15厘米，等边三角形的三条边都相等，第一条路线的长度就是大三角形的两条边长，第二条路线的长度就是中、小三角形的两条边长之和，据此计算比较即可解答。
【详解】路线A→C→B：35＋15＝50（厘米）
50×2＝100（厘米）
路线：A→D→F→E→B：
35×2＋15×2
＝70＋30
＝100（厘米）
100厘米＝100厘米
答：两条路线一样近。
11．70°；65°；45°
【分析】根据题意，用三角形的内角和180°减去这个三角形的两个较小的内角的度数和的度数，即可求出较大内角的度数；再用两个较大的内角的度数和减去求出的较大角的内角度数，即可求出中间内角的度数。最后再用两个较小的内角的度数和的度数减去求出的中间内角的度数，即可求出较小内角的度数。
【详解】较大内角：180°－110°＝70°
中间内角：135°－70°＝65°
较小内角：110°－65°＝45°
答：这个三角形的三个内角分别是70°、65°和45°。
12．20°或120°
【分析】由题意可知，本题存在两种可能的情况。第一种情况，如果底角是顶角的4倍。把顶角看作1份，底角相当于这样的4份，另一个底角也相当于这样的4份，那么180°相当于这样的1＋4＋4＝8＋1＝9（份），直接用180°除以9即可算出顶角的度数；第二种情况，顶角是一个底角的4倍。把一个底角看作1份，另一个底角也看作1份，那么顶角相当于这样的4份，180°相当于这样的4＋1＋1＝5＋1＝6（份），直接用180°除以6先算出底角的度数，然后再乘上4即可算出顶角的度数。
【详解】如果底角是顶角的4倍：1＋4＋4＝5＋4＝9（份）
180°÷9＝20°
如果顶角是底角的4倍：4＋1＋1＝5＋1＝6（份）
180°÷6＝30°
30°×4＝120°
答：这个等腰三角形的顶角是20°或者120°。
13．340米
【分析】根据题意，通过三角形三边关系确定等腰三角形的边长组合，因为30＋30＜70，而70＋70＞30，70－30＜70，可以确定三角形的三条边是：70厘米、70厘米、30厘米；把三条边相加，求出三角形的周长；再乘200，求出总长度；最后根据1米＝100厘米，把周长换算成米即可。
【详解】根据分析可知：
70＋70＞30，70－30＜70，可以确定三角形的三条边是：70厘米、70厘米、30厘米。
70＋70＋30
＝140＋30
＝170（厘米）
170×200＝34000（厘米）
34000厘米＝340米
答：至少需要340米的铝合金。
14．上底3分米；下底9分米；高9分米。
【分析】如图所示，把上底看作1份，下底就是这样的3份。6分米就对应这样的2份，据此可以求出1份是几分米，也就是上底的长度。再用上底的长度乘3就是下底的长度。正方形的四条边相等，四个角都是直角。所以梯形的高和下底长度相等。据此解答。
【详解】6÷（3－1）
＝6÷2
＝3（分米）
3×3＝9（分米）
答：这个梯形的上底是3分米，下底是9分米，高是9分米。
15．直角
【分析】已知∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍，把∠1的度数看作1份，则∠2的度数是2份，∠3的度数是3份。那么三个角的度数总共是1＋2＋3＝6份。可求出∠1的度数为180°÷（3＋2＋1）＝30°，最大角∠3的度数为30°×3＝90°，根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可知这个三角形按角分是直角三角形。
【详解】∠1＝180°÷（3＋2＋1）
＝180°÷6
＝30°
∠2＝30°×2＝60°
∠3＝30°×3＝90°
答：这个三角形按角分是直角三角形。
16．140°
【分析】等腰三角形两个底角相等，三角形的内角和是180°，∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝（180°－90°）÷2，据此计算出∠CBA的度数；三角形DAB也是等腰三角形，所以∠DAB＝∠DBA，∠DBA＝∠CBA－∠CBD，据此计算出∠DBA的度数，然后再乘2计算出两个底角之和，再用180°减去两个底角之和即为所求。
【详解】（180°－90°）÷2
＝90°÷2
＝45°
45°－25°＝20°
180°－20°×2
＝180°－40°
＝140°
答：∠1是140°。
17．见详解
【分析】通过实际操作将两个完全一样的梯形拼成平行四边形，然后观察比较平行四边形的底和高与梯形的上底、下底和高之间的关系。
观察这个拼成的平行四边形，它的底是由梯形的上底和下底组成的。因为我们是把两个梯形这样拼合起来的，所以平行四边形的底的长度就等于梯形的上底加上下底的长度。
再看平行四边形的高，在拼合的过程中，梯形的高并没有发生变化。也就是说，拼成的平行四边形的高和原来梯形的高是一样的。
【详解】答：两个完全一样的梯形，上下倒置拼在一起组成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底、下底的和；拼成的平行四边形的高与梯形的高相等。
18．（1）（2）见详解
【分析】（1）梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫梯形的底，较短的是上底，较长的是下底，两底间的距离是高。据此画出图形即可。
（2）平行四边形是两组对边分别平行且相等的四边形，任意一边作底，从对边一点向底作垂线，这点与垂足间线段是高。据此画出图形即可。
【详解】（1）如图：（答案不唯一）
比如画黑色梯形，上底2厘米、下底4厘米、高3厘米；红色梯形上底2厘米、下底6厘米、高3厘米。
（2） 如图：（答案不唯一）
答：能画出不同的平行四边形，比如黑色平行四边形的底为4厘米、高为3厘米；红色平行四边形底为2厘米、高为3厘米。
19．（1）不是；直角三角形、等腰三角形、钝角三角形；具体围法见详解
（2）4种；2种；周长相等，面积不同
（3）4种；3种
【分析】（1）三角形的任意两边之和要大于第三边，通常是看三角形中最小两条边的和是否大于第三条边，最小两边和大于第三条边则能够围成三角形，反之则不能围成三角形；
（2）平行四边形的定义：在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；长方形是对边相等，4个角都是直角的四边形。正方形是四条边都相等，四个角都是直角的四边形。
（3）梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。据此解答即可。
【详解】（1）2厘米＋3厘米＝5厘米，即2厘米、3厘米和5厘米这三根小棒不能围城三角形
答：任选3根小棒围三角形不是都能围成，能围出直角三角形、等腰三角形、钝角三角形，围法如上图所示。
（2）
答：要围出平行四边形，最多用4种不同的小棒；最少要用2种不同的小棒，如上图。平行四边形容易变形能把围出的平行四边形改围成长方形，因为每种小棒只有2根，不能变成正方形，变形前后的图形周长相等，面积不同。
（3）
答：如上图要围出梯形，最多用4种不同的小棒，最少用3种不同的小棒。
20．2；3；540；
540°；
【分析】
（1）如图，从点A可以引出2条对角线，即AC和AD。把五边形分成了3个三角形。根据三角形的内角和是180°，可以算出三个三角形的内角和总和，从而求出五边形的内角和。
（2）左边图形中，五边形被分成五个三角形。但是这五个三角形的内角和相加时，中间的周角360°不属于五边形的内角，所以五边形的内角和为五个三角形的内角和的和减去中间的周角360°。右边图形中，五边形被分成四个三角形。这四个三角形的内角和相加时，最下方的平角180°不属于五边形的内角，所以五边形的内角和为四个三角形的内角和的和减去最下方的平角180°。
【详解】（1）180°×3＝540°
所以，五边形ABCDE由点A可引出2条对角线，把五边形分成3个三角形，所以五边形的内角和是540°。
（2）180°×5－360°
＝900°－360°
＝540°
180°×4－180°
＝720°－180°
＝540°
所以，五边形ABCDE的内角和是540°。
21．(1) 540 108
(2)72
(3)36
【分析】（1）多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n－2）×180°（n大于等于3）即可求解正五边形的内角和：因为正五边形五个内角度数相等，所以根据除法的意义，用正五边形的内角和除以5即可求出一个内角的度数。
（2）根据∠1与∠2互补，用180°减去∠1，即可求出∠2的度数。
（3）根据等腰三角形两个底角相等，结合三角形内角和是180°，用180°减去2个底角度数之和即可求解。
【详解】（1）（5－2）×180°
＝3×180°
＝540°
所以五角星中心的正五边形的内角和是540°。
540°÷5＝108°
所以图2中∠1＝108°。
（2）180°－108°＝72°
所以推算出∠2＝72°。
（3）180°－2×72°
＝180°－144°
＝36°
所以∠3为36°。
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