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四川成都市2024级高一数学下册期中模拟卷（01）
（考试范围必修第一册和必修第二册第一章）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1、己知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D，解析：略
2、已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：C 【详解】因为，所以，即
3、已知，，与的夹角是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C；解析：由题意，.故选：C
4、向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；；解析：向量在向量上的投影向量为.故选：C
5、在中，已知，是关于的方程，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A；解析：由已知，，因为是三角形内角，
则.故选：A.
6、已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】 ；【解析】解：，，且，，解得．
7、在中，若，则的形状是( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
【答案】 ；【解析】解：因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，所以为钝角，即为钝角三角形．故选：．
8、已知函数，若当时，，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：B；解析：当时，，
当时，，此时，
所以，不满足当时，，故不符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得；
当，时，恒成立，符合题意；
当，时，，解得，
由于时，，故，解得.
综上.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9、计算下列各式，结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：AC；解析：对于A，
，故A正确；
对于B，因为，可得，
所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误
10、对于任意的两个向量，，，下列命题一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：ACD；解析：详解：对于A：由交换律可知：.故A正确；
对于B：因为，而，所以不一定成立.故B错误；
对于C：由向量加法的几何意义以及三角形法则可知：
当向量，反向时，；当向量， 不共线时，；
当向量，同向时，.综上所述：恒成立.故C正确；
对于D：由数量积的定义可得：，所以恒成立.故D正确.故选：ACD
11、已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
答案：ABC解析：解：对于A选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，
又因为，所以垂直平分，故，正确；
对于C选项，由正弦定理得，
所以，
设中点为，则，所以，
所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；
对于D选项，因为，
设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12、已知扇形圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______．
答案：；解析：详解：设扇形的半径为，则弧长，解得：，扇形面积.
13、函数，的最大值是______．
答案：2；解析：，
又，；，．
的最大为2．
14、已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为__________.
答案：；解析：详解：因为与的夹角为钝角，所以，
即，所以，解得，
同时向量，也不能成的角， 所以，所以的取值范围为.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15、化简下列各式：
(1)；
(2).
(1)；(2)；【详解】（1）原式；；（2）原式
16、已知平面向量，且.
(1)求的值；
(2)求平面向量与的夹角的余弦值.
解析：（1）因为，，
所以，解得.故的值为3.
（2）由（1）知，，所以，
所以，
所以.故与的夹角的余弦值为.
17、已知函数，
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积.
【答案】（1） （2）
（1），运用两角和差正弦得到，
,
运用辅助角公式得到，.
令，解得.
故的单调递减区间为
（2），则，即，，则.
由余弦定理知道，即.（ ）
而，两边平方得到与（ ）联立得到.
故的面积.
18、已知向量，，．
（1）求函数的解析式及在区间的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
解：（1），
由，，得，，
即函数的单调递增区间为．∵∴当时，，当时，
所以在区间的单调递增区间，
（2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点，
所以，解得，即的取值范围为．
19、在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求证：；
（2）若，求a边的范围；
（3）求的取值范围．
答案解析：（1）解：因为所以，
由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，
即，
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以．
法二：由正弦定理可得：
则
则
又，故
因为，，则，故，
所以或，即或（舍去），
（2）解：因为△ABC为锐角三角形，，所以，
由，解得，又故．
（3）由（2）知．由
，令，则在上单调递增，所以，
所以的取值范围为四川成都市2024级高一数学下册期中模拟卷（01）
（考试范围必修第一册和必修第二册第一章）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1、己知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3、已知，，与的夹角是，则（ ）
A. B. C. D.
4、向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5、在中，已知，是关于的方程，则（ ）
A. B. C. D.
6、已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
7、在中，若，则的形状是( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
8、已知函数，若当时，，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9、计算下列各式，结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
10、对于任意的两个向量，，，下列命题一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
11、已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12、已知扇形圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______．
13、函数，的最大值是______．
14、已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15、化简下列各式：
(1)； (2).
16、已知平面向量，且.
(1)求的值；
(2)求平面向量与的夹角的余弦值.
17、已知函数，
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积.
18、已知向量，，．
（1）求函数的解析式及在区间的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
19、在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求证：；
（2）若，求a边的范围；
（3）求的取值范围．

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