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4．2.2　等差数列的前n项和公式(1)
一、 单项选择题
1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－a1＝1，则数列{an}的公差d的值为(　　)
A. B. 1 C. 2 D. 3
2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S8＝4a3，a7＝－2，则a10的值为(　　)
A. －8 B. －6 C. －4 D. －2
3 (2024潍坊一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，S7＝5a4＋10，则S4的值为(　　)
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
4 (2024青岛一模)记正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S20＝100，则a10·a11的最大值为(　　)
A. 9 B. 16 C. 25 D. 50
5 (2024南阳月考)设等差数列的前n项和为Sn，已知S5＝92，Sn－5＝200，Sn＝288，则n的值为(　　)
A. 16 B. 18 C. 24 D. 36
6 (2024泉州期末)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S120的最小整数n等于(　　)
A. 12 B. 13 C. 24 D. 25
二、 多项选择题
7 (2024宜春月考)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a7＝5，S7＝21，则下列结论中正确的是(　　)
A. a1＝1 B. 公差d＝－
C. a2＋a12＝10 D. S10＝50
8 (2024宣城期末)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. 数列{an}的通项公式为an＝2n－4
B. 数列{an}的公差为－
C. 数列{an}的前n项和为Sn＝
D. 数列{|an|}的前20项和为56
三、 填空题
9 已知{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则n＝________．
10 在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则＝________．
11 (2024湖州期末)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4＝4S2，a2n＝2an＋1，则a2 023＝________．
四、 解答题
12 (2024西安期末)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
(1) 已知a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2) 已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
13 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2＝2(a3＋a4)，a4＝3.
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 求使Sn>an成立的n的最大值．
4．2.2　等差数列的前n项和公式(2)
一、 单项选择题
1 (2024茂名期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a12＝34，S19＝399，则数列{an}的公差是(　　)
A. －5 B. 2 C. 3 D. 5
2 (2024安徽开学考试)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a12＝a9＋4，则S13的值为(　　)
A. 42 B. 52 C. 56 D. 60
3 (2024江苏月考)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则的值为(　　)
A. B. C. D.
4 (2024宁德期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17<0，a6＋a10>0，则当Sn取最大值时，n的值为(　　)
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
5 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于(　　)
A. 110 B. 150 C. 210 D. 280
6 (2024龙岩期末)已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且a1<0，S1 998＝S2 024，则下列结论中正确的是(　　)
A. d<0 B. a2 011＝0
C. S4 022＝0 D. Sn≥S2 012
二、 多项选择题
7 记Sn为等差数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的是(　　)
A. S3，S6－S3，S9－S6成等差数列
B. ，，成等差数列
C. S9＝2S6－S3
D. S9＝3(S6－S3)
8 (2024荆门期末)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝－n2＋33n，则下列说法中正确的是(　　)
A. an＝34－2n
B. 当且仅当n＝17时，Sn取得最大值
C. 当Sn≥0时，n的最大值为33
D. ，，，…，，，…，中，最大值为
三、 填空题
9 已知{an}是以－15为首项，2为公差的等差数列，Sn是其前n项和，则数列{Sn}的最小项为第________项．
10 在等差数列{an}中，前n项和记作Sn，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝________．
11 (2024常德期末)在4和67之间插入一个n项的等差数列后，组成一个n＋2项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为________．
四、 解答题
12 (2024烟台期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30.
(1) 求Sn；
(2) 若Sn≥8n＋λ对任意的正整数n都成立，求实数λ的取值范围．
13 (2024福州期末)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S－S＝8n.
(1) 求Sn；
(2) 若bn＝2Sn－1，从{Sn}中删去{bn}中的项，按照原来的顺序构成新的数列{cn}，求{cn}的前100项和T100.
4．2.2　等差数列的前n项和公式(3)
一、 单项选择题
1 某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1 200元. 他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元. 这次募捐活动一共进行的天数为(　　)
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
2 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响. 他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法. 已知某数列的通项公式为an＝，则a1＋a2＋…＋a100的值为(　　)
A. 98 B. 99 C. 100 D. 101
3 (2023昆明西山期末)一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15min发出一辆车. 假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息．每辆车行驶的速度都是80km/h，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2 660 km，则该车队发出车的总辆数为(　　)
A. 14 B. 14或19
C. 15 D. 15或16
4 (2024南京期末)如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，则S10等于(　　)
A. 60 B. 81
C. 89 D. 117
二、 多项选择题
5 (2024宁波期末)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题．现将1到500这500个数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn，则下列结论中正确的是(　　)
A. a10＝55 B. a8－a6＝24
C. S10＝280 D. 数列{an}共有84项
6 (2024永州期末)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类．如图1，图形中黑色小点的个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点的个数：1，4，9，16，…称为正方形数．记三角形数构成的数列为数列{an}，正方形数构成的数列为数列{bn}，则下列结论中正确的是(　　)
图1
图2
A. a5＝15 B. b5＝20
C. b10＝a10＋45 D. an＝
三、 填空题
7 春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数为________．
8 某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{an}，在数列{an}的任意相邻两项ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，按新数列{bn}的各项依次派遣支教学生．记S70为派遣70批学生后支教学生的总数，则S71的值为________．
四、 解答题
9 (2023全国单元测试)用分期付款的方式购买家用电器需11 500元，购买当天先付1 500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%.若从交付1 500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：
(1) 分期付款的第10个月应交付多少钱？
(2) 全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？
10 (2023晋城月考)近几年，电动汽车领域有了长足的发展．某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用共计24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元．
(1) 引进该生产线几年后的总盈利最多，最多是多少万元？
(2) 引进该生产线几年后的平均盈利最多，最多是多少万元？
4．2.2　等差数列的前n项和公式(1)
1. B　因为－a1＝1，又S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d，所以－a1＝1，解得d＝1.
2. A　设等差数列{an}的公差为d，由S8＝4a3，a7＝－2，可得解得所以a10＝a1＋9d＝10－18＝－8.
3. C　因为数列{an}为等差数列，所以S7＝＝＝7a4.又S7＝5a4＋10，则7a4＝5a4＋10，解得a4＝5，故S4＝＝＝8.
4. C　因为S20＝×20＝100，所以a1＋a20＝10，可得a10＋a11＝a1＋a20＝10.又因为a10>0，a11>0，所以a10·a11≤2＝＝25，当且仅当a10＝a11＝5时取等号，故a10·a11的最大值为25.
5. A　由题意可得Sn－Sn－5＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝288－200＝88①，又因为S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝92②，且等差数列满足an＋a1＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝a5＋an－4，所以①②两式相加可得5(an＋a1)＝88＋92＝180，即an＋a1＝36，则Sn＝＝18n＝288，解得n＝16.
6. C　由S12S11，得a12＝S12－S11<0，a12＋a13＝S13－S11>0，所以a13>0>a12，则数列{an}的公差d>0，所以数列{an}是递增的等差数列，且当n≤12时，an<0；当n≥13时，an>0.又因为S23＝＝23a12<0，S24＝＝12(a12＋a13)>0，所以使Sn>0成立的最小整数n为24.
7. AC　由a7＝5，S7＝21，可得解得d＝，a1＝1，故A正确，B错误；a2＋a12＝2a1＋12d＝10，故C正确；S10＝10a1＋45d＝40，故D错误．故选AC.
8. BCD　设等差数列{an}的公差为d，由题意，得解得a1＝3，d＝－，所以an＝3＋(n－1)×＝－，故A错误，B正确；Sn＝＝，故C正确；当n≤7时，an≥0，当n≥8时，an<0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋…＋|a20|＝a1＋a2＋…＋a7－(a8＋a9＋…＋a20)＝S7－(S20－S7)＝2S7－S20＝2×－＝56，故D正确．故选BCD.
9. 36　由题意，得Sn＝na1＋d＝35n＋×(－2)＝0，解得n＝36或n＝0(舍去).
10. 　设数列{an}的公差为d.由题意，得10a1＋d＝4，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，所以10a1＝5d，所以＝.
11. 4 045　设等差数列{an}的公差为d，由S4＝4S2，得4a1＋6d＝4(2a1＋d)，可得2a1－d＝0①；由a2n＝2an＋1，得a1＋(2n－1)d＝2[a1＋(n－1)·d]＋1，整理得a1－d＝－1②.由①②，解得a1＝1，d＝2，所以a2 023＝a1＋2 022d＝1＋2×2 022＝4 045.
12. (1) 因为Sm＝ma1＋d＝m－×＝－15，
整理得m2－7m－60＝0，
解得m＝12或m＝－5(舍去)，
所以am＝a12＝a1＋11d＝＋11×＝－4.
(2) 由Sn＝＝＝－1 022，
解得n＝4.
又an＝a4＝a1＋3d＝1＋3d＝－512，
解得d＝－171.
13. (1) 设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
所以an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11.
(2) 由(1)得Sn＝＝10n－n2，
由Sn>an，得10n－n2>11－2n，解得1所以n的最大值为10.
4．2.2　等差数列的前n项和公式(2)
1. B　由S19＝＝＝19a10＝399，可得a10＝21.又a4＋a12＝2a8＝34，则a8＝17，所以数列{an}的公差d＝(a10－a8)＝×(21－17)＝2.
2. B　由a4＋a12＝a9＋4，得a4＋a12－a9＝a9＋a7－a9＝a7＝4，则S13＝＝13a7＝52.
3. A　＝＝＝＝＝.
4. B　因为S17＝＝17a9<0，所以a9<0.又因为a6＋a10＝2a8>0，则数列{an}的公差d＝a9－a8<0，所以数列{an}为递减数列，则当n≤8时，an≥a8>0；当n≥9时，an≤a9<0，故当n＝8时，Sn取最大值．
5. D　因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，解得S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
6. C　因为数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且a1<0，S1 998＝S2 024，所以S2 024－S1 998＝a1 999＋a2 000＋…＋a2 023＋a2 024＝＝13(a2 011＋a2 012)＝0，则a2 011＋a2 012＝a1＋2 010d＋a1＋2 011d＝2a1＋4 021d＝0，则d＝－a1>0，故A错误；a2 011＋a2 012＝2a2 011＋d＝0，则a2 011<0，故B错误；S4 022＝＝2 011(a2 011＋a2 012)＝0，故C正确；因为a2 011＋a2 012＝2a2 012－d＝0，所以a2 011<00，所以数列{an}是递增数列，且当n≤2 011时，an≤a2 011<0；当n≥2 012时，an≥a2 012>0，可得Sn≥S2 011，故D错误．
7. ABD　设等差数列{an}的公差为d，因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以S9＝9a1＋36d，S6＝6a1＋15d，S3＝3a1＋3d，则S3＝3a1＋3d，S6－S3＝3a1＋12d，S9－S6＝3a1＋21d，所以2(3a1＋12d)＝(3a1＋3d)＋(3a1＋21d)，则S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，故A正确；因为S9＝9a1＋36d，S6＝6a1＋15d，S3＝3a1＋3d，则＝a1＋d，＝a1＋d，＝a1＋4d，所以2＝(a1＋d)＋(a1＋4d)，则，，成等差数列，故B正确；因为S9＝9a1＋36d，S6＝6a1＋15d，S3＝3a1＋3d，所以2S6－S3＝2(6a1＋15d)－(3a1＋3d)＝9a1＋27d，则S9≠2S6－S3，故C错误；因为S9＝9a1＋36d，S6＝6a1＋15d，S3＝3a1＋3d，所以3(S6－S3)＝3[(6a1＋15d)－(3a1＋3d)]＝9a1＋36d＝S9，故D正确．故选ABD.
8. ACD　对于A，由题意，Sn＝－n2＋33n.当n＝1时，a1＝S1＝32；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋33n＋(n－1)2－33(n－1)＝－2n＋34.又n＝1时，－2×1＋34＝32＝a1也满足上式，所以an＝－2n＋34，故A正确；对于B，当Sn取得最大值时，有即解得16≤n≤17.又n∈N*，所以当n＝16或n＝17时，Sn取得最大值，故B错误；对于C，由Sn＝－n2＋33n≥0，解得0≤n≤33，所以当Sn≥0时，n的最大值为33，故C正确；对于D，由上可知当0≤n≤33时，Sn≥0, 且当n＝16时，Sn取得最大值，a16是最小正项，故D正确．故选ACD.
9. 8　由题意，得Sn＝－15n＋×2＝n2－16n＝(n－8)2－64，所以当n＝8时，Sn最小．
10. 16　设等差数列{an}的公差为d，因为S15＝5(a2＋a6＋ak)，所以＝5(a2＋a6＋ak)，即＝5(a2＋a6＋ak)，所以3a8＝a2＋a6＋ak，所以ak＝3a8－(a2＋a6)＝3(a1＋7d)－(a1＋d＋a1＋5d)＝a1＋15d＝a1＋(k－1)d，所以k＝16.
11. 20　由等差数列的求和公式可知，新等差数列的所有项之和S＝(4＋67)(n＋2)＝781，解得n＝20.
12. (1) 设等差数列{an}的公差为d，
由a2＝a1＋d＝4，S5＝5a1＋10d＝30，
解得a1＝2，d＝2，
所以an＝2＋2(n－1)＝2n，
则Sn＝＝n(n＋1).
(2) Sn＝n2＋n≥8n＋λ对任意的正整数n都成立，
即λ≤n2－7n对任意的正整数n都成立．
令f(x)＝x2－7x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝，
所以当n＝3或n＝4时，f(n)取得最小值－12，
所以实数λ的取值范围是(－∞，－12].
13. (1) 因为S＝a＝1，S－S＝8n，
所以S＝S＋(S－S)＋(S－S)＋…＋(S－S)＝1＋8＋16＋…＋8(n－1)＝1＋(n－1)＝4n2－4n＋1＝(2n－1)2.
又an>0，Sn>0，所以Sn＝2n－1(n≥2).
因为S1＝a1＝1也符合上式，
所以Sn＝2n－1.
(2) 由(1)得S1＝1，Sn＝2n－1，
则bn＝2Sn－1＝22n-1－1，
所以b1＝1，b2＝7，b3＝31，b4＝127，b5＝511，
且{bn}是递增数列．
又因为{Sn}是奇数列，
S104＝2×104－1＝207，而127<207<511，
所以数列{Sn}的前104项中有数列{bn}的4项，即1，7，31，127，
故T100＝－(1＋7＋31＋127)＝10 650.
4．2.2　等差数列的前n项和公式(3)
1. C　由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，捐款构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列．根据题意，设共募捐了n天，则1 200＝10n＋×10，解得n＝15或n＝－16(舍去)，所以n＝15.
2. C　由an＝，可得an＋a101－n＝＋＝＋＝＝2，所以a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝an＋a101－n＝2，所以a1＋a2＋…＋a100＝50×2＝100.
3. A　设共发出n辆车，第n辆车的行驶时间为an，其中n∈N*，an>0.由第一辆车于早上8时出发，以后每隔15 min发出一辆车，得a1＝4，an＋1－an＝－，即{an}为等差数列．设{an}的前n项和为Sn，则80Sn＝2 660，可得Sn＝4n－＝，整理，得 n2－33n＋226＝(n－14)(n－19)＝0.又a14＝4－>0，a19＝4－<0，所以n＝14.
4. A　设数列{an}为题设中的锯齿形数列，则a1＝1，a3＝3＝1＋2，a5＝6＝1＋2＋3，a7＝10＝1＋2＋3＋4，a9＝15＝1＋2＋3＋4＋5.又a2＝3，a4＝4，a6＝5，a8＝6，a10＝7，所以S10＝(1＋3＋6＋10＋15)＋(3＋4＋5＋6＋7)＝60.
5. ACD　1到500这500个数中，能被2除余1的数有1，3，5，7，…，499；1到500这500个数中，能被3除余1的数有1，4，7，…，499，可得数列{an}是首项为1，末项为499，公差为6的等差数列，所以an＝6n－5(1≤n≤84，n∈N*)，则a10＝55，a8－a6＝12，S10＝＝280，数列{an}共有84项．故选ACD.
6. ACD　an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，则a5＝＝15，故A，D正确；bn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝＝n2，则b5＝25，故B错误；a10＝＝55，b10＝100＝55＋45＝a10＋45，故C正确．故选ACD.
7. 255　因为an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，所以当n为奇数时，an＋2＝an；当n为偶数时，an＋2－an＝2，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列．因为a1＝1，a2＝2，所以a1＋a2＋a3＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋×2＝255.
8. 390　由题意可得an＝5n＋15，所以a1＝20，a2＝25，a3＝30，a4＝35，a5＝40，a6＝45.在任意相邻两项ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k个3，则a1，a2之间插入2个3，a2，a3之间插入4个3，a3，a4之间插入8个3，a4，a5之间插入16个3，a5，a6之间插入32个3，a6，a7之间插入64个3，….又6＋2＋4＋8＋16＋32＝68<70，6＋2＋4＋8＋16＋32＋64>70，所以数列{bn}的前71项含有数列{an}的前6项和65个3，故S71＝20＋25＋30＋35＋40＋45＋65×3＝390.
9. (1) 设每月的付款依次构成数列{an}，
则a1＝500＋10 000×0.005＝550，
a2＝500＋(10 000－500)×0.005＝550－2.5，
a3＝500＋(10 000－500×2)×0.005＝550－2.5×2，
…
可得an＝500＋[10 000－500(n－1)]×0.005＝550－2.5×(n－1)，
则a10＝550－2.5×9＝527.5，
故第10个月应交付527.5元．
(2) 由(1)可得an＝－2.5n＋552.5，
则{an}为等差数列，且n≤＝20.
设数列{an}前20项的和为S20，
则S20＋1500＝＋1 500＝10×(550－2.5×20＋552.5)＋1 500＝12 025，
所以买家用电器实际花了12 025元．
10. (1) 设第n年的总盈利为Sn，
由题意可知，每年的人工、维修等费用(单位：万元)构成首项为24，公差为8的等差数列，
则Sn＝100n－[n×24＋×8]－196＝－4n2＋80n－196＝－4(n－10)2＋204，
所以引进该生产线10年后的总盈利最多，为204万元．
(2) 由(1)可知，n年后的平均盈利为
Tn＝＝－4n－＋80＝－＋80≤－2＋80＝24，
当且仅当4n＝，即n＝7时，等号成立，
所以引进该生产线7年后的平均盈利最多，为24万元．

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