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期末热点.重难点 复数的概念及其几何意义
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 常德校级期末）已知i为虚数单位，则复数z＝|i|+（1﹣i）2的虚部是（　　）
A．﹣i B．﹣1 C．﹣2i D．﹣2
2．（2024秋 遵义期末）已知i为虚数单位，则|1﹣i|＝（　　）
A． B． C．1 D．
3．（2024秋 洛阳期末）若复数z在复平面上对应点的坐标为，为z的共轭复数，则|z|＝（　　）
A．0 B．2 C． D．4
4．（2025 张家口模拟）复数z满足（z+2）i＝1﹣i（i为虚数单位），则z的共轭复数的模长是（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．
5．（2025 安阳二模）已知，则z在复平面内的坐标是（　　）
A．（4，3） B．（4，﹣3）
C．（4，3）或（4，﹣3） D．（4，3）或（﹣4，3）
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 雷州市校级期末）已知复数z在复平面对应的点为A，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．z的虚部为 D．
（多选）7．（2024秋 迎江区校级期末）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，则（　　）
A．若z＝z1+z2，则
B．若z1，z2均不为0，则
C．若，则|z1z2|＝|z1z|
D．若，则z1 z2＝0
（多选）8．（2024秋 内蒙古期末）已知复数z满足z＝1+2i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）
A．|z|＝|| B．i
C．z3的虚部为﹣2 D．z2﹣2z+5＝0
（多选）9．（2024秋 聊城期末）已知复数，则（　　）
A．
B．|z|＝5
C．zi＝3﹣2i
D．z在复平面内对应的点位于第一象限
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 连云港期末）在复平面内，复数z＝1﹣2i的模为　 　．
11．（2025 新余校级模拟）请写出一个非0复数z满足：　 　．
12．（2024秋 上海校级期末）若复数z满足|z+2i|＝1（其中i为虚数单位），则|z|的最小值为　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 浦东新区校级期中）已知复数z＝3+mi其中m∈R．
（1）设z1＝（1+3i）z，若z1是纯虚数，求实数m的值；
（2）设m＝﹣1，分别记复数z，z2在复平面上对应的点为A、B，求OA与OB的夹角大小．
14．（2024春 固始县校级期末）已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．
（1）当复数z为实数时，求m的值；
（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；
15．（2024春 共和县校级期中）在复平面内，复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a﹣4）i（其中a∈R）．
（1）若复数z为实数，求a的值；
（2）若复数z为纯虚数，求a的值．
期末热点.重难点 复数的概念及其几何意义
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 常德校级期末）已知i为虚数单位，则复数z＝|i|+（1﹣i）2的虚部是（　　）
A．﹣i B．﹣1 C．﹣2i D．﹣2
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】利用乘方运算和模长计算可得z＝1﹣2i，可知虚部为﹣2．
【解答】解：根据题意可得z＝|i|+（1﹣i）2＝1+12﹣2i+i2＝1﹣2i，
易知z＝1﹣2i的虚部是﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查乘方运算和模长计算，属于基础题．
2．（2024秋 遵义期末）已知i为虚数单位，则|1﹣i|＝（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】复数的模．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】利用复数的模求解即可．
【解答】解：|1﹣i|．
故选：B．
【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．
3．（2024秋 洛阳期末）若复数z在复平面上对应点的坐标为，为z的共轭复数，则|z|＝（　　）
A．0 B．2 C． D．4
【考点】共轭复数；复数的模．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知求得z，进一步得到，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵复数z在复平面上对应点的坐标为，
∴z，则，可得z2i．
∴．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
4．（2025 张家口模拟）复数z满足（z+2）i＝1﹣i（i为虚数单位），则z的共轭复数的模长是（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．
【考点】共轭复数；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】利用复数乘除运算化简，求出z和，再根据复数模的公式求出的模．
【解答】解：由（z+2）i＝1﹣i，得zi+2i＝1﹣i，
∴，
∴，则．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
5．（2025 安阳二模）已知，则z在复平面内的坐标是（　　）
A．（4，3） B．（4，﹣3）
C．（4，3）或（4，﹣3） D．（4，3）或（﹣4，3）
【考点】复数对应复平面中的点；共轭复数．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），根据已知求出a、b可得z，再根据复数z的几何意义可得答案．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由，
得，a+bi+a﹣bi＝8，解得a＝4，b＝3，或a＝4，b＝﹣3，
则z＝4+3i，或z＝4﹣3i，则z在复平面内的坐标是（4，3）或（4，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 雷州市校级期末）已知复数z在复平面对应的点为A，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．z的虚部为 D．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数；复数的模．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用复数的四则运算化简复数z，利用共轭复数的定义判断A；利用复数的模长公式判断B；利用复数的概念判断C；利用复数的几何意义判断D．
【解答】解：由，得，
故，故A错误；
，故B正确；
z的虚部为，故C错误；
由复数的几何意义可得，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
（多选）7．（2024秋 迎江区校级期末）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，则（　　）
A．若z＝z1+z2，则
B．若z1，z2均不为0，则
C．若，则|z1z2|＝|z1z|
D．若，则z1 z2＝0
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），则，，
对于A，z＝z1+z2＝（a+c）+（b+d）i，，
则，即，所以A选项正确；
对于B，z1z2＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i，
，，则，
则不一定恒成立，所以B选项不正确；
对于C，
，
即，即|z1z2|＝|z1z|，所以C选项正确；
对于D，若，
即，z1 z2不一定为0，所以D选项不正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，向量的坐标运算，以及向量模公式，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 内蒙古期末）已知复数z满足z＝1+2i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）
A．|z|＝|| B．i
C．z3的虚部为﹣2 D．z2﹣2z+5＝0
【考点】复数的实部与虚部；复数的模．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用复数的运算逐项判断即可．
【解答】解：由z＝1+2i，得，，，故A正确；
，故B错误；
z3＝（1+2i）（1+2i）2＝（1+2i）（﹣3+4i）＝﹣11﹣2i，则z3的虚部为﹣2，故C正确；
z2﹣2z+5＝（1+2i）2﹣2（1+2i）+5＝0，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
（多选）9．（2024秋 聊城期末）已知复数，则（　　）
A．
B．|z|＝5
C．zi＝3﹣2i
D．z在复平面内对应的点位于第一象限
【考点】复数对应复平面中的点；共轭复数；复数的模．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BD
【分析】由复数的运算判断A，C，由复数模的运算判断C，由复数的几何意义判断D．
【解答】解：因为，
所以，故A错误；|z|＝5，故B正确；
zi＝﹣3+4i，故C错误；z在复平面内对应的点为（4，3），位于第一象限，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 连云港期末）在复平面内，复数z＝1﹣2i的模为　　．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据复数的模长公式即可求解．
【解答】解：z＝1﹣2i，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的模，属于基础题．
11．（2025 新余校级模拟）请写出一个非0复数z满足：　（答案不唯一）　．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】先设复数，再根据共轭复数及复数的乘法运算得出，即可得出复数．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R，a，b不同时为0），
则，，
由于z≠0，所以，满足此等式即可．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
12．（2024秋 上海校级期末）若复数z满足|z+2i|＝1（其中i为虚数单位），则|z|的最小值为　1　．
【考点】复数的模．
【专题】数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意画出复数z对应点的轨迹，数形结合可得答案．
【解答】解：由|z+2i|＝1，得|z﹣（﹣2i）|＝1，
∴复数z对应的点在以（0，﹣2）为圆心，以1为半径的圆周上，如图，
∴当z＝﹣i时其模最小，此时|z|＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 浦东新区校级期中）已知复数z＝3+mi其中m∈R．
（1）设z1＝（1+3i）z，若z1是纯虚数，求实数m的值；
（2）设m＝﹣1，分别记复数z，z2在复平面上对应的点为A、B，求OA与OB的夹角大小．
【考点】复数对应复平面中的点；纯虚数．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）由已知可得z1，根据z1是纯虚数即可求解；
（2）当m＝﹣1时求解z，z2，可得复平面上对应的点A、B的坐标，利用向量夹角公式即可求解．
【解答】解：（1）∵z＝3+mi，
∴z1＝（1+3i）z＝（1+3i）（3+mi）＝（3﹣3m）+（m+9）i，
由z1是纯虚数，得，解得m＝1；
（2）当m＝﹣1时，z＝3﹣i，则z2＝（3﹣i）2＝8﹣6i，
可得A（3，﹣1），B（8，﹣6），
∴，，
则cos．
∴与的夹角为，即OA与OB的夹角为．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2024春 固始县校级期末）已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣2m）i，m∈R．
（1）当复数z为实数时，求m的值；
（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；
【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）m＝0或m＝2；（2）m＝3．
【分析】（1）由复数的概念列出方程即可求；
（2）由复数z为纯虚数得到m的关系式即可求．
【解答】解：（1）∵复数z为实数，∴m2﹣2m＝0，∴m＝0或m＝2；
（2）∵复数z为纯虚数，∴，∴m＝3．
【点评】本题考查复数的概念和计算能力，属于基础题．
15．（2024春 共和县校级期中）在复平面内，复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a﹣4）i（其中a∈R）．
（1）若复数z为实数，求a的值；
（2）若复数z为纯虚数，求a的值．
【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．
【专题】方程思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）a＝4或a＝﹣1；
（2）a＝2．
【分析】（1）复数z为实数，则a2﹣3a﹣4＝0，求解即可；
（2）复数z为纯虚数，则，求解即可．
【解答】解：（1）复数z为实数，则a2﹣3a﹣4＝0，即a＝4或a＝﹣1；
（2）若复数z为纯虚数，则，解得a＝2．
【点评】本题考查了复数的概念，属基础题．
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