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大庆实验中学 2024 级高一下学期期中考试
数学学科答案
一、单选题
1---5 题：ACCAA 6--8 题：DCC
二、多选题
9---12 题：AB BC ACD ACD
三、填空题
1 3 8 2 16 π
13----16 题： 2 4 4 3
16 题【详解】连接 BC,EF ，BC与 y轴相交于点G，
六边形 ABCDEF绕 y轴旋转半周所得的几何体的体积，可看成由直角梯形 ABGO绕 y轴旋
转一周的几何体体积的二倍，
由 ABGO绕 y轴旋转一周的几何体是上下底面半径分别为 1 和 3，高为 1 的圆台，
1
其体积为V1 3 π 9π π 9π 1
13π
，
3
OB 2，弓形 BC旋转所得几何体为高为 2 1的球冠，
以下利用祖暅原理证明球冠体积公式：
下图为半径为 R的半球和底面半径和高都为 R的圆柱，在圆柱内部切去一个和圆柱等底等高
的倒立圆锥.
用与底面平行，距离为 h的平面截两个几何体，
2 2
则与半球的截面为半径为 R2 h2 的圆，面积为 S1 R h π，
2 2
截图（2）几何体所得截面为圆环，面积为 S2 πR πh ，
因为 S1 = S2恒成立，所以截面和底面之间的几何体体积相等，
3
所以截面截半球所得球冠的体积为V
2πR
πR2h 1 h2π 1 h π
3 3 3 2R
3 3R2h h3 ，

即球冠的高为 h ，则 h R h，即 h R h ，代入上式整理可得：
V 1 πh 2 3R h ，
3
4 2 5 π
由球冠体积公式得其体积为V 12 π
2
2 1 3 2 2 1 ，3 3

2 V V 2 13 4 2 5
8 2 16
所以，所求几何体体积为 1 2 π= π .
3 3 3
8 2 16
故答案为： π
3
四、解答题
17.（1）因为 sin A sinC 2sin B，所以 a c 2b．
因为3sin A 7sinC，所以3a 7c，
因为b 5，所以a 7， c 3，
2 2
cos A b c a
2 52 32 72 1
由余弦定理得 ，
2bc 2 5 3 2
因为 A 0, π 2π，所以 A 3 ．

AD 1
1
（2）根据题意可得 AB AC，
2 2
22 1 1 1 2 1 2
则 AD AB AC AB AB
1
AC AC
2 2 4 2 4
1 9 1 3 5 1 1 25 19 ，4 2 2 4 4

所以 AD 19 ，即VABC
19
的中线 AD的长为 ．
2 2
2
18 1 4 x．（ ）根据题意，因为圆锥的表面积 πx2 πxy 4π， y ，
x
x y，
2
x 4 x ，解得0 < x < 2，
x
4 x2
即 y ， x 0, 2 .
x
（2）圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥高为 h，
则 y 2x， tan
π h
3，
3 x
h 3x，
4 x21 y 4 x
2
由（ ）知 ，即 2x ，
x x
x 2解得 ,h 3x 2 ，
3
1
V πx2h 1 π 4 8π 2 m3．
3 3 3 9
bcos π 19．（1）因为 C2
3ccosB ，由正弦定理可得 sin BsinC 3 cos BsinC ，

因为 B、C 0, π ，则 sinC 0，所以， sin B 3 cos B 0 ，
π
则有 tan B 3 ，故 B .
3
0 π C π π
（2）因为VABC 2为锐角三角形，则 ，所以， C ，
0 A 2π π C 6 2
3 2
1
所以， tanC 3 ，则0 3，
3 tanC
a c
由正弦定理可得 ，
sin A sinC
4sin C π
所以， a c sin A
3 2sinC 2 3 cosC 2 2 3 2,8 ，
sinC sinC sinC tanC
即 a的取值范围是 2,8 .
20．（1）因为M AB， N AD， AB 平面 ABD， AD 平面 ABD，
所以MN 平面 ABD，
因为 E CB， F CD，CB 平面CBD，CD 平面 ABD，
所以 EF 平面CBD，
由于直线MN与直线 EF相交于点O，
即O MN，O 平面 ABD，O EF，O 平面CBD，
又有平面 ABD 平面CBD BD，则O BD，
所以 B，D，O三点共线.
（2）连接 BD，作 BD的中点G，并连接GN，GE，如图所示：
在△ABD中，点N，G分别是 AD和 BD的中点，且 AB 6，
1
所以GN∥AB，且GN AB 3，
2
在△CBD中，点 E，G分别是 BC和 BD的中点，且CD 4，
所以GE∥CD GE
1
，且 CD 2，
2
则异面直线 AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成角，即 EGN或 EGN的补角，
GE 2 GN 2 EN 2EN 2 cos EGN 2
2 32 22 3
又 ，由余弦定理得： 0 ，
2GE GN 2 2 3 4
3
故异面直线 AB与DC所成的角的余弦值 .
4
21.（1）延长 AG交BC与 F ，由G是正三角形 ABC的中心，得 F 为 BC的中点，
2
则 AG AF ，
3
1 1 1
由 AF AB AC
1
， AD mAB,AE nAC，得 AG AD AE，
2 2 3m 3n
又D,G,E
1 1 1 1
三点共线，所以 1，即 3．
3m 3n m n
（2）VABC是边长为 1 的正三角形，则 AD m, AE n，
S 1 3 3 ADE m n mn ．2 2 4
1 1 m
由 3，则 n ，
m n 3m 1
0 m 1
0 m 1,0 n 1 1， m ，解得 m 1，
0 1 2 3m 1
S 3 mn 3 m
2 3 m2
ADE 4 4 3m 1 12 m 1
．

3
t m 1设 ，则m
1
t 1 t 2
3 3
，
6 3
S 3 1 2 3
1 2 3 1 1
则 ADE t 2 t ，当且仅当 t ，即 t 时取等号，12 9t 3 12 9t 3 9 9t 3
1 2 3
所以当 t ，即m n 时， S
3 3 ADE
取得最小值 ．
9
b222 1 2bcsinA 3 b 2 c 2 a 2 sinA 3 c
2 a2
．（ ）由正弦定理得 即
2bc
由余弦定理有 sinA 3 cos A，若 cos A 0，等式不成立，则 cos A 0，
所以 tan A 3 .因为 A 0, π ，所以 A= π .3
AB 4 BC AC c 4a b c2 4a2 b2
（2）T = PD PE PF PD PE PF c PD a PE b PF .
1
又 S PAB c PD ,S
1
a PE ,S 1 b PF ,S S S
2 PBC 2 PAC 2 PAB PBC PAC
S ABC，
c PD a PE b PF 2S ABC .
2 2 2
T c 4 2
2 b2 b c 4 2 b c 4
由三维分式型柯西不等式有 .
c PD a PE b PF 2S ABC 3bc
1 2 1
当且仅当 即 PE =2 PD =2 PFPD PE PF 时等号成立.
由余弦定理 a2=b2 c2 2bc cos A得4=b2 c2 bc，
b c 22 4 2 b c 4
2 2 3 b c 4 2
所以 b c 4 3bc即bc= ，则T = .
3 3bc b c 2 4
2 3t2T 2 3
令 t b c 4 ，则 t 4 2

4 12 8
.
2 1t t
b c 2 4 b c 2
bc=
因为 3 2 解得 2 b+c 4，当且仅当b c时等号成立.

b c a 2
1 1 1
所以6 t 8 .则 .
8 t 6
y 12 8 1 1 1
2 1 1 1 2 1 1 1 1
令 2 12
y 12 ，则 在 , 上递减，t t t 3 3 t 3 3 t 8 6


1 1 3
当 即b c=2 32 3时， y有最大值 ，此时T 有最小值 .
t 8 16 3大庆实验中学2024级高一下学期期中考试
数学学科试题
茂明：】请将答窦填涂在答题卡的鴉定区城内。
2.满分150分，考试时问120分钟：
一、单选题（木大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若(m2-1)+(m2-2m-3)i>0,则实数m的值为()
A.3
B.-1
C.-1或3
D.±I
2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为)的等腰梯形，那么
原平面图形的面积是()
A.2+V2
B.1+V2
c.2+V2
D.1+2
4
4
3.已知BD是△ABC的中线，E在直线BC上，且CB=3BE,则DE=(）
A丽-}灭
B.-34B+1AC
4
4
6
0.+C
4.在正方体ABCD-ABCD中，M、N分别为棱CD、CC的中点，有以下四个结论：①直线M
与CC是相交直线；②直线AM与BW是平行直线：③直线BW与MB是异面直线：④直线M
与DD,是异面直线.其中正确的结论为()
A.③④
B.①②
c.①③
D.②④
5,已知向量a=(-1,v3),6=(0,25),则a在五-a上的投影向量为（)
51
c.22
6.如果复数z满足引z-i+|z+i2,那么z+1+的最大值是（)
第1页
A
B.1
C.2
D.√5
7.在△4BC中，设AC2-AB2=2AMBC,那么动点M的轨迹必通过△ABC的(）
A.垂心
B.内心
C.外心
D,重心
8.如图，四边形ABCD中3AB=2CD,AC∩BD=O,若
AC+2DO=4AB,且BA·BD=9,则△ACD面积的最大值为()
A.3v2
B.2V6
C.45
D.65
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四楼锥等.《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相
等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是()
A、三棱台体不是"刍甍”
B.“刍甍”有且仅有两个面为三角形
C.存在有两个面为平行四边形的“刍甍”
D.“刍甍”存在两个互相平行的面
10.已知m,n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题为真命题的有()
A.若m/x,n/a,则m/2
B.若m⊥C,nC,则m⊥n
C.若m⊥a,m⊥h,则nCc或n//
D.若m/1a,m,n相交，则n/ac
11.下列说法错误的是（)
A.若a/B则存在唯一的实数1使得a=b
B.两个非零向量ā，万，若a-b=同+，则ā与万共线且反向
C.已知非零向量d=(1,2),b=(1,1),且.a与ā+祁夹角为锐角，则实数无的取值范围是
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