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期末热点.重难点 从位移的合成到向量的加减法
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 呼和浩特期末）已知O为△ABC内一点，且，点M在△OBC内（不含边界），若，则λ+μ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 河东区学业考试）如图，在△ABC中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 石家庄校级期中）设P是 ABCD对角线的交点，O为空间任意一点（不在平面ABCD上），则等于（　　）
A．4 B．6 C．2 D．
4．（2024春 金安区校级期末）若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 黑龙江）已知向量，化简（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024春 镇雄县校级期中）给出下面四个推论，其中正确的是（　　）
A．若线段AC＝
AB
+
BC
，则向量
B．若向量，则线段
AC
＝
AB
+
BC
C．若向量与共线，则线段AC＝
AB
+
BC
D．若向量与反向共线，则||＝AB+BC
（多选）7．（2024春 新都区期末）△ABC的内心为P，外心为O，重心为G，若|AB|＝|AC|＝5，|BC|＝6，下列结论正确的是（　　）
A．△ABC的内切圆半径为r
B．655
C．655
D．|OG|
（多选）8．（2024春 仓山区校级期末）△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足，则（　　）
A．O，P，G三点共线 B．
C． D．点P在△ABC的内部
（多选）9．（2024春 北京期末）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2），且，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则m＝n
B．若，则2m+n＝1
C．若点P在直线BC上，则3m+3n＝5
D．若在方向上的投影向量的坐标是（2，﹣1），则m﹣n＝﹣3
三．填空题（共3小题）
10．（2024春 光山县校级期中）设O为△ABC内一点，且满足关系式，则S△BOC：S△AOB：S△COA＝　 　．
11．（2024秋 龙岗区校级期中）运算的结果是 　 　．
12．（2024春 麒麟区期末）在复平面内，复数2+4i与1+5i所对应的向量分别为和，其中O为坐标原点，则对应的复数为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2023秋 裕安区校级期末）化简．
（1）；
（2）．
14．（2023秋 双清区校级期末）化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
15．（2024春 喀什市期中）化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
期末热点.重难点 从位移的合成到向量的加减法
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 呼和浩特期末）已知O为△ABC内一点，且，点M在△OBC内（不含边界），若，则λ+μ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算，结合题设，即可求得结论．
【解答】解：设，则，
可得，
因为，
即，
整理可得，
由不共线，可得3﹣12m＝5﹣12n＝0，解得，
即，，
又因为点M在△OBC内（不含边界），
设，且，
可得，
则
，
可得，可得，
且0＜x+y＜1，可得，
所以λ+μ的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属中档题．
2．（2024 河东区学业考试）如图，在△ABC中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用相等向量的定义，以及向量的运算可判断结论．
【解答】解：在△ABC中，∵D为BC的中点，
∴，，（），
故B，C错误，A显然错误．
故选：D．
【点评】本题考查相等向量的定义，考查向量的运算，属基础题．
3．（2024秋 石家庄校级期中）设P是 ABCD对角线的交点，O为空间任意一点（不在平面ABCD上），则等于（　　）
A．4 B．6 C．2 D．
【考点】平面向量的加法．
【专题】平面向量及应用．
【答案】A
【分析】，，，，相加后相反向量抵消即得．
【解答】解：如图，
，，
，，
因为P是平行四边形ABCD对角线的交点，
所以与、与互为相反向量，
所以
，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加法运算，将向量转化为两个向量的和，然后抵消掉相反向量是解题的关键，属基础题．
4．（2024春 金安区校级期末）若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】作出平行四边形ABCD，再利用平面向量的加法和减法法则，结合平行四边形的性质，即可得到答案．
【解答】解：如图所示：
对于A，平行四边形ABCD对边平行且相等，所以，故A正确；
对于B，利用向量加法的平行四边形法则得，故B正确；
对于C，利用向量减法的三角形法则得，故C正确；
对于D，∵与是相等的非零向量，∴，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（2024 黑龙江）已知向量，化简（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算计算可得．
【解答】解：原式．
故选：C．
【点评】本题考查了向量的线性运算，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024春 镇雄县校级期中）给出下面四个推论，其中正确的是（　　）
A．若线段AC＝
AB
+
BC
，则向量
B．若向量，则线段
AC
＝
AB
+
BC
C．若向量与共线，则线段AC＝
AB
+
BC
D．若向量与反向共线，则||＝AB+BC
【考点】平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】由线段AC＝
AB
+
BC
，且点B在线段AC上，即可判断A选项，根据已知条件，结合三角形的性质，即可判断B选项，根据向量共线的性质，即可判断CD选项．
【解答】解：∵线段AC＝
AB
+
BC
，
∴点B在线段AC上，
∴，故选项A正确，
在△ABC中，，但由三角形的性质可知，AC≠AB+BC，故选项B错误，
向量与反向共线时，则AC≠AB+BC，故选项C错误，
向量与反向共线，||，故选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了向量的相等，以及向量共线时长度的变化，属于基础题．
（多选）7．（2024春 新都区期末）△ABC的内心为P，外心为O，重心为G，若|AB|＝|AC|＝5，|BC|＝6，下列结论正确的是（　　）
A．△ABC的内切圆半径为r
B．655
C．655
D．|OG|
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】取BC边的中点E，得内心P、外心O、重心G都在中线AE上，且AE⊥BC，由三角形面积相等求出r可判断A；求出可判断B；由余弦定理得cosA，平方关系求出sinA，得△ABC的外接圆半径|AO|利用可判断C；利用|OG|＝|AO|﹣|AG|可判断D．
【解答】解：取BC边的中点E，连接AE，
因为|AB|＝|AC|＝5，所以内心P、外心O、重心G都在中线AE上，
且AE⊥BC，，内切圆半径r，
对于A，由，
得，解得，故A正确；
对于B，因为，，所以，
，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
0＜A＜π，所以，
所以△ABC的外接圆半径，
，所以，
所以
，故C错误；
对于D，△ABC的外接圆半径，
，所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）8．（2024春 仓山区校级期末）△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足，则（　　）
A．O，P，G三点共线 B．
C． D．点P在△ABC的内部
【考点】平面向量的加减混合运算；三点共线．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【解答】解：∵点G为△ABC的重心，∴，
，∴，
∴O，P，G三点共线，故A正确，B错误；
∵，
∴
，
∴，
即，故C正确；
∵，∴点P的位置随着点O位置的变化而变化，
故点P不一定在△ABC的内部，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查向量的线性表示，属于中档题．
（多选）9．（2024春 北京期末）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2），且，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则m＝n
B．若，则2m+n＝1
C．若点P在直线BC上，则3m+3n＝5
D．若在方向上的投影向量的坐标是（2，﹣1），则m﹣n＝﹣3
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣3，2），
则，
所以，
若，则，故A正确；
，
所以，所以，所以2m+n＝2，故B错误；
，
则，所以3m+3n＝5，故C正确；
因为在方向上的投影向量是（2，﹣1），
所以，所以﹣2（1﹣m﹣2n）+2m+n﹣1＝﹣5，即4m+5n＝﹣2，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024春 光山县校级期中）设O为△ABC内一点，且满足关系式，则S△BOC：S△AOB：S△COA＝　3：2：1　．
【考点】平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
【专题】作图题；数形结合；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】3：2：1
【分析】化简可得（）+（22 ），设M，N分别为AB、AC的中点，则2，再根据等底的三角形面积之比等于高之比即可求解．
【解答】解：
由题可得233（）+2（ ）+（），则32，
即（）+2（ ），
设M，N分别为AB、AC的中点，∵2，2
则2，设S△ABC＝S，
如图所示，
∵MN为△ABC的中位线，
∴S△BOCS，
∵M是AB的中点，
∴S△CAMS，
又ON：OM＝1：2，
∴S△COAS△CAMS，
∵N是AC的中点，
∴S△ANBS，
又ON：OM＝1：2，
∴S△AOBS△ANBS，
故S△BOC：S△AOB：S△COA＝3：2：1．
【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查三角形面积比的求解，考查数形结合思想，属于中档题．
11．（2024秋 龙岗区校级期中）运算的结果是 　　．
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】常规题型；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，利用平面向量的加减运算法则化简，可得答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的加减法则及其应用，考查了概念的理解能力，属于基础题．
12．（2024春 麒麟区期末）在复平面内，复数2+4i与1+5i所对应的向量分别为和，其中O为坐标原点，则对应的复数为 　﹣1+i　．
【考点】平面向量的减法；复数对应复平面中的点．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】﹣1+i．
【分析】首先求出和的坐标，从而求出的坐标，即可得解．
【解答】解：∵复数2+4i与1+5i所对应的向量分别为和，
∴，，
∴，即对应的复数为﹣1+i．
故答案为：﹣1+i．
【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2023秋 裕安区校级期末）化简．
（1）；
（2）．
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】进行向量的数乘运算即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【点评】本题考查了向量的数乘运算，属于容易题．
14．（2023秋 双清区校级期末）化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【考点】平面向量的加减混合运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式；
【点评】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题．
15．（2024春 喀什市期中）化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
【考点】平面向量的加减混合运算；平面向量的加法．
【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（2）（3）可按照平面向量的加法、减法法则计算，即得答案．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）．
【点评】本题考查了平面向量的加、减法运算问题，是基础题．
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