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2024-2025 学年陕西省榆林市高一下学期 4 月全国名校期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
2.如果 ， 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )
A. = B. = C. 2 = 2 D. = 1
3.复数 = 2 1+ ( + 1) ( 是虚数单位， ∈ )是纯虚数，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 1 或 1 D. 0
4.已知 = 2 5， = (1,2)，且 // ，则 的坐标为( )
A. (2,4) B. ( 2, 4) C. (2, 4)或( 2,4)D. (2,4)或( 2, 4)
5.如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 4， ′ ′ = 2，
则下列说法正确的是( )
A. = 2
B. ′ ′ = 2 2
C.四边形 的周长为 4 + 2 2 + 2 3
D.四边形 的面积为 6 2
6.在△ 中， = 1, = 5, cos = 52 5 ，则 =( )
A. 4 2 B. 30 C. 29 D. 2 5
7.已知复平面内复数 1对应的点为 1，复数 2对应的点为 2， 为坐标原点，则下列说法错误的是( )
A.若 1与 2关于实轴对称，则： 1 + 2为实数
B.若 1与 2关于实轴对称，则 1 2 = 1 2
C.若 1 ⊥ 2，则 1 2 = 0
D.若 1 ⊥ 2，则： 1 + 2 = 1 2
8.如图，在 中， ⊥ ， = 3 ，| | = 1，则 =
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A. 2 3 B. 3 32 C. 3 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 是棱 1 上的一个动点(含端点)，则 + 1的取值可以为( )
A. 6 + 2 B. 2 5 C. 2 2 + 2 D. 5
10.已知 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.若 = 0，则 ∈
B.若 (1 + ) = 2 7 ，则 = 2cos 4 + sin
7
4
C.若| 1| = | 2| = 3， 1 + 2 = 5 + ，则| 1 2| = 10
D.若复数 满足 1 < | | < 2，则复数 在复平面内对应的点所构成的图形面积为
11 .已知△ 三个内角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且∠ = 3， = 2，则下列结论正确的有( )
A. △ 面积的最大值为 3
B. cos + cos = 2
C. △ 周长的最大值为 6
D. cos 3cos 的取值范围为( ∞, 2 ) ∪ ( 3, + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 满足 3 + i = 6 2i，则 2 = ．
13.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成(如
图 1)，也可由正方体切割而成(如图 2).在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为 2，则该几何体的体积
为 ．
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14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花隔断，图
2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图 2，正八边形 中，若 = + , ∈ ，
则 + 的值为 ；若正八边形 的边长为 2， 是正八边形 八条边上的动点，则
的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，在其内部有一个高为 的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)求圆柱的侧面积的最大值及此时 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 、 满足 2 = (4, 6)，2 + = (3,8)．
(1)设 ， 的夹角为 ，求 sin ；
(2)若 // ( ≠ 0)，求 + 的最小值．
17.(本小题 15 分)
设实部为正数的复数 ，满足| | = 10，且复数 1 + 2i 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
(1)求复数 ；
(2)若 + i1+i ( ∈ )为纯虚数，求实数 的值．
18.(本小题 17 分)
(1) ， ， ， 3是球 的球面上四点， = = = 3，球心 是 的中点，四面体 的体积为 2 ，
求球 的体积；
(2)已知正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 1 = 4
28 3
，该四棱台的体积为 3 ，求这个四棱台的表面积．
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19.(本小题 17 分)
如图，半圆 的直径为 2 ， 为直径延长线上的点， = 2 ， 为半圆上任意一点，以 为一边作等边
三角形 .设∠ = ．
(1)当 = 3时，求四边形 的周长；
(2)克罗狄斯 托勒密( )所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四
边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，
则当线段 的长取最大值时，求∠ ．
(3)问： 在什么位置时，四边形 的面积最大，并求出面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13. 2
14. 2； 2 2
15.解：(1)过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，设圆柱的底面圆半径为 ，如图：
= 由 得： = .
2
故圆柱的侧面积 = 2 = 2 2 ．
(2) = 2 2 + 2 =
2
(
)2 + 2 2 ，
故当 = 2时，圆柱的侧面积 最大，最大值为 2 ．
16.(1)由 2 = (4, 6)，得 2 4 = (8, 12)，
同 2 + = (3,8)相减得， = ( 1,4)，
代入 2 = (4, 6)中，得 = (2,2)．
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→ →
cos = (2,2)·( 1,4) 6 3 34所以 → → =
4+4× 1+16
= 17× 8 = 34 ，
所以 sin = 1 cos2 = 5 3434 ．
→ → → →
(2)因为 /\ !/ ，设 = ，所以 = (2 , 2 )( ≠ 0)，
→ →
所以 + = (2 1,2 + 4) = (2 1)2 + (2 + 4)2
2
= 8 2
3 25
+ 12 + 17 = 8 + 4 + 2 ,
3 5 2
当 = 时， 4 + 取得最小值，最小值为 2 ．
17.(1)设 = + i， , ∈ ， > 0，由题意： 2 + 2 = 10①
计算 1 + 2i = 1 + 2i + i = 2 + (2 + )i，得 2 = 2 + ②
①②联立，解得 = 3， = 1 得 = 3 i．
(2) + i = 3 + i + i 1 i = 3 + 11+i 2 2 + 1
+1
2 i，
1 +1
所以 3 + 2 = 0 且 1 2 ≠ 0，解得 = 5．
18.(1)如下左图所示，由题意可知 为球 的直径，设 到面 的距离为 ，
则等边 的面积为 = 34 × ( 3)
2 = 3 3 1 34 ，所以 = 3 = 2 = 2，
则球心 到面 的距离为 1．
设 ⊥面 ，易知 为等边 的外心，
所以 2 = 2 = 3sin60° = 2 = 1，故球的半径 = =
2 + 2 = 2，
4 4 8 2
所以球 的体积 = 3 33 = 3 ( 2) = 3 ．
(2)如上右图所示，设 ， 分别为上、下底面的中心， ， 分别为 ， 1 1的中点，且有 ⊥ ， ⊥ ，
设正四棱台 1 1 1 1的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为 1， 2，4 3，
由 = 2 2 21 1 = 4，即得 = 4， 1 1 = 2，所以 1 = ( 1 1) = 4， 2 = = 16．
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= 1又 3 [ 1 + 2 + 1 2] 及 =
28 3
3 ，
1 28 3
所以有3 (4 + 16 + 4 × 16) = 3 ，解得 = = 3．
由勾股定理可得斜高 = 2 + 2 = ( 3)2 + 12 = 2，
1
所以 3 = 2 ( 1 1 + ) = 6，从而四棱台表面积 = 1 + 2 + 4 3 = 4 + 16 + 4 × 6 = 44．
19.解：(1)在△ 中，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 1 + 4 2 × 1 × 2 × 12 = 3，
即 = 3，于是四边形 的周长为 + + 2 = 3 + 2 3；
(2)因为 + ≥ ，且△ 为等边三角形， = 1， = 2，
所以 + ≥ ，所以 ≤ 3，
即 的最大值为 3，取等号时∠ + ∠ = 180°，
所以 cos∠ + cos∠ = 0，
不妨设 = ，
2+1 9 2+ +4 9则 2 4 = 0，解得 = 7，
9+4 7 1
所以 cos∠ = 2×2×3 = 2，
所以∠ = 60°；
(3)在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 5 4 ，
所以 = 5 4 ，0 < < ，
1 3 3
于是四边形 的面积为 = △ + △ = 2 +
2
4 = + 4 (5 4 ) =
3 + 5 3 = 2 ( 5 34 3 ) + 4 ，
= = 5 5 3当 3 2，即 6时，四边形 的面积取得最大值为 2 + 4 ．
5 5 3
所以，当 满足∠ = 6时，四边形 的面积最大，最大值为 2 + 4 ．
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