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24-25学年雷州市九年级三校联考二模
数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A B A C C D D
11．
12．四
13．
14．3
15．
16．（1）（2），
（1）
，
（2）
，
把代入，得．
17．(1)50；144
(2)图见详解
(3)800名
(4)
（1）解：由统计图可知：
样本容量为，
圆心角的度数为；
故答案为：50；144；
（2）解：成绩达到优秀等级的人数为，
补全条形统计图如下：
（3）解：由题意得：
（名）；
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800名．
（4）解：由题意可列表如下：
A B C D
A / √ √ √
B √ / √ √
C √ √ / √
D √ √ √ /
从四人中抽取两人参加比赛共有12种情况，其中抽中两人的有2种情况，所以恰好抽中的概率为．
18．
（1）解： 与之间的函数关系式为，
与之间的函数关系式为．
（2）解：当时，，解得，
当时，，解得，
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
19．(1)
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
20．(1)米
(2)米
（1）解：过点A作，垂足为F，
在中，（米），
∴（米），
∴点A到墙面的距离约为米；
（2）解：过点A作，垂足为G，
由题意得：，（米），
∵（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，
∴（米），
∴（米）．
21．
（1）证明：如图所示，连接；
∵E是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：∵平分，
，
又，
，
，
，
是的直径，
，
，
；
（3）解：，
，
，
∵点N是的中点，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
．
22．(1)，
(2)最小值为
(3)P的坐标为或
（1）∵顶点D的坐标为，
设二次函数表达式为
将点代入得
∴抛物线M的表达式为：
当时，或1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为
∴设直线的表达式为：
故解得
∴，
，
，
，
作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点
，
∴所在直线垂直于y轴，
关于的对称点，
∴点的坐标为，
∴点G的横坐标为
将代入得，
∴点G的坐标为，
∵，，
∴，
∴
即周长的最小值为；
（3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为
将点代入得：，
∴抛物线N的表达式为
∴顶点P的坐标为，
将代入，，
∴，
作于H，则，
∵
∴点H为点P和点Q的中点，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一个方程可得（舍），
解第二个方程可得（舍），
将代入P点坐标，
P的坐标为或．
23．
解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
．
由旋转的性质，得，，，
，
，
，
由折叠的性质，知，
在中，，
，即；
解：或，
理由如下：
如下图所示，
，
，
在中，，
根据旋转的性质可得：，
则，
，，
，．24-25学年雷州市九年级三校联考二模
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．实数的绝对值是，则实数是（ ）
A． B． C． D．
2．我国航天技术全球领先．2024年6月4日嫦娥六号完成世界首次从月球背面采样后起飞，飞 越38万公里返回地面．将数据38万用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列食品标识图中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B．C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，对角线相交于点．若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是某中学现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量的是（ ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
7．下列说法不正确的是（　　）
A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为6
C．若中，则点在轴上 D．若，则点一定在第一，第三象限的角平分线上
8．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（ ）
第9题图 第10题图 第14题图
A． B． C． D．
10．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．函数的自变量x的取值范围是 ．
12．反比例函数的图象在第 象限．
13．关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是 ．
14．如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为 ．
15．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC＝2∠DAC，若AB＝m，AC＝n，则CD的长为 （用含m，n的代数式表示）
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
17．正值第十四届全国人民代表大会第三次会议召开之际，奋进中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_____，圆心角的度数为_____度；
(2)补全条形统计图；
(3)已知奋进中学共有2000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
(4)若在这次竞赛中有四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表奋进中学参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两人同时参赛的概率．
18．“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 肥料价格
方案一 12元 3元
方案二 0元 3.6元
若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．
(1)请分别写出与之间的函数关系式；
(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组．
(2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
20．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为．
(1)求点到墙面的距离；
(2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
21．如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N．
(1)求证：是的切线；(2)求的度数；(3)若点N是的中点，且，求的长．
五、解答题（13+14分，共27分）
22．如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
23．综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：
（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．

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