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期末热点.重难点 从力的做功到向量的数量积
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 湛江校级期末）已知非零向量、满足，则与的夹角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 浙江期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为60°，则向量（　　）
A．2 B． C． D．1
3．（2024秋 金沙县期末）已知向量，满足||＝6，||＝12，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 扬州期末）已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为线段EC的中点，则的值为（　　）
A．6 B． C．3 D．
5．（2024秋 雷州市校级期末）已知向量，，，则实数m＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 温州模拟）如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于的事件是（　　）
A．
B．
C．
D．在条件下，
（多选）7．（2024秋 雷州市校级期末）已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为60°
D．在方向上的投影向量是
（多选）8．（2024秋 威海期末）设向量（x+4，x），（x，2），则（　　）
A．x＝0是⊥的充分条件
B．x＝﹣6是⊥的必要条件
C．∥是x＝4的必要条件
D．∥是x＝﹣2的充分条件
（多选）9．（2025 厦门模拟）已知平面向量（2，sinθ），（1，cosθ），则（　　）
A．，不可能垂直
B．，不可能共线
C．||不可能为5
D．若，则在方向上的投影向量为2
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西一模）已知向量，满足||＝2，|2|＝||，则||＝ 　 　．
11．（2024秋 亳州期末）已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则　 　．
12．（2025 安顺模拟）若向量（3，2）在向量（4，0）方向上的投影向量为，则||＝ 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 牡丹江期末）已知，．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量，的夹角θ．
14．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
15．（2025 重庆校级模拟）已知向量，，．
（1）若，且求x的值；
（2）设函数，求函数f（x）在区间[0，]上的最大值以及相应的x的值．
期末热点.重难点 从力的做功到向量的数量积
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 湛江校级期末）已知非零向量、满足，则与的夹角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由向量模的求法和数量积的运算律计算即可求得，再由夹角公式计算即可．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
因为，
，
设与的夹角为θ，则．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
2．（2024秋 浙江期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为60°，则向量（　　）
A．2 B． C． D．1
【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用投影向量的意义求出，再利用向量数量积的运算律及夹角公式列式求得答案．
【解答】解：在上的投影向量为，
则在上的投影向量为，即，
则，
又4+2＝6，
则，
解得，
由，解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．
3．（2024秋 金沙县期末）已知向量，满足||＝6，||＝12，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用数量积的定义求出，再根据在方向上的投影向量为计算可得．
【解答】解：由题意可知，，
所以在方向上的投影向量为．
故选：B．
【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
4．（2024秋 扬州期末）已知正六边形ABCDEF的边长为2，点P为线段EC的中点，则的值为（　　）
A．6 B． C．3 D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据平面向量数量积的计算公式计算求解即可．
【解答】解：因为正六边形ABCDEF的边长为2，点P为线段EC的中点，
所以，，
，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积的求法，属于基础题．
5．（2024秋 雷州市校级期末）已知向量，，，则实数m＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】求出向量的坐标，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算可得出实数m的值．
【解答】解：因为，，
所以，
因为，
所以，解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 温州模拟）如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于的事件是（　　）
A．
B．
C．
D．在条件下，
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】由平面向量数量积的运算性质，结合古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：向量是矢量，有方向有长度，故有种取法．
A项：，
故且与同向，
所以P只能在A，Q只能在B一种，
所以，
即选项A不满足；
B项：可为图中：
，共18种，
所以，
即选项B满足；
C项：，
即与垂直，
又可为：四种，
所以，
即选项C不满足；
D项：在条件下，
即可为，共16种，
与平行有四种，
所以，
即选项D满足．
故选：BD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算性质，重点考查了古典概型，属中档题．
（多选）7．（2024秋 雷州市校级期末）已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为60°
D．在方向上的投影向量是
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出的值，可判断AC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用投影向量的定义可判断D选项．
【解答】解：已知和为单位向量，且，
则，
则，
故，
即A对，C错；
又，
即B对；
又，
所以在方向上的投影向量是，
即D对．
故选：ABD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算性质，重点考查了投影向量的定义，属中档题．
（多选）8．（2024秋 威海期末）设向量（x+4，x），（x，2），则（　　）
A．x＝0是⊥的充分条件
B．x＝﹣6是⊥的必要条件
C．∥是x＝4的必要条件
D．∥是x＝﹣2的充分条件
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．
【解答】解：向量（x+4，x），（x，2），
若⊥，
则（x+4）x+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣6，
故x＝0是⊥的充分条件，故A正确；x＝﹣6是⊥的非必要条件，故B错误；
若，
则2（x+4）＝x2，解得x＝4或x＝﹣2，
故是x＝4的必要条件，故C正确；不是x＝﹣2的充分条件，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．
（多选）9．（2025 厦门模拟）已知平面向量（2，sinθ），（1，cosθ），则（　　）
A．，不可能垂直
B．，不可能共线
C．||不可能为5
D．若，则在方向上的投影向量为2
【考点】平面向量的投影向量；平面向量的数量积运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】可求出，然后可判断A的正误；
tanθ＝2时，与共线，得出B错误；
可求出的坐标，进而求出是否可以等于5，从而得出C的正误；
根据投影向量的计算公式即可判断D的正误．
【解答】解：A．∵0，∴不可能垂直，A正确；
B．tanθ＝2时，，此时与共线，B错误；
C.，
∴，即不可能为5，C正确；
D.时，，则在方向上的投影向量为：，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了向量共线和垂直的充要条件，向量坐标的加法运算，投影向量的计算公式，是基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西一模）已知向量，满足||＝2，|2|＝||，则||＝ 　2　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的模．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】2．
【分析】由|2|＝||，利用向量的模的公式、平面向量数量积的运算性质，推导出2 ||2＝0，由此算出（）2＝4，进而可得||的值．
【解答】解：由|2|＝||，可得（2）2＝（）2，
即||2+4 4||2＝||2﹣2 ||2，整理得2 ||2＝0．
所以（）2＝||2+2 ||2＝22+0＝4，可得||2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算性质、向量的模的公式等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
11．（2024秋 亳州期末）已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则　　．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】直接利用向量的夹角运算公式求出结果．
【解答】解：向量，为两个相互垂直的单位向量，
由题意得：，，
则，
由于，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：单位向量，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（2025 安顺模拟）若向量（3，2）在向量（4，0）方向上的投影向量为，则||＝ 　3　．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据投影向量公式和向量模的坐标表示即可得到答案．
【解答】解：向量（3，2），向量（4，0），
则，，
向量在向量方向上的投影向量为：，
则．
故答案为：3．
【点评】本题主要投影向量公式和向量模的坐标表示，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 牡丹江期末）已知，．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量，的夹角θ．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量数乘和线性运算的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣4，﹣3）；
（2）．
【分析】运用向量的坐标运算，结合夹角公式进行计算即可．
【解答】解：（1）因为，，所以．
（2），．
则．
因为θ∈[0，π]，所以向量，的夹角．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
14．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）由重心性质可得得坐标，从而求得模长；
（2）由平面向量基本定理的推论得，再利用基本不等式求得最值．
【解答】解：（1）根据题意：，，
由G是△ABC的重心，
可得，
所以；
（2）由，
可得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，所以，
则，
当且仅当，即λ＝1，时等号成立，
所以2λ+8μ的最小值为6．
【点评】本题考查平面向量的模长公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，属中档题．
15．（2025 重庆校级模拟）已知向量，，．
（1）若，且求x的值；
（2）设函数，求函数f（x）在区间[0，]上的最大值以及相应的x的值．
【考点】平面向量数量积的坐标运算；三角函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）f（x）的最大值为﹣1，此时．
【分析】（1）根据向量共线满足的坐标关系，即可得，结合同角关系即可求解，
（2）根据数量积的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用整体法求解．
【解答】解：（1）由题意，，，
由，可得，
因为，所以sinx≠0，
所以，即，
所以；
（2）由题意得：
，
因为，所以，
故当时，即，f（x）取最大值﹣1，
所以f（x）的最大值为﹣1，此时．
【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质，考查平面向量与三角的综合应用，属中档题．
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