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2024-2025学年湖北省新八校协作体高二下学期5月联考
数学试卷(A卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对四组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是．
A. 图中的和之间呈现线性相关关系
B. 图中的和之间不存在相关关系
C. 图中的和之间呈现正相关关系
D. 图中的和之间呈现负相关关系
2.记为递减等差数列的前项和，若，，则．
A. B. C. D.
3.黄石二中杰出校友何小鹏的小鹏汽车生产的款小鹏加速度表现出众，其中四驱高性能版的加速时间仅需秒若某款车的速度关于时间的函数为，则秒时的加速度为．
A. B. C. D.
4.某班组织同学到社区志愿服务，某小组共有名男生和名女生，该小组需要选出名同学参加，若选出的同学中既有男生又有女生，则不同的安排方法有种．
A. B. C. D.
5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是．
A. B. C. D.
6.共有张彩票，其中有张中奖彩票，从中任取张，要使这张彩票中至少有一张中奖的概率大于，至少为．
A. B. C. D.
7.连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是．
A. B. 是增函数
C. 的图象关于轴对称 D. 的图象关于点中心对称
8.若对于任意的，总存在唯一的使得成立，则实数取值范围是．
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是．
A. 为样本相关系数，越小，则两个变量线性相关性越弱
B. 经验回归方程相对于点的残差为
C. 决定系数，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
D. 线性回归直线一定经过样本点的中心
10.已知数列满足，，其前项和为，其前项积为，则下列选项正确的是．
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系中，为曲线上任意一点，则．
A. 曲线关于原点中心对称 B. 与曲线有个公共点
C. 点不可能在圆外 D. 到轴的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为、，若，则的最小值是 ．
14.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样方法抽取名学生，通过测验得到如下数据：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校
乙校
合计
完成上述样本数据的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析乙校学生的数学成绩优秀率是否比甲校高
附：
假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有学生数学成绩是否优秀相互独立，从甲校学生中随机抽取人，设被抽取的人中数学成绩优秀的人数为，求的数学期望．
16.本小题分
已知函数
当时，求的解集
当时，求的单调区间．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且，在数列中，，满足．
求数列的通项公式
证明：数列为等比数列
求数列的前项和，并证明
18.本小题分
甲和乙一起玩游戏，在不透明的盒子内放若干白球和黑球，每次摸一个球，每个球被摸到的概率相同，当每次从盒子中随机摸到一个球后，将球放回盒子里，并添加同样颜色的球个一起放回盒子里，设事件“第次摸到白球”．
现在甲、乙分别从、两个盒子中摸球，盒中有个白球和个黑球，盒中有个白球和个黑球，，请计算甲和乙第二次摸到白球的概率分别为多少，并比较大小
甲和乙经过多次游戏，猜测不论初始时盒子里的白球黑球个数为多少，每次摸到白球的概率都相同请通过计算验证他们的猜测是否正确
若初始有个白球和个黑球，求第次摸球后，累计摸到白球个数的期望用，，表示．
附：若随机变量服从两点分布，且，，，，
19.本小题分
已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的动点，且直线和直线的斜率之积为．
求椭圆的方程
若直线，直线交于点，直线与交于点，椭圆在点处的切线与交于，求证：
求面积取最小值时点的横坐标．
参考答案
1.
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14.
15.解：完善列联表，如下：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校
乙校
合计
零假设为甲、乙两校学生数学成绩无差异．
根据表中数据得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异．
依题意得，从甲校随机抽取一名同学，数学成绩优秀的概率为，
，
因此．
16.解： 当时，函数为，，
则，
，判别式，
则在上恒成立，
所以函数在单调递减，
又，
所以 时，即的解集为；
求导得；
设，
；
当，即，，故在单调递减；
当，即时，的两根为 ，，
当时，则在单调递增，在和上单调递减；
当，仅有一个正根，此时在递增，在递减．
综上得，，的单调减区间为，无增区间；时，的单调增区间为 单调递增，单调减区间为和；，的单调增区间为 ，单调减区间为．
17.解：由题意：，
当时，，
当时，
．
检验时，，
故通项公式为：．
已知，
，即．
又，
，，
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
由，
可得
，
设，．
对于，这是首项为，公比为的等比数列的前项和，
根据等比数列求和公式，
可得
对于，这是首项为，公比为的等比数列的前项和，
根据等比数列求和公式可得，
所以．
当为偶数时，，
因为为偶数，，，；
当为奇数时，，
因为为奇数，，，
综上，
18.解：甲从盒摸球：初始白球，黑球，总个，
由全概率公式，甲第二次摸到白球的概率为：
，
乙从盒摸球：初始白球，黑球，总个，
同理，乙第二次摸到白球的概率为：
，
比较大小：
设第次摸球时盒子里有个白球和个黑球，
则，，，
由全概率公式可得：所以，即每一次摸到白球的概率都相等．
设表示第次摸到白球的次数或，其期望为。
累计摸到白球次数的期望：
．
19.解：由已知得，设，则，所以，
又，得，
故椭圆方程为；
由题意知椭圆在点处的切线斜率存在，可设切线的方程为，
联立直线与椭圆方程消得，，
由直线与椭圆相切，则，
化简得，，
由，得，代入上式得，
解得，故，令，得，
直线，令得
直线，令得
由，
故为线段的中点，，得证．
由，得，
又到直线的距离为，所以的面积令，，则，
由解得，当时，，在上单调递减：
当时，，在上单调递增：
故当时，函数取最小值即面积取最小值时点的横坐标为．

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