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期末热点.重难点 从速度的倍数到向量的数乘
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 北京校级期末）已知△ABC中，D，E分别为边AC，BC的中点，且，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
2．（2025 安阳一模）已知平行四边形ABCD的对角线的交点为P，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 辽宁期末）已知不共线，且，，那么A，B，C三点共线的充要条件为（　　）
A．λ+μ＝2 B．λ﹣μ＝2 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1
4．（2024秋 昌平区期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若λμ（λ，μ∈R），则λ＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024秋 临夏州期末）已知直线l的倾斜角为45°，方向向量，则y＝（　　）
A． B． C．1 D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，则s＝t＝0
D．若且，则
（多选）7．（2024秋 大连期末）下列关于向量说法，正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥
B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为1：3
C．两个非零向量，，若||＝||+||，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数λ使得λ
（多选）8．（2024秋 昭通校级期中）如图，在菱形ABCD中，若∠DAB＝120°，则以下说法中正确的是（　　）
A．与不平行
B．的模恰为模的倍
C．与的模相等的向量有9个（不含）
D．与相等的向量只有一个（不含）
（多选）9．（2024秋 城中区校级期中）已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（﹣2，0），则下列结论中正确的是（　　）
A．l与直线垂直
B．l的倾斜角等于150°
C．l在y轴上的截距为
D．圆x2+y2＝1上存在两个点到直线l的距离等于1
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 深圳期末）直线3x﹣4y+5＝0的一个单位方向向量为 　 　．
11．（2024秋 萧县校级期末）已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．若点E为AC的中点，则的值为 　 　．
12．（2024秋 泰山区校级期末）在△ABC中，，P是直线BD上一点，若，则实数m的值为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
14．（2024秋 保定期中）如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
15．（2024秋 安徽期中）如图，在等腰梯形ABCD中，2AD＝2DC＝2CB＝AB＝6，E，F分别为AB，AD的中点，BF与DE交于点M．
（1）令，，用，表示；
（2）求线段AM的长．
期末热点.重难点 从速度的倍数到向量的数乘
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 北京校级期末）已知△ABC中，D，E分别为边AC，BC的中点，且，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
【考点】平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得．
【解答】解：由题意，D，E分别为边AC，BC的中点，
则，，
由，得，
即，则，
而，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
2．（2025 安阳一模）已知平行四边形ABCD的对角线的交点为P，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的数乘与线性运算．
【答案】C
【分析】由已知结合向量加法的平行四边形法则即可求解．
【解答】解：平行四边形ABCD的对角线的交点为P，
所以，，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，属于基础题．
3．（2024秋 辽宁期末）已知不共线，且，，那么A，B，C三点共线的充要条件为（　　）
A．λ+μ＝2 B．λ﹣μ＝2 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由向量共线定理，设，即可求得λ和μ之间的关系．
【解答】解：由A，B，C三点共线，可得与共线，
设，则有，
由不共线，
可得，解得λμ＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量共线定理，属基础题．
4．（2024秋 昌平区期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若λμ（λ，μ∈R），则λ＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】平面向量的数乘与线性运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】结合平面向量基本定理求解即可．
【解答】解：设水平向右的单位向量为，竖直向上的单位向量为，
由题意可得：，，，
又λμ（λ，μ∈R），
则，
即，
即．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，属基础题．
5．（2024秋 临夏州期末）已知直线l的倾斜角为45°，方向向量，则y＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【考点】平面中直线的方向向量和法向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由直线倾斜角与斜率关系和方向向量与斜率关系求出即可；
【解答】解：根据题意可知，直线l的倾斜角为45°，故直线的斜率k＝tan45°＝1，
且方向向量，即k，解得y＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了方向向量，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，则s＝t＝0
D．若且，则
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据投影向量的定义分析判断；对于C：根据向量共线的判定定理分析判断；对于D：根据数量积的定义分析判断．
【解答】解：A：当时，满足，，但与不一定平行，A错误；B：单位向量，夹角为，可得向量在向量上的投影向量为，B正确；
C：不妨假设s≠0，则，可知与共线，这与题设相矛盾，假设不成立，
所以s＝t＝0，C正确；
D：因为，则，
又，则，显然不能确定，D错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查向量的相关知识，考查计算能力，属于中档题也是易错题．
（多选）7．（2024秋 大连期末）下列关于向量说法，正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥
B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为1：3
C．两个非零向量，，若||＝||+||，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数λ使得λ
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】时，可判断A的正误；
根据条件得出O为△ABC的重心，然后即可判断B的正误；
根据向量减法的三角形法则即可判断C的正误；
根据共线向量基本定理即可判断D的正误．
【解答】解：，满足，得不出，A错误；
若，则，则O是△ABC的重心，
根据重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍即可得出：，B正确；
都为非零向量，满足，则得出向量反向，C正确；
，只有时，才存在唯一的实数λ，使得，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，重心的定义，共线向量基本定理，是基础题．
（多选）8．（2024秋 昭通校级期中）如图，在菱形ABCD中，若∠DAB＝120°，则以下说法中正确的是（　　）
A．与不平行
B．的模恰为模的倍
C．与的模相等的向量有9个（不含）
D．与相等的向量只有一个（不含）
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断．
【解答】解：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误；
因为，则，
所以的模恰为模的倍，故B正确；
根据菱形的性质结合∠DAB＝120°，可知对角线AC与菱形的边长相等，
故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确；
与相等的向量只有，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查相等向量、共线向量的定义，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 城中区校级期中）已知直线l的一个方向向量为，且l经过点（﹣2，0），则下列结论中正确的是（　　）
A．l与直线垂直
B．l的倾斜角等于150°
C．l在y轴上的截距为
D．圆x2+y2＝1上存在两个点到直线l的距离等于1
【考点】平面中直线的方向向量和法向量；直线的倾斜角；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AD
【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C的真假；利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断出D的真假．
【解答】解：因为直线l的一个方向向量，
可得直线l的斜率，
又直线l经过点（﹣2，0），
代入点斜式方程可得，，即直线l的方程为：，
对于A，因为直线的斜率为，
又直线l的斜率，
因为1，所以直线l与直线x﹣3y+1＝0垂直，所以A正确；
对于B，由直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为α，0°≤α＜180°，
则，所以α＝120°，所以B不正确；
对于C，令x＝0，代入直线l的方程可得，
即直线l在y轴上的截距等于，所以C不正确；
对于D，圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线l的距离dr＝1，
因此直线l与圆x2+y2＝1相离，
又圆x2+y2＝1上点到直线l的最近距离为d﹣r1＜1，
因此可得圆x2+y2＝1上存在两个点到直线l的距离等于1，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查两条直线垂直的性质的应用及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 深圳期末）直线3x﹣4y+5＝0的一个单位方向向量为 　（答案不唯一）　．
【考点】平面中直线的方向向量和法向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据直线方向向量即可求解．
【解答】解：因为直线3x﹣4y+5＝0的斜率为，所以直线的一个方向向量是，
所以直线3x﹣4y+5＝0的单位方向向量为或．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查单位方向向量的定义，是基础题．
11．（2024秋 萧县校级期末）已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．若点E为AC的中点，则的值为 　　．
【考点】平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件得到四边形ABCD为平行四边形，进而求解结论．
【解答】解：由．
可得，
即，则四边形ABCD为平行四边形，
又E为AC的中点，
故E为对角线AC与BD的交点，
故S△EAB＝S△ECB＝S△ADE＝S△DCESABCD，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量加法、向量减法的运算，数形结合，属于中档题．
12．（2024秋 泰山区校级期末）在△ABC中，，P是直线BD上一点，若，则实数m的值为 　　．
【考点】平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】设，结合向量线性运算法则利用表示，结合平面向量基本定理列方程求m．
【解答】解：在△ABC中，，P是直线BD上一点，且，
故可设，
所以，
又，所以，
所以，所以，
所以，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的相关知识，考查计算能力，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量数量积的坐标运算．
【专题】方程思想；数形结合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）D（4，3）；
（2）．
【分析】（1）设D（x，y），利用，可求D点的坐标；
（2）利用三点共线，可得，可得D（3﹣4λ，1+3λ），利用数量积可求D点的坐标．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），
∴（1，2），
∵四边形ABCD为平行四边形，∴，
设D（x，y），则（x﹣3，y﹣1），
∴，解得，∴D（4，3）；
（2）由A，C，D三点共线，且，
可设，
又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴，
又 4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得λ．
∴．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．
14．（2024秋 保定期中）如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
【考点】平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1），；
（2）证明见解答．
【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到；
（2）计算出，结合（1）可得，证明出结论．
【解答】解：（1）由题可知，
，
；
（2）证明：由．
可得，
因为，且有公共点M，
所以M，P，N三点共线．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
15．（2024秋 安徽期中）如图，在等腰梯形ABCD中，2AD＝2DC＝2CB＝AB＝6，E，F分别为AB，AD的中点，BF与DE交于点M．
（1）令，，用，表示；
（2）求线段AM的长．
【考点】平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由向量的线性运算求解；
（2）利用M，E，D三点共线，M，B，F三点共线，求得，同时证明△ADE是等边三角形，然后把平方可得．
【解答】解：（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，，，
所以；
（2）设，
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以，
因为M，E，D三点共线，M，B，F三点共线，
所以，解得，
即，
由已知CD与BE平行且相等，因此CDEB是平行四边形，
所以DE＝CB＝AD＝AE＝3，△ADE是等边三角形，
，
所以．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
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