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第四章《三角形》全章知识点复习题
【题型1 三角形的三边关系的应用】
1.一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
2.若，，是的三边，试化简： ．
3.长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（　　）种选法．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4.如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ）
A．14 B．16 C．13 D．11
【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】
1.用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为 个．
2.等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4或7 B．4 C．6 D．7
3.周长为12，各边长均为整数的等腰三角形的三边长分别为 ．
4.在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．
【题型3 三角形的高的有关的问题】
1.如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ．
2.如图，在中，，，，，，则的长为 ．
3.如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 .

4.如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？
【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】
1.如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2.如图，是的中线，是的中点．若，则 ．
3.如图，已知，，分别是，，的中点，，，分别是，，的中点，若的面积为4，则的面积为 ．
4.如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ．
【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】
1.已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：

(1)BD＋CD＜AB＋AC；
(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．
2.如图，已知点是内一点， 连接并延长交于点，求证：．

3.如图，设为内一点，且，求证：．

4.如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证：
(1)；
(2)．
【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】
1.如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ．
2.如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．

4.如图，把沿折叠，使点A落在点D处，
(1)若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【题型7 直角三角形的性质的应用】
1.如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
2.如图，直线，于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ．
4.综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数；
(2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系．
【题型8 三角形的稳定性】
1.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，运用的知识是 ．
2.下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形 C．长方形 D．平行四边形
3.2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射圆满成功，在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的 ．
4.要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉 根木条．
【题型9 利用全等三角形的性质求角】
1.如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）

A．105° B．100° C．110° D．115°
2.在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ．
3.如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，＝ °．
4.如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【题型10 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】
1.如图，CA⊥BE，且△ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是 ．
2.如图，ABC≌EFD，则BC与DF的关系是（ ）
A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等
3.如图，已知，点是上一点，交于点．
（1）与CF的位置关系是 ；
（2）若，，则的长为 ．
4.如图所示，已知于点，．

(1)若，，求的长．
(2)试判断和的关系，并说明理由
【题型11 利用全等三角形的性质求线段的长】
1.边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 .
2.如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.如图，，点在上，与交于点，．

（1）若，则的长为 ；
（2）连接，若，则的值为 ．
4.在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm．
【题型12 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】
1.如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角．
(1)，对应边是 ，对应角是 ；
(2)，对应边是 ，对应角是 ；
(3)，对应边是 ，对应角是 ；
(4)，对应边是 ， 对应角是 ．
3.如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是 ．

4.如图，和是分别沿着，边翻折形成的．若．则的度数（ ）
A． B． C． D．
【题型13 添加条件判断三角形全等】
1.如图，已知，，增加下列条件，其中不能使的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知的六个元素，则根据甲、乙、丙3个三角形中的条件能和全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．只有乙 D．只有丙
3.给出下列四组条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4.如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）
【题型14 全等三角形的判定与性质的综合应用】
1.（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由．
（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由．
2.如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．

(1)与全等吗？请说明你的理由；
(2)若，，的面积为3，请直接写出的面积．
3.如图，在中，的平分线交于点D．
(1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，）
(2)求证：；
(3)已知，的周长为15，求的周长．
4.在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：
(1)若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．
(2)若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．
【题型15 “倍长中线法”构造全等三角形】
1.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．
②求证：．
2.在△ABC中，AB=3，AC=4，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，则AD的长的取值范围为（　　）
A．1＜AD＜7 B．2＜AD＜14 C．2.5＜AD＜5.5 D．5＜AD＜11
3.如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ．
4.（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）：
例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．

证明：∵（已知），
∴，．
∵D为边中点，∴．
在与中，
∵，
∴（ 　　 ）
∴（ 　 　）
（2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　 　．
（3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．

【题型16 “截长补短法”证明线段和差问题】
1.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
2.如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）.
3.【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
4.在的高、交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
【题型17 应用全等三角形的性质解决实际问题】
1.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？
2.如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数．
3.如图1，课间，小明与小亮在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争论，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”因为太阳光线是平行的，于是，小聪根据数学老师的解释，画出如图2所示的图形，线段表示小明的身高，线段表示小明的影子，线段表示小亮的身高，线段表示小亮的影子，，太阳光线．请利用全等的原理说明小明与小亮一样高．

4.如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了步到达一棵大树C处，接着又向前走了步到达D处，然后他左转直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．
(1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；
(2)如果小刚一步大约厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离并简述理由．
参考答案
【题型1 三角形的三边关系的应用】
1.A
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解题的关键．先根据三角形的三边关系确定线段的取值范围，进而完成解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴A选项符合题意．
故选：A．
2.
【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边．
【详解】解：∵，，是的三边，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
3.B
【分析】根据任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形．
【详解】选其中3根组成一个三角形，不同的选法有9、6、4；9、6、3；9、4、3；6、4、3；
能够组成三角形的只有：9、6、4；6、4、3；共2种．
故选：B．
4.C
【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】解：已知、、、，
选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为；
故选：C．
【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】
1.2
【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．
【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x根，则第三边是（）根，
根据三角形的三边关系定理得到：，
则， ，
又因为是整数，
∴可以取4或5，
因而三边的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二种情况，
则能摆出不同的等腰三角形的个数为2．
故答案为：2．
2.D
【分析】本题考查了三角形的三条边的关系和一元一次方程的应用的问题．
根据三角形的两边之和大于第三边，可得判断出底边是x，腰长是，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：若x是腰，则底边长是，应该满足两腰之和大于底，但是，
所以只能x是底边，则腰长是，
由题意得，
解得，
，
故答案为：D．
3.2、5、5或4、4、4.
【分析】已知等腰三角形的周长，求三边，则需要列出所有的组合形式，然后根据三角形的构造条件判断哪些符合．
【详解】等腰三角形的三边均为整数且它的周长为12cm，那三边的组合方式有以下几种：
①1，1，10；②2，2，8；③3，3，6；④4，4，4；⑤5，5，2；又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则④⑤符合．
它的三边长为或4，4，4，或2，5，5．
故答案为 2，5，5或4，4，4．
4.16或8
【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16．
【详解】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x
又知BD将三角形周长分为15和21两部分
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8
经验证，这两种情况都是成立的
∴这个三角形的底边长为8或16
故答案为：16或8
【题型3 三角形的高的有关的问题】
1.
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当时，有最小值，利用即可解答．
【详解】解：根据题意得：当时，有最小值，
中，，于E，，
，
，
，
故答案为：．
2.
【分析】本题考查了三角形的面积，直接根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵，
∴都是的高，
∴，
∴，
故答案为：
3.
【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．
【详解】解：在中，，，垂足分别为点和点，与交于点，
，
，，，
，
，
：： ，
故答案是：．
4.解：如图1，当点在上，
中，，，，点是的中点，
，．
的面积等于10，
，
，
即，
．
如图2，当点在上，
是的中点，
．
，
，
当点Ｐ在点Ｅ的左边时，，
当点Ｐ在点Ｅ的右边时，．
综上所述，当或或时，的面积会等于10，
故答案为或或．
【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】
1.B
【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答．
【详解】解：∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
同理，
∴图中阴影部分的面积为，
故选B．
2.
【分析】此题考查三角形中线的性质和三角形面积，先求出，再求出，，则，根据是的中线即可得到答案．
【详解】解：∵F是的中点．，
∴，
∵是的中线，
∴是的中点，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∵是的中线，
∴
故答案为：
3.
【分析】本题考查三角形的中线性质、数字类规律探究，先根据三角形的中线性质和三角形的面积公式求得前几个三角形的面积，然后找到变化规律，进而可求解．
【详解】解：由题意，，
，
，
……，
依次类推，，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
4.12
【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到是解题的关键．连接，根据中点可得，根据可得，设，可得，进而可得，求出的值，进而可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
是的中点，，
，，
又，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：12．
【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】
1.（1）证明：延长BD交AC于E，

在△ABE中，有AB+AE＞BE，
∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，
在△EDC中，有DE+CE＞CD，
∴BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD，
∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，
∴BD＋CD＜AB＋AC；
（2）解：由（1）同理可得：
BD＋CD＜AB＋AC①，
AD＋CD＜AB＋BC②，
BD＋AD＜BC＋AC③，
①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），
∴AD+BD+CD2.证明：∵在中，可得，，
∴可得：．
∵在中，可得③，
，
∴，
∴．
3.证明：延长交于点D，如图所示：

∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
4.（1）证明：∵在和中，，，
∴，即．
（2）由（1）得，，
同理可得，，
∴，
即．
【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】
1.
【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型．连接，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出，再由角平分线及三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
沿折叠，
，，
，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：．
2.A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，先由三角形内角和定理得到，再由折叠的性质得到，接着根据平角的定义可得．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3.
【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质和折叠的性质，由折叠性质可得，根据三角形内角和求出的度数，利用平行线性质求出，等量代换可得即可求出结果．
【详解】解：根据折叠的性质可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：120．
4.（1）解：，理由如下：
∵是由翻折得到，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型7 直角三角形的性质的应用】
1.（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点是中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.C
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据平行线的性质得，则有，再根据垂直的定义得，然后利用，计算的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3.12
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识．延长CB′交OE于点H，先根据平行线的性质求出，进而求出，根据直角三角形两锐角互余求出，进而求出，即可求出．
【详解】解：延长交于点H，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵'平分，
∴，
∴．
故答案为：12
4.（1）解：在中，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）解：在中，，
，
平分.，
，
在中，，
，
，
，
．
（3）解：在中，，
平分，
，
在中
，
，
.
【题型8 三角形的稳定性】
1.三角形的稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性，充分理解三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性作答即可．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
2.B
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性、四边形的不稳定性，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性判断即可．
【详解】解：A、正方形，不具有稳定性，不符合题意；
B、等腰直角三角形，具有稳定性，符合题意；
C、长方形，不具有稳定性，不符合题意；
D、平行四边形，不具有稳定性，不符合题意；
故选：B．
3.稳定性
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可．
【详解】解：在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的稳定性；
故答案为：稳定性．
4.2．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【详解】如图，再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉两根木条，
故答案为：2．
【题型9 利用全等三角形的性质求角】
1.B
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．
【详解】解：延长C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′=∠B′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，
∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，
∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，
∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，
∴∠C′AH=120°，
∴∠C′+∠AHC′=60°，
∴∠BFC=60°+40°=100°，
故选：B．
2.10
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，
或，
当，
∵，
∴这种情况不存在，
当，
∴．
故答案为：10．
故选B．
3.45
【分析】连接，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示：
由图可知与与全等，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：45．
4.D
【分析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是求出．
根据全等三角形对应角相等，得到，根据，求出，在利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选D．
【题型10 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】
1.相等且垂直
【分析】根据全等三角形对应边相等可得BC=DE，全等三角形对应角相等可得∠C=∠E，根据垂直的定义求出∠BAC=90°，然后求出∠B+∠E=90°，从而得到∠BFE=90°，即BC⊥DE．
【详解】延长ED交BC于F,
∵△ABC≌△ADE，
∴BC=DE，∠C=∠E，
∵CA⊥BE，
∴∠BAC=90°，
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-90°=90°，
∴∠B+∠E=90°，
∴∠BFE=180°-（∠B+∠E）=180°-90°=90°，
∴BC⊥DE，
故BC与DE的关系是相等且垂直．
故答案为相等且垂直
2.D
【分析】根据全等三角形的性质可得BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，再由平行线的判定可推出BC∥FD，即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC≌△EFD，
∴BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，
∴BC∥FD，
即BC与DF的关系是：平行且相等；
故选：D．
3.
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）由，得到，即可得出；
（2）由，得到，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
4.（1）解：∵，
∴， ，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵
∴，，
∵，
∴
∴
∴，且．
【题型11 利用全等三角形的性质求线段的长】
1.3或4或5
【分析】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
【详解】AC的取值范围是2＜AC＜6，则AC的奇数值是3或5，
△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,
当DF=AC时，DF=3或5
当DF=BC时，DF=4
故答案为3或4或5
2.B
【分析】根据得到，得到，从而解答．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
3.
【分析】（1）根据全等三角形的性质分析求解；
（2）结合三角形中线的性质求得的面积，从而利用全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
（2）又（1）可得，
∴，
∵，
∴

故答案为：；．
4.8或15
【分析】设，则，使△ACM与△BMN全等，由可知，分两种情况讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方程解得t的值，可解得AC的长．
【详解】解：设cm，则cm，
，要使得△ACM与△BMN全等，可分两种情况讨论：
当BM=AC，BN=AM时，
解得
cm；
当BM=AM，BN=AC时，
解得
cm
故答案为：8或15．
【题型12 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】
1.C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角的性质，折叠变换等知识，关键在于能够正确添加辅助线，灵活运用所学知识．根据折叠可知，，，再利用平角为，三角形内角和，推出，再利用三角形内角和定理、角平分线性质求出，再求出结果即可．
【详解】解：纸片沿折叠，
，
，，
，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
故选：C
2.(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全是三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：，对应边是，
对应角是；
（2），对应边是，
对应角是；
（3），对应边是，
对应角是；
（4），对应边是，
对应角是．
3.15
【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到即，，可求出，最后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：15．
4.C
【分析】首先根据三角形内角之比得出三个内角的度数，然后根据翻折的两个三角形是全等三角形，由对应角相等得出，的度数；再根据三角形外角的性质得出答案即可．
【详解】解：根据题意设，则，，
则，
解得，
则，，，
由折叠的性质可知：，
，，
，，
．
故选：C．
【题型13 添加条件判断三角形全等】
1.B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确理解全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，即可判断答案．
【详解】，
，
A、添加条件，根据“边角边”即可判断，不符合题意；
B、添加条件，无法判断，符合题意；
C、添加条件，根据“角边角”即可判断，不符合题意；
D、添加条件，根据“角角边”即可判断，不符合题意．
故选B．
2.B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可．
【详解】解：因为所对的边是b不是a，故图乙中的三角形和不全等．
如图甲、丙根据全等三角形的判定定理和可以证得它们全等、丙中的三角形和全等．
故选：B．
3.C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法结合选项进行判定即可．
【详解】解：①，，，可根据判定；
②，，，可根据判定；
③，，，可根据判定；
④，，，不能判定；
故选：C．
4.（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意可知已有一组对应角和一组对应边相等，再确定一组对应角相等即可判定．
【详解】解：∵B是中点，
∴，
∵，
∴当时，依据可得，，
故答案为：（答案不唯一）
【题型14 全等三角形的判定与性质的综合应用】
1.（1），
理由如下：
∵，
∴，
又O是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，；
（2）成立，
图2中：∵，
∴，
又O是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，；
图3中：∵，
∴，
又O是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，；
2.（1）解：，
理由如下：
∵是的中线，∴，
∵，∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：过点作交于点，如图：

∵，的面积为3，
∴，的面积为3，
∴，
则的面积为．
3.（1）解：如图，点为所求作，作图依据是；
（2）证明：平分，
，
在和中，
，
；
（3）解：由（2）可知，
，，
的周长为15，
，
，
的周长．
4.（1）∵
∴
∵
∴
在和中有
∴
∴
故结论仍为真命题．
（2）∵BM=CN
∴CM=AN
∵AB=AC，，
在和中有
∴
∴
∴
故仍能得到，如图所示
【题型15 “倍长中线法”构造全等三角形】
1.（1）证明：，
，
又，，
和是兄弟三角形；
（2）证明：①延长至，使，
为的中点，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
∴，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
2.D
【分析】利用倍长中线法构造全等三角形后，再利用三角形的三边关系确定范围即可．
【详解】如图，延长AC到E使CE=AC，连接ED.
∵BC=CD，AC=CE，∠ACB=∠ECD，
∴△ACB≌△ECD，
∴DE=AB=3，AC=CE=4，
∴AE=2AC=8，
在△AED中，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
由AE+DE=11，AE DE=5.
∴5故选：D.
3.12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题．
【详解】解：如图，延长到使，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
，
故答案为：．
4.（1）证明：∵（已知），
∴，．
∵D为边中点，∴．
在与中，
∵，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）;
故答案为：，全等三角形的对应边相等；
（2）延长到，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：；
（3）结论：．
理由：如图②中，延长，交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
【题型16 “截长补短法”证明线段和差问题】
1.延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
2.a-b
【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题.
【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中， ，
∴△ADC≌△A′DC（SAS），
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，
∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，
∴∠A′DB=∠B，
∴BA′=A′D=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD
∴AD=BC -AC=a-b，
故答案为：a-b.
3.解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
4.（1）证明：的高、交于点，如图1所示：
，，
，，
，
（2）解：在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）解：、、的数量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是的高，，
，，
在和中，
，
，
，，
由（2）可知：，即，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
【题型17 应用全等三角形的性质解决实际问题】
1.解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下：
由题意可知，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵分别为和，
∴
∵，
∴，
∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的.
2.解：∵，
，
即．
在与中，
．
．
∵，
．
3.解：由题知，，，
∴.
∵，
∴.
在和中，
∴
∴.
∴小明与小亮一样高．
4.（1）解：根据题意画出图形，如图所示．
（2）解：A、B两根电线杆之间的距离大约为．理由如下．
∵，，，．
∵点E、C、B在一条直线上，
∴，
∵，，，
∴，
∴ ，
故A、B两根电线杆之间的距离大约为．

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