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期末热点.重难点 平面向量基本定理及坐标表示
一．选择题（共5小题）
1．（2025 浙江模拟）已知向量（1，4），（x，2），若∥（3），则x＝（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
2．（2024秋 房山区期末）已知向量，，则“a＝﹣4”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2024秋 岳阳期末）已知向量，，若与方向相同，则x＝（　　）
A．0 B．1 C． D．
4．（2024秋 上城区校级期末）如图，在△ABC中，，P是BN的中点，若，则m+n＝（　　）
A． B．1 C． D．
5．（2024秋 深圳期末）若向量（2，lgm），（﹣4，﹣6），且∥，则m＝（　　）
A．1000 B． C． D．100
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 锦州期末）已知，，与夹角为，若且（x≥0，y≥0），则x+y的可能值为（　　）
A．2 B． C． D．1
（多选）7．（2024秋 白城校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且mn，则（　　）
A．m B．m C．n D．n
（多选）8．（2024春 平罗县校级期中）已知点A（0，0），B（2，1），C（2，0），则下列结论正确的是（　　）
A．△ABC是直角三角形
B．若点D（4，1），则四边形ACDB是平行四边形
C．若，则P（4，2）
D．若，则P（4，2）
（多选）9．（2024春 禹王台区校级期中）已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 安徽期末）已知向量，若，则λ＝ 　 　．
11．（2024秋 福州校级期末）如图，在△ABC中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 　 　．
12．（2024秋 黑龙江期末）已知向量，，则 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 沈阳期末）如图，在△ABC中，点P满足，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
14．（2024春 宁县校级期中）如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为（2，1）、（﹣3，2）、（﹣1，3）．
（1）写出向量，的坐标；
（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
15．（2024春 永昌县校级期中）已知向量．
（1）当k为何值时，与垂直？
（2）当k为何值时，与平行？
期末热点.重难点 平面向量基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 浙江模拟）已知向量（1，4），（x，2），若∥（3），则x＝（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据向量共线的性质求解即可．
【解答】解：因为向量（1，4），（x，2），
所以33（1，4）﹣（x，2）＝（3﹣x，10），
又∥（3），
所以1×10﹣4（3﹣x）＝0，解得x．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，考查计算能力，属于基础题．
2．（2024秋 房山区期末）已知向量，，则“a＝﹣4”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；充分不必要条件的判断．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：因为向量，，，
所以a2＝2×8，即a＝±4，
故“a＝﹣4”是“”的充分而不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3．（2024秋 岳阳期末）已知向量，，若与方向相同，则x＝（　　）
A．0 B．1 C． D．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由向量共线的坐标条件求解，再验证方向即可．
【解答】解：向量，，
由与方向相同，则两向量共线，
故﹣2＝﹣x2，解得，
当时，，，此时两向量方向相反．
当时，，，此时两向量方向相同；
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4．（2024秋 上城区校级期末）如图，在△ABC中，，P是BN的中点，若，则m+n＝（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】平面向量的基本定理；平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，，P是BN的中点，
∴，
∴m，n，
∴m+n，
故选：D．
【点评】本题考查向量的线性运算，属基础题．
5．（2024秋 深圳期末）若向量（2，lgm），（﹣4，﹣6），且∥，则m＝（　　）
A．1000 B． C． D．100
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：向量（2，lgm），（﹣4，﹣6），且∥，
则﹣4lgm＝2×（﹣6），解得m＝1000．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 锦州期末）已知，，与夹角为，若且（x≥0，y≥0），则x+y的可能值为（　　）
A．2 B． C． D．1
【考点】平面向量的基本定理；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】CD
【分析】由题意将平方可得x2+y2+xy＝1，再由基本不等式可求得x+y的取值范围，从而求得．
【解答】解：由，，与夹角为，
所以，
因为且（x≥0，y≥0），
所以4x2+4y2+4xy，
即x2+y2+xy＝1，所以，
所以，所以0，当且仅当x＝y时等号成立，
结合选项可得C，D符合题意．
故选：CD．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 白城校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且mn，则（　　）
A．m B．m C．n D．n
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】直接利用向量的三角形、平行四边形法则求解．
【解答】解：（）
∴，n．
故选：AD．
【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）8．（2024春 平罗县校级期中）已知点A（0，0），B（2，1），C（2，0），则下列结论正确的是（　　）
A．△ABC是直角三角形
B．若点D（4，1），则四边形ACDB是平行四边形
C．若，则P（4，2）
D．若，则P（4，2）
【考点】平面向量的基本定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角形的形状判断；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项．
【解答】解：因为，所以，△ABC是直角三角形，A正确；
若点D（4，1），则，所以四边形ACDB是平行四边形，B正确；
若，则P（4，1），C错误；
若，则B是AP中点，所以P（4，2），D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了向量垂直、平行的坐标表示和线性运算的坐标表示，属于基础题．
（多选）9．（2024春 禹王台区校级期中）已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】平面向量的基本定理；三角形五心；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的加法．
【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用重心的性质，再结合平面向量的线性运算法则和基本定理进行判断即可．
【解答】解：A，∵M为△ABC的重心，未必为该三角形的外心，∴不一定有||＝||＝||，故A错误，
B，∵M为△ABC的重心，D为BC的中点，∴2，
∵2，∴，故B正确，
C，∵M为△ABC的重心，∴（），故C错误，
D，∵M为△ABC的重心，∴，∴S△BMCS△ABC，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查平面向量的线性运算法则以及基本定理，重心的性质，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 安徽期末）已知向量，若，则λ＝ 　3　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】利用共线向量的坐标表示，列式计算得解．
【解答】解：若，向量，
则﹣2（2﹣λ）＝λ﹣1，解得λ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
11．（2024秋 福州校级期末）如图，在△ABC中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 　　．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由平面向量的线性运算可得，再由C，P，D三点共线可得到参数m的方程，解之即可．
【解答】解：因为，所以，
所以，
又因为C，P，D三点共线，
所以，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算与基本定理，属于基础题．
12．（2024秋 黑龙江期末）已知向量，，则 　　．
【考点】平面向量数乘和线性运算的坐标运算；平面向量的模．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】先计算向量的坐标，再根据模长公式计算即可．
【解答】解：由，，
可得，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 沈阳期末）如图，在△ABC中，点P满足，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；不等式．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，推导出，，然后根据E、O、F三点共线，建立关于x的方程，解之可得的值；
（2）根据题意，可得，，结合E、O、F三点共线，算出2λ+μ＝3，然后利用基本不等式求出的最小值．
【解答】解：（1）因为，所以，
因为O是线段AP的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为E、O、F三点共线，所以，解得，即，所以；
（2）因为，（1+λ），同理可得（1+μ），
由（1）的结论，可知，所以，
因为E，O，F三点共线，所以，即2λ+μ＝3，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、两个向量共线的条件、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
14．（2024春 宁县校级期中）如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为（2，1）、（﹣3，2）、（﹣1，3）．
（1）写出向量，的坐标；
（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
【考点】平面向量的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣3，2），（2，1）；
（2）（4，2）．
【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；
（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解．
【解答】解：（1），．
（2）设D（x，y），所以，
四边形ABCD是平行四边形，
所以，所以，解得，
所以D（4，2）．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
15．（2024春 永昌县校级期中）已知向量．
（1）当k为何值时，与垂直？
（2）当k为何值时，与平行？
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算出，后，再根据向量垂直的坐标公式求解即可；
（2）根据向量平行的坐标公式求解即可．
【解答】解：（1）因为，
，
，
若可得，
即43k﹣46＝0，得，
即时，与垂直．
（2）当时，有（2k﹣4）×5﹣（3k+2）×14＝0，解得，
即时，与平行．
【点评】本题主要考查向量共线、垂直的性质，属于基础题．
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