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北仑中学2025学年第二学期高一年级期中考试数学试卷
（2-17班使用）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，若，则实数（ ）
A．﹣8 B．8 C． D．2
2．复数（ ）
A． B． C． D．
3．如图在△ABC， ， P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
第3题图 第4题图 第6题图
4．如图，已知等腰直角三角形，是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（ ）
A． B．8 C． D．32
6．如图所示为北仑中学校内某建筑物的底座模型图，该底座可看作正方体与直三棱柱的组合体，且为等腰直角三角形，则直线与直线所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象与轴交于点A，过点A的直线与函数的图象交于点两点，则（　　）
A． B． C． D．25
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．已知复数z，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的虚部为1 D．若，则
10．已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（ ）
A．的周长为
B．的三个内角，，满足关系
C．的外接圆半径为
D．的中线的长为
11．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ）
A．该“十字贯穿体”有22个顶点
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，向量在向量上的投影向量 （用坐标表示）.
13．已知正四面体的棱长为4，则该正四面体外接球的体积为 .
14．在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知向量，其中.
(1)若向量为单位向量，且，求向量；
(2)若向量，向量与向量共线，求.
16．如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点.
（1）求证：直线平面.
（2）求证：平面平面.
17．在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
18．某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花.
(1)求该烟花的体积；
(2)工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）.
①请用表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间.
19．已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量.
(1)若，求的坐标；
(2)若，求的坐标（用表示）；
(3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数.高一数学期中试卷 答案
单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B D D C C A
多选题
题号 9 10 11
答案 BCD ABC ACD
填空题
12、（-1,0） 13、 14、
解答题
15、(1)或
(2)
【详解】（1）设，
根据题意，得，则或，
所以或；
（2）若向量，
则，，
由向量与向量共线，
可得，则.
16、（1）由分别是线段的中点，所以，
又为正方形，，所以，
又平面，平面,
所以平面.
（2）因为分别是线段的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
因为平面，平面，
所以平面平面.
17、(1)
(2)
(3)
（1）在中，由正弦定理及，
得
，
即，而，，
解得，又，所以.
（2）由及，余弦定理得，
又，解得，
由得，
即，则，所以.
（3）因为是的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
为锐角三角形， ，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，即边上的中线的取值范围为．
18、(1)
(2)①②
（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积.
（2）①由图可知：，，
在梯形中，由，，易知，故，
则，
所以；
②由①可知：，
即，
令，则，上式即为，
又令，，则，
当时，，当时，，
当时，
，
当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为．
19、(1)
(2)
(3)答案见解析
（1）设，
已知，则，
因为逆时针旋转，则
所以
.
（2）设，有，
因为由绕坐标原点逆时针旋转角后所得
所以，
因为，
所以，
，
所以.
（3）设时，，由（2）知逆时针旋转得：，
也在拋物线上，得，
消得：，
有，
即，
将代入，得，
由，可知确定，则与之唯一确定.
所以讨论的个数等价于讨论方程（*）中解（除去时的非零解）的个数.
令①，;
令②，.
联立方程①②得，，所以时，方程①②有相同解：.
当时，方程①②均无解，所以的个数为0；
当时，方程①无解，②仅有一个解，所以的个数为1；
当时，方程①无解，②有一个非零解：，所以的个数为1；
当或时，方程①无解，②有两个解，所以的个数为2；
当时，方程①仅有一解，②有两解或，所以的个数为2；
当时，方程① ②均有两个解，且两方程不同解，所以的个数为4.
综上所述：当时，的个数为0；当或0时，的个数为1；
当或时，的个数为2；当时，的个数为4；

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