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丰城中学2024-2025学年下学期高一创新班期中考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A B C B C BD ACD
题号 11
答案 ACD
12、1 13、 14、
15、【详解】（1）∵，∴，
∴，即，
∴，
由得，，
由正弦定理及余弦定理得，，∴.
（2）由余弦定理得，，
当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形.
由得，.
∴的面积为.
16、【详解】（1）提出零假设：学生对该问题的态度与性别无关．
根据列联表中的数据可求得，．
因为当成立时，的概率约为，
所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关．
（2）事件、独立．理由如下：
因为，，所以，
所以，即事件、独立．
（3）记经过训练后每人每分钟跳绳个数为，
由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，
即，因为，
所以，
所以（人）．
所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为．
17、【详解】（1）由直方图，占6人，占3人，
则成绩优秀的学生人数可取，，，，
所以，，
，，
所以分布列为
0 1 2 3
则期望.
（2）记事件A：成绩优秀的学生，事件：甲学校的学生，
由已知条件可知，，，
所以.
（3）解法一：
解法二：记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，由题意可知，，
所以，令，则，
令，则，所以时，，
令，则，所以时，，
令，则，所以，
所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
18、【详解】（1）图中，因为，，所以，
设，则，
在中，由正弦定理，得，
即，所以.
所以，
因为，所以，所以当，即时，取得最大值，
此时，所以的长度为.
（2）如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以， 设直线与所成的角为，则，所以直线与所成角的余弦值为.
（3）由（2）知，，
，，
所以，，
，
所以四面体的表面积为
设四面体内切球的半径为，
则四面体的体积，
解得，因为，所以，
所以在线段上不存在点，使得四面体内切球的半径为.
19、【详解】（1） 椭圆 的离心率为 ，焦距为，
解得椭圆的标准方程为；
（2）斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，
设直线的方程为，
联立，整理得，
，整理得，
，
当时，取最大值，最大值为；
（3）设直线的斜率，直线的方程为，
联立 ，
消去整理得，
由，代入上式整理得，
，所以，则，
则，同理可得，
由，则，
，由与共线，
则，
整理得，则直线的斜率，
的值为1 .丰城中学2024-2025学年下学期高一创新班期中考试试卷
数 学
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．点绕原点按逆时针方向旋转到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前项和，则（ ）
A．191 B．192 C．193 D．194
4．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，则
A． B．31 C． D．32
6．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．过抛物线：的焦点且斜率为的直线与交于，两点，线段，的中点分别为，，为坐标原点，直线，与抛物线的另一个交点分别为，，记点，到轴距离分别为，，则（ ）
A． B． C．轴 D．若，则
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数图象的对称中心也是函数图象的对称中心，则的解析式可以为（ ）
A． B． C． D．
10．小王经过调查获得如下数据：
2 4 7 17 30
1 2 3 4 5
参考公式：相关系数，，．
下列说法正确的有（ ）
A．该数据组的线性回归方程（系数精确到0.01）为
B．该数据组的相关系数，很接近1说明该数据组拟合效果很好
C．所有数据点中残差最小的是
D．去掉数据点后，回归直线会向下移动
11．已知双曲线：（），其上、下焦点分别为，，为坐标原点. 过双曲线上一点作直线，分别与双曲线的渐近线交于，两点，且为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若⊥轴，则 B．若点的坐标为，则直线的斜率为
C．直线的方程为： D．若双曲线的离心率为，则的面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若的展开式中的常数项为，则 .
13．已知是第三象限角，，则 .
14．甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：； (2)已知，当角取最大值时，求的面积.
16（15分）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生是否同意“三项体育活动中要有篮球”，学校随机调查了名学生，数据如表：
(1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关
(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．若甲、乙两学生从三项运动中随机选一种（他们的选择相互独立）．若在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件是否独立，并说明理由．
(3)经观察，该校学生每分钟跳绳个数，由往年经验，训练后每人每分钟跳绳个数比开始时增加个，该校有名学生，预估经过训练后每分钟跳个以上人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中；
若，则，，．
17.（15分）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值.
18．（17分）如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）.
(1)求图2中的长度；
(2)求图2中直线与所成角的余弦值；
(3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由.
19．（17分）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的最大值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若和点共线，求.

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