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第5章《分式与分式方程》全章知识点复习题
【题型1 分式有、无意义及值为0的条件】
1.要使分式的值为0，则x应满足（ ）
A．x＝2 B． C． D．
2.当 时，分式没有意义．
3.已知式子有意义，则的取值范围是 ．
4.已知分式的值为正数，则a的取值范围 ．
【题型2 分式的基本性质】
1.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.系数化成整数且结果化为最简分式：= ．
3.下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
4.若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 分式在规律问题中的运用】
1.按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（ ）
A． B． C． D．
2.小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，， ，，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．
3.观察下列等式：，，，，…根据其蕴含的规律得（ ）
A． B． C． D．
4.已知一列分式，，，，,,…，观察其规律，则第n个分式是 ．
【题型4 分式的混合运算】
1.若 的运算结果为整式，则“”中的式子可能为（　　）
A． B． C． D．
2.计算： ．
3.计算：
(1) (2)．
4.按要求填空：
小华计算的过程如下：
解：
…………………………第一步
………………………………………第二步
…………………………………………………第三步
……………………………………………………第四步
(1)小华计算的第一步是_______（填所有符合要求的序号：①通分，②约分，③因式分解，④合并同类项），计算过程的第_______步出现错误；
(2)直接写出正确的计算结果是_______．
【题型5 分式的化简求值】
1.已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2.先化简，再求值：，其中，是方程的根．
3.如果 ，那么 的值为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
4.已知，则 ．
【题型6 整数指数幂的运算】
1.计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（ ）
A． B． C． D．
2. 计算∶ ．
3.等式的条件是（ ）
A． B． C． D．
4.计算： ．
【题型7 分式运算的实际应用】
1.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法：
①；②；③；④P是Q的倍．其中正确的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒
A． B． C． D．
3.一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要 小时．
4.甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买，乙每次用去600元，设两次购买的面粉单价分别为a元/kg和b元/kg（a，b 是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是 元/kg，乙所购面粉的平均单价是 元/kg；在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为 元/kg．（结果用含a， b的代数式表示，需化为最简形式）
【题型8 解分式方程】
1.定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ．
2.解方程，两边同乘后得到的式子为（ ）
A． B．
C． D．
3.若分式与的值相等，则m的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
4.分式方程的解为 ．
【题型9 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】
1.若关于x的方程无解，则a的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或或
2.已知关于x的分式方程的解是整数，则整数m的值是 ．
3.关于x的方程的解大于，求m的取值范围．
4.学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行．
(1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______；
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
【题型10 利用分式方程解决实际问题】
1.某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结果提前12天完成了该项绿化工程．
(1)甲施工队每天完成多少？
(2)高铁站给付工程款的标准是15元/，求甲、乙施工队分别可得多少工程款．
2.某中学在开学前去商场购进A，B 两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A 款书包共花费 6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A 款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B 款书包比购买一个A 款书包多花30元． 求购买一个A 款书包、 一个B 款书包各需多少元？
3.甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度．
4.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要天，若由甲队先做天，剩下的工程由甲、乙合作天可完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天
(2)甲队施工一天，需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元．若该工程计划在天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱 还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱
(3)在（2）的条件下怎么安排两队工作，既可以在规定时间内完成任务又使工程款最少 （两队工作天数取整数天）
【题型11 与分式方程有关的探究性问题】
1.先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
，，，…
(1) ．
(2)探究 ．（用含有n的式子表示）
(3)若的值为，求n的值．
2.综合与探究
我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若为“十字分式方程”，则______，______．
(2)若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的“十字分式方程”的两个解分别为（，且），求的值．
3.增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m为何值时，方程有增根．
探究2：m为何值时，方程的根是．
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______．
4.有这样一个问题：
计算代数式(其中≠0)的值后填入下表．并根据表格所反映出的(其中≠0)的值与之间的变化规律进行探究．
…… 0.25 0.5 1 10 100 1 000 10 000 ……
…… ……
下面是小东计算代数式(其中≠0)的值后填入表格，并根据表格进行探究的过程，请补充完整：
…… 0.25 0.5 1 10 100 1 000 10 000 ……
…… 2 1 ……
填空：
（1）上表是(其中≠0)与的几组对应值．直接写出时，代数式 的值为 ；
（2）随着值的增大，代数式的值是 （填“增大”或“减小”）；
（3）当值无限增大时，代数式的值无限趋近于一个数，这个数是 ；
（4）当代数式的值为，则对应的的值是 ．（用含代数式表示）
参考答案
【题型1 分式有、无意义及值为0的条件】
1.B
【分析】本题考查了分式值为零的条件．利用分式的值为零则分子为零，分母不等于0，进而得出答案．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：．
故选：B．
2.
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分母等于即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键．
【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
3.且
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解决此题的关键．利用使分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得且，
解得且．
故答案为：且．
4.且
【分析】根据分式的值为正数，那么分子与分母的符号相同，结合分子大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为正数，，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【题型2 分式的基本性质】
1.C
【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可．
【详解】解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误．
故选：C．
2.
【分析】利用分式的性质，分子分母同乘100，再进行化简即可．
【详解】解：根据分式的基本性质得：，
故答案为：．
3.C
【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键．
根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式”逐项判断即可．
【详解】解：A. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；
B. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；
C. 的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意；
D. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
4.C
【分析】本题考查了分式的性质，根据题意逐项把各选项分式字母的值均扩大为原来的2倍，约分后与原分式进行比较，从而可判断分式的值是否发生变化，从而可得答案．
【详解】解：A. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；
B. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；
C. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项符合题意；
D. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意．
故选：C．
【题型3 分式在规律问题中的运用】
1.B
【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式．
【详解】解：第1个分式的分子是，
第2个分式的分子是，
第3个分式的分子是，
；
第n个分式的分子是；
第1个分式的分母是，
第2个分式的分母是，
第3个分式的分母是，
；
第n个分式的分母是，
第n个分式是，
故选：B．
2.
【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案．
【详解】解：由给出的式子的特点，
即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和，
由此可得第6个式子是．
故答案为．
3.D
【分析】根据所给的等式的形式总结出规律，然后进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
……
由此看出，，，，……（为正整数）的值是按照n，，每3个一循环，依次循环下去，
，
故选：D．
4.
【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子．
【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：
分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：=
分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为：
故答案为：．
【题型4 分式的混合运算】
1.C
【分析】本题考查了分式的混合运算，把四个选项中的式子代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【详解】解：A．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
B．，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
C．，是整式，故本选项符合题意；
D．是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2.
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，根据分式的基本运算法则，先算括号内，再算除法.
【详解】解：
，
故答案为：
3.（1）解：原式，
；
（2）解：原式
．
4.（1）解：由题意得，小华计算的第一步是通分和因式分解，计算过程是第二步出错的，在计算同分母分式减法的时候，数字1前面的符号没有变号．
故答案为：①③；二；
（2）解：
，
故答案为：．
【题型5 分式的化简求值】
1.D
【分析】本题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键．
由已知可以得到，把这个式子代入所要求的式子，化简就得到所求式子的值．
【详解】解：已知，可以得到，
即，
则原式，
故选：D．
2.解：
，
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴原式．
3.D
【分析】本题考查了分式求值，根据题意得出代入分式进行计算即可求解．
【详解】解：∵
∴，即
∴
故选：D．
4.
【分析】本题考查了分式的化简求值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
令题目中三个式子相加化简得出，再将分子分母同时除以，化简带入数值即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
根据题意可得，
∴，
故答案为：．
【题型6 整数指数幂的运算】
1.D
【分析】根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：D
2.
【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，分式的混合运算，结合分式混合运算的运算法则进行求解即可．
【详解】解：
3.A
【分析】本题考查了负整指数幂的条件，解答本题的关键是掌握负整指数幂：．
根据负整指数幂的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：，
故选：A．
4.2
【分析】本题考查了积的乘方、负整数指数幂、单项式的乘除，先根据积的乘方和负整数指数幂进行计算，再根据单项式的乘除运算法则计算即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【题型7 分式运算的实际应用】
1.B
【分析】分别表示出，，再计算出和，即可判断．
【详解】解：由题意可得：，，
∵
，
∵，
∴，即，
∵
故③④正确，共2个，
故选B．
2.A
【分析】本题考查了分式的运算的应用，根据“现在购买的数量原来购买的数量”和“购买数量总价单价”列出代数式．
【详解】解：依题意，
故选：A．
3.
【分析】由题意知，甲单独做一天可完成工程总量的，乙单独做一天可完成工程总量的，二人合作一天可完成工程总量的，工程总量除以二人合作一天可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需天数．
【详解】解：设该工程总量为1，
则二人合作完成该工程所需天数为，
故答案为：．
4.
【分析】根据题意可用含的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值．
【详解】解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：
，
乙购买面粉的平均单价是：
，
在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：
，
，
高的平均单价与低的平均单价的差值为：．
故答案为：；；．
【题型8 解分式方程】
1.
【分析】本题考查实数新定义运算，解分式方程，根据题意列得分式方程，解方程即可．
【详解】解：由题意可得，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，
故答案为：．
2.B
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤去分母进行求解即可．
【详解】解：，
两边同乘后得：，
故选：B．
3.C
【分析】本题考查解分式方程及分式有意义的条件，考查学生的运算能力、推理能力．
根据题意得，解得，再根据分式有意义的条件，得出，即，求解即可．
【详解】解：由题得：，
解得．
又∵，
∴，则．
故选：C．
4.
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后检验即可得出答案，熟练掌握运算步骤是解此题的关键．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为：，
故答案为：．
【题型9 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】
1.D
【分析】本题考查了分式方程无解的情况求参数，先将分式方程去分母化简，再根据原方程无解求出或，，代入化简后的方程即可得出最后结果．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得，
整理得：，
原方程无解，
或或，
或，，
将或代入，
得：或，
综上可知2或或，
故选：D．
2.1或3或4
【分析】本题考查分式方程的解，先将m当作已知解方程，根据方程的解为整数可得m的取值，再结合分母不为0舍去不符合的m的值即可求解．
【详解】解：
解得：，
∵关于x的分式方程的解是整数，
∴m的取值为1，0，3或4，
∵，，
∴m的取值为1或3或4，
故答案为：1或3或4．
3.且
【分析】本题考查了解分式方程，先化简分式方程，得出用含的代数式表示，再结合关于x的方程的解大于，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∵关于x的方程的解大于，
∴，
解得，
∵
∴
解得
∴m的取值范围为且．
4.（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）；
（2）解方程，得，
方程的解为非负数，
，
，
，
，
且；
（3）原方程化简为：
原方程无解，
或
①当时，解得；
②当时，解得
当或时原方程无解．
【题型10 利用分式方程解决实际问题】
1.（1）解：设甲施工队每天完成的绿化面积为 ，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
答：甲施工队每天完成的绿化面积为；
（2）解：∵，
∴，，
∴甲施工队完成了任务，
乙施工队完成了任务，
∴甲施工队可得工程款（元），
乙施工队可得工程款（元），
答：甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元．
2.解：设购买一个A 款书包需x元，则购买一个B 款书包需元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A 款书包需50元，则购买一个B 款书包需80元．
3.解：设普通列车的平均速度为，则高铁列车的平均速度为，
解得：，
经检验：是原分式方程解，且符合实际意义，
∴，
答：高铁列车的平均速度为．
4.（1）解：设乙队单独完成这项工程需要天，
∴，
解得，，
检验，当原分式方程的分母不为零，有意义，
∴乙队单独完成这项工程需要天；
（2）解：设甲、乙两队合作需要天完成，
∴，
解得，，即甲、乙两队合作需要天完成，
∴甲、乙合作需要支付的工程款为：（万元），
甲队单独完成需要支付的工程款为：（万元），
乙单独完成需要支付工程款为：（万元），但乙的工作时间不符合要求，
∴在计划天的工作时间里，甲、乙合作完成该工程更省钱；
（3）解：∵计划工作时间为天，
∴设乙队工作天数为天，甲队工作天数为天，
∴，
解得，，
∵两队工作天数取整数天，
∴甲队至少工作天，
∴乙队工作时间为（天），
∴需要支付的工程款为：（万元），
∴安排甲队工作天，乙队工作天，既可以在规定时间内完成任务又使工程款最少．
【题型11 与分式方程有关的探究性问题】
1.（1）解：，
，
，
……
以此类推可得，
∴
，
故答案为：；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
．
∵的值为，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解
∴．
2.（1）解：（1）可化为，
，．
故答案为：；
（2）解：由已知得，，
；
（3）解：原方程变为，
，
∵，且，
，，
，，
．
3.解：探究1：方程两边都乘，
得
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得，
当时，，
故m的值是．
探究2：方程两边都乘，
得
∵原方程的根为，
，
探究3：由（1）（2）得
，
方程的三个对应根为且，
∴，
=15-8b，
探究4：，
，
整理得，
故答案为．
4.（1）当时，
，
故答案为：；
（2）随着值的增大，代数式的值是减小，
故答案为：减小；
（3）当x值无限增大时，代数式的值无限趋近于一个数，这个数是0，
故答案为：0；
（4）由题意得：，
去分母得：，
∴，
经检验，是原方程的解．
故答案为：．

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