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数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分数为112，已知其中4名同学的成绩分别为96，109，120，126，则这5名同学成绩的第75百分位数是（ ）
A．112 B．119 C．120 D．121
4．已知向量且向量方向相反，则可以是（ ）
A． B． C． D．
5．记数列的前n项和为，若数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．1 B．2 C．2025 D．2022
6．已知抛物线，其准线为l焦点为F，过的直线PQ与l和C从左到右依次相交于A，P，Q三点，且，则和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线．在数列中，，记数列的前n项积为，数列的前n项和为，其中，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某手机商城统计的2024年5个月智能手机的销量y（万部）如下表所示：
月份 7月 8月 9月 10月 11月
x 1 2 3 4 5
y 2 2 3 m 4
根据表中数据用最小二乘法得到的y关于月份编号x的回归直线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．y与x正相关
C．当月份编号x每增加1时，销量大约增加0.5万部
D．预测2025年6月份该手机商城的销量约为6万部
10．已知如图是函数的部分图象，则（ ）
A．的图象关于中心对称 B．在单调递增
C．在点处的切线方程为 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
11．我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．已知，且，若把m位n进制中的最大数记为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若的展开式中的系数是20，则实数a的值为________．
13．将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有________种（用数字作答）
14．已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且．若，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积为后，求的值．
16．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，．
（1）若，求：向量在向量上的投影向量的模；
（2）当，且时，求出四棱锥的外接球的表面积；
（3）若，且，求二面角的正切值．
17．（15分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若函数图象上有三个点A，B，C并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点B处的切线斜率与A，C两点连线斜率的大小关系．
18．（17分）已知椭圆的焦距为，以椭圆E短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点的直线AB，CD分别交椭圆E于点A，B，C，D，点A始终在第一象限且与点D关于y轴对称，直线AC，BC分别交y轴于点G，M．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求点G的坐标；
（3）判断是否为定值，如果是，求出定值，如果不是说明理由．
19．（17分）在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到．设事件表示“机器人的前n次移动均未向雷达发送信息”．
（1）求；
（2）已知①②两个结论：；②设是一列无穷个事件，若存在正数N，对于任意的n均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1．
（i）证明：事件：“雷达会收到信息”的概率为1；
（ⅱ）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率．
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B 7．D 8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9．ABC 10．BCD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．6 13．912 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．【解析】（1）由，根据正弦定理可得
，
由于，
故，由于，所以，由于，故
（2）因为，可得，
由余弦定理得，即，故，
，
由正弦定理可得，所以，
故
16．【解析】（1）因为平面ABCD，而平面ABCD，所以，
又，平面PAB，
所以平面PAB，而平面PAB，所以．
因为，所以，根据平面知识可知，
结合平面PAB，可知平面PAB，平面PAB，所以，
故在向量上的投影向量的模即为向量的模长1，
或者利用是和的夹角，
在中，，
故向量和上的投影向量的模为．
（2）当，且时，则四边形ABCD是长方形，可将四棱锥补成一个长、宽、高分别为、1、2的长方体，体对角线长度为，
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，所以四棱锥有外接球，且该外接球半径为，表面积；
（3）如图所示，过点D作于E，过点E作于点F，连接DF．
因为平面ABCD，C平面PAC，所以平面平面ABCD，
而平面平面，平面ABCD，所以平面PAC，
平面PAC，所以，
又，DE，平面DEF，
所以平面DEF，平面DEF，故，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
因为，则，
在中由等面积法可得，，
所以在中，，而为等腰直角三角形，所以，故．
17．【解析】（1）由，
令，得或，由于，则，令，解得或，
所以的单调增区间为和．
（2）设，且，
曲线在点B处切线斜率为，
A，C两点连线斜率为
，
，
令，则，
令，则，令，
，即在上单调递减，，即，
所以在上单调递减，故，
，又，即，
所以，即，所以曲线在点B处切线斜率小于A，C两点连线斜率．
18．【解析】（1）由椭圆E短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，得，则，
所以椭圆E的方程为．
（2）设直线AB方程为，
由点A在第一象限且与点D关于y轴对称，得直线CD，AB关于y轴对称，，
由消去y得，
则，
直线AC方程为，令，得
，所以点．
（3）由（2）知，，
由，得，
因此，
所以
19．【解析】（1）由题意，前2次移动向雷达发送信息，则需要连续向左移动2次，则，
若机器人经过，则必不经过3，包括：前两次都向左移动1个单位；
先向左移动1个单位，再向右移1个单位，再向左移动2个单位；
先向右移动1个单位，再向左移动3个单位，则其概率，
若机器人经过3，则必不经过，包括：前3次连续向右移动，则其概率，
故；
（2）（i），
因此
，对于一系列无穷事件，存在正数，
对于任意的n都有，，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1，
即“中有事件不发生”的概率为1，即“雷达会收到信息”的概率为1．
（ii）设事件{机器人从i出发，运动至3首次发送信息}，
根据（i），机器人发信息的概率为1，即它会从0运动至或3的概率为1，
再根据对称性，机器人初始位置为0，首次发信息在的概率与初始位置在1，
首次发信息在3的概率相等，即．
设事件表示点移动到1，事件，表示点移动到0，设事件表示点移动到．
易知事件与事件相互独立，故．
又根据全概率公式，若机器人初始位置为0，
第一次移动后的位置为1或，故，
故，①
若机器人初始位置为，第一次移动后的位置为0，故，
即，②
解①②，解得，从而雷达第一次收到信息时机器人位置为3的概率为．

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