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2024-2025学年重庆十一中教育集团高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值为( )
A. B. C. D.
2.某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程单位：与时间单位：之间的关系为：，当时，运动员的滑雪瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3.用，，，，这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为若函数的图象如图所示，则( )
A. 在区间上单调递增
B. 在区间上单调递减
C.
D.
5.某网红奶茶店“”在市中心有三个分店：店、店、店根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为、、已知各分店高峰期制作时间超过分钟的概率分别为：店、店、店若小明随机选择一个分店下单，他等待超过分钟的概率是( )
A. B. C. D.
6.从编号的张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，对于任意，当时，都有成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，满足，，则( )
A. 若，则 B. 若与互斥，则
C. 若与相互独立，则 D. 若，则与相互独立
10.年重庆市“心之向往，渝跑渝爱”主题马拉松赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑和亲子跑四个项目在渝大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和健康跑、亲子跑四个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是( )
A. 若全程马拉松项目必须安排人，其余三项各安排人，则有种不同的分配方案
B. 若每个比赛项目至少安排人，且每人均被安排，则有种不同的分配方案
C. 安排这人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有种不同的站法
D. 安排这人排成一排拍照，若甲不站排头和排尾，则有种不同的分配方案
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则有个零点
B. 若，则的解集为
C. ，在上有极小值
D. ，在上有极大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量的分布列如表所示：
则 ______．
13.已知函数，若函数为常数有且仅有个零点，则的取值范围是______．
14.甲、乙、丙三人一起踢毽子，第次由甲踢出毽子，每次踢毽子时，踢毽子者都等可能地将毽子踢给另外两个人中的任何一人，则次踢毽子后毽子在乙手中的概率为______，次踢毽子后毽子在乙手中的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求实数，的值；
求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
在的展开式中，_____．
给出下列条件：二项式系数和为；第三项的二项式系数为；只有第项的二项式系数最大；试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
求的值，并求出展开式中的常数项；
求展开式中的系数．
17.本小题分
年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中假设每次比赛结果相互独立．
甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？
如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求的值；
在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列．
18.本小题分
已知函数，．
若，判断的单调性；
若，求的值；
已知，若，证明：．
19.本小题分
牛顿法是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取为方程的近似解对于函数，已知，并取作为的初始近似值．
计算与的值；
求出和的关系；
设，，若关于的方程的两个根分别为，，证明：．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】；．
15.【答案】解：，则，
因函数在处取得极值，
则，解得，
经检验，符合题意．
由得，，
，得或，，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
，，，，
则在区间上的最大值为，最小值为．
16.解：若选，则，解得，此时二项式的常数项为；
若选，则，解得，此时二项式的常数项为；
若选，则最大，且为偶数，则，此时二项式的常数项为；
综上，选：的值为，且此时二项式的常数项为；
由可知，则多项式为，
则多项式的展开式中含的项为，
所以已知多项式的展开式中的系数为．
17.解：根据题意，设“甲进入决赛”，“乙进入决赛”，“丙进入决赛”，
则，
，
；
根据题意，如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，
则，
变形可得，解可得或，
又由，则；
由的结论，，丙进入决赛的概率，
则变量可取的值为、、、，
，
，
，
，
则的分布列为
18.解：，因为，令，解得：，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上递减；
由可知，当时，在上单调递增，
在上单调递减，
故，
若，则，即，
代入可得：，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，且，
所以，即；
当时，恒成立，即在上单调递增，又，
所以当，，不恒成立，
故不成立．
综上所述；
证明：令，，
，令，
，
所以在上单调递增，
因为，
，
所以在上存在唯一零点，
令，则，
令，所以；令，所以；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，又，
所以，
所以 ，得证．
19.解：函数，求导得，所以在处切线方程为，，当时，，
同理，而，所以；
可以得到在处切线方程为：，
令，从而；
证明：由知，，则，
令，得，当时，，当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，
也是的最大值点，即，
又时，，时，，
所以当方程有两个根时，必满足，
曲线过点和点的割线方程为，
下面证明：，
设，即，
则，
所以当时，，当时，；
所以在上单调递减，，
在上单调递增，；
所以当时，，
即当且仅当或时取等号，
由于，
所以，解得，
下面证明当时，，，，
因为，
所以当时，当且仅当时取等号，
由于所以，解得，，
得．
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