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2025届高三年级诊断性考试
数学试题
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2．已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则函数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
4．已知，且命题：关于的不等式无解；命题：直线的斜率非负，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A． B．3 C． D．
6．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知的三个内角，，所对的边分别是，，，若，，则该三角形的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分；有选错的得0分．
9．已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影向量坐标是
10．若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．数据的30%分位数为5
C．数据的标准差为3
D．若，随机变量，则
11．随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.已知某种信号的波形可以利用函数的图象近似模拟，则（ ）
A．是非奇非偶函数 B．的值域为
C．当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为
D．的图象与的图象恰有个交点
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数（）的最小正周期为，则__________
13．函数的最小值是____________
14．已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为5:3，则该圆锥的母线长为_______
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）若数列对于任意的，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．设数列的前项和为，，对于任意的，都有．
（1）求证：数列为准等差数列；
（2）求数列的通项公式及前项和．
16．（本小题满分15分）已知，是椭圆：（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证为定值；
17．（本小题满分15分）已知函数的导函数为.
（1）证明：函数有且只有一个极值点；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
18．（本小题满分17分）在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，直三棱柱中，，点E，F分别为棱，的中点，.
（1）求证：平面平面ABF；
（2）若.
①求平面的点法式方程和一般式方程；
②求平面与平面所成二面角的正弦值.
19．（本小题满分17分）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；
（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
（3）设第次投篮命中的概率为，求证：．
2025届高三年级诊断性考试
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C A D A B A BD ACD BD
12． 13． 14．10
1．【答案】：C
解析：，故，有3个元素故该集合的子集有个
2．【答案】：D
解析：由，得
复数z的共轭复数的虚部为
3．【答案】：C
解析：由，
令，则
因为，在上单调递减，故
4．【答案】：A
解析：命题p：关于x的不等式无解，则
命题q：直线的斜率非负，则
因为： 所以：命题p是命题q的充分不必要条件
5．【答案】：D
解析：
因为在等比数列中，是函数的极值点
所以，故
又，故，故
6．【答案】：A
因为函数的图象关于直线对称
所以，故，又因为 故
7．【答案】：B
解析：由得
得：
得：
得：
因为，所以得：，得
故的外接圆直径
故外接圆面积是
8．【答案】：A
设直线与圆D的切点为A，作，交于点B，则．
因为，所以．
又O为中点，所以．
又，
所以可设：．由．
根据双曲线的定义：．
所以． 所以．
9．【答案】：BD
解析：由向量
对于A：，故A错误．对于B：，故B正确．
对于C：，故C错误．对于D：在方向上的投影向量坐标是，故D正确．
10．【答案】：ACD
【详解】对于A，令，则，故A正确，
对于B，，
将其从小到大排列为1，1，5，5，10，10，且，故30%分位数为第2个数1，B错误，
对于C，分别为2，5，10，10，5，4，则平均数为，
故方差为，故标准差为3，C正确，
对于D，，
故，故D正确，
故选：ACD
11．【答案】：BD
对于A，由于，所以是偶函数，故A错误；对于B，当时，，故当时，是一个周期函数，其中一个周期为，故只需考察这个函数在内的情况．
当时，．
此时，故，
当时，，此时，故，
综上可得时，的值域为，故B正确；
对于C，作出在上的图象，故当时，由图可知直线与的图象有4个交点，设这4个交点的横坐标分别为，由图可知，和分别关于直线对称，故，故C错误；
对于D，当时，，由图可知的图象与的图象在区间内恰有3个交点，又为偶函数，故的图象与的图象恰有6个交点，故D正确．
故选：BD．
12．【答案】：
因为函数的最小正周期为4，，故
13．【答案】：
解析：函数，
故
令，得．故得；得
所以函数在上单调递减，在上单调递增
所以函数的最小值为
14．【答案】：10
解析设圆锥的高为h，底面圆半径为r，则母线长为
故圆锥的底面积，侧面积，体积
故
得，故
所以该圆锥的母线长为
15．解：（1）证明：由已知得，所以
作差得：，所以数列为公差为2的准等差数列．
（2）由已知可得：，
所以当n为偶数时，；
当n为奇数时，，
则，化简得．
16．解：（1）由题可知．故椭圆C的标准方程是
（2）设，直线方程为
．故
故的值为定值
17．（1）证明 由题意知的定义域为，且
恒成立，故在上单调递增
又．所以函数在上有唯一零点，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数有且只有一个极值点．
（2）解 恒成立，
即恒成立，
即恒成立，即恒成立，
即恒成立，
令，则恒成立，所以，
令则，令
x 1
- 0 +
↘ 极小值1 ↗
所以，
所以，解得，
即实数m的取值范围为．
18．（1）证明：因为直三棱柱中，，点E，F分别为棱的中点，．
所以面，又面，得
又因为，得
又，得，得
由
（2）因为，故以A为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，如图所示．因为．
故：
设面的一个法向量为
故
①平面的点法式方程为，平面的一般式方程为2
②设面的一个法向量为
故
设平面与平面所成二面角的大小为
平面与平面所成二面角的正弦值为
19．解析：（1）设事件“第i次投篮命中”，则“第i次投篮未命中”，，
易知与是互斥事件，
所以由全概率公式得
该运动员第二次投篮命中的概率为．
（2）由题意得，，
X的所有取值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以．
（3）由题意得，；
当时，
即，
变形为，所以数列是以为公比的等比数列，
又，于是，
即所以．

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