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4．4　数学归纳法
4．4.1　数学归纳法(1)
一、 单项选择题
1 利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋4＋…＋(4n－1)时，第一步应证明(　　)
A. f(1)＝1 B. f(1)＝1＋2＋3
C. f(2)＝1＋2 D. f(1)＝1＋2＋3＋4
2 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1是否成立时，左边应该是(　　)
A. 1 B. 1＋a
C. 1＋a＋a2 D. 1＋a＋a2＋a3
3 (2023北京房山区期末)用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n-1(n2＋n)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边需要增加的因式是(　　)
A. 2k＋1 B. 2(k＋1)
C. k(k＋1) D. (k＋1)(k＋1)
4 (2024上海宝山区月考)已知an＝1＋＋＋…＋，则ak＋1－ak共有(　　)
A. 1项 B. k项
C. 2k项 D. 2k＋1项
二、 多项选择题
5 对于数学归纳法，下列说法中正确的是(　　)
A. 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立
B. 数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明
C. 证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立
D. 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项
6 已知f(n)＝＋＋＋…＋，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(n)中共有n2－n项
B. f(n)中共有n2－n＋1项
C. 当n＝2时，f(2)＝＋
D. 当n＝2时，f(2)＝＋＋
三、 填空题
7 (2023全国课时练习)存在常数a，b，c使得等式1×22＋2×32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立，则a＋b＋c＝________．
8 (2023河南专题练习)已知13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2.若13＋23＋33＋…＋n3＝3 025(n∈N*)，则n＝________．
四、 解答题
9 用数学归纳法证明：(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝n(n＋1)(n＋2)(n为正整数).
10 是否存在常数a，b，c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
4．4.2　数学归纳法(2)
一、 单项选择题
1 (2023全国课时练习)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成(　　)
A. 假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推证n＝2k＋3正确
B. 假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推证n＝2k＋1正确
C. 假设n＝k(k∈N*)时正确，再推证n＝k＋2正确
D. 假设n≤k时正确，再推证n＝k＋2正确
2 用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明能被9整除的余项是(　　)
A. 3·7k+1＋6 B. 3·7k＋6 C. 3·7k－3 D. 3·7k+1－3
3 对于不等式①当n＝1时，<1＋1，不等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据①和②，可知对于任何n∈N*，不等式均成立．
则下列结论中正确的是(　　)
A. 过程全部正确 B. n＝1验得不正确
C. 归纳假设不正确 D. 从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确
4 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)时，第二步证明中从“k到k＋1”左边增加的项数是(　　)
A. 2k＋1 B. 2k－1 C. 2k-1 D. 2k
二、 多项选择题
5 (2023全国课时练习)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题中不成立的是(　　)
A. 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B. 若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C. 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D. 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
6 已知正项数列{an}满足an＋1＜an－a(n∈N*)，则下列可用数学归纳法证明的正确的猜想是(　　)
A. an＜1 B. an＞1 C. an＜ D. an＞
三、 填空题
7 (2024上海宝山区期末)用数学归纳法推断2n>n2时，正整数n的第一个取值应为________．
8 已知向量a1＝(1，1)，bn＝，an＋1＝an－(an·bn＋1)bn＋1(n∈N*)，则＋＋…＋＝________．
四、 解答题
9 (2023江苏专题练习)设n∈N*，用数学归纳法证明：f(n)＝32n+2－8n－9是64的倍数．
10 (2024上海月考)设数列{an}的各项均为正整数，且a1＝1.记Sn＝a1＋a2＋…＋an，且对于所有的正整数n均有Sn＋1＋Sn＝(Sn＋1－Sn)2.
(1) 求S1，S2，S3，S4，S5；
(2) 猜想数列{Sn}的通项公式，并加以证明．
4．4　数学归纳法
4.4.1　数学归纳法(1)
1. B　n的初始值为1，故第一步应证明f(1)＝1＋2＋3.
2. C　用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，把n＝1代入，得左边＝1＋a＋a2.
3. B　当n＝k时，左边＝(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左边＝(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，所以左边应添加的因式为2(k＋1).
4. D　由an＝1＋＋＋…＋，可得ak＝1＋＋＋…＋，ak＋1＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，故ak＋1－ak的表达式中的项数为(k＋1)2－(k2＋1)＋1＝2k＋1.
5. BC
6. BD　f(n)中共有n2－n＋1项，故A错误，B 正确；当n＝2时，f(2)＝＋＋，故C错误，D正确．故选BD.
7. 24　令n＝1，则1×22＝(a＋b＋c)，可得a＋b＋c＝24.
8. 10　由题意，得13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝.因为13＋23＋33＋…＋n3＝3 025，所以＝3 025，可得n(n＋1)＝110，解得n＝10或n＝－11(舍去).
9. ①当n＝1时，左边＝2，右边＝×1×2×3＝2，等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＝k(k＋1)(k＋2)，
那么当n＝k＋1时，
(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＋[(k＋1)2＋(k＋1)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)2＋(k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(1＋k＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2].
故当n＝k＋1时，等式也成立．
综上，等式对任意正整数n都成立．
10. 假设存在a，b，c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立．
当n＝1时，a(b＋c)＝1，
当n＝2时，2a(4b＋c)＝6，
当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.
联立上述三个等式，解得a＝，b＝2c，c≠0.
令c＝1，则a＝，b＝2.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上述知等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝ak(bk2＋c)＝k(2k2＋1)，
则当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12
＝k(2k2＋1)＋k2＋(k＋1)2
＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
综上，存在a＝，b＝2，c＝1，使等式对一切n∈N*都成立．
4．4.2　数学归纳法(2)
1. B　因为命题为“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，所以第二步归纳假设应写成：假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推证n＝2k＋1正确．
2. A　假设当n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k+1－1－[(3k＋1)·7k－1]＝(3k＋4)·7k+1－(3k＋1)·7k＝[(3k＋1)＋3]·7k+1－(3k＋1)·7k＝(3k＋1)·7k+1＋3·7k+1－(3k＋1)·7k＝6·(3k＋1)·7k＋3·7k+1＝6·[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k+1＋6.因为(3k＋1)·7k－1能被9整除，所以要证上式能被9整除，还需证明3·7k+1＋6也能被9整除．
3. D　在n＝k＋1时，没有用到n＝k时的假设，所以从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．
4. D　当n＝k时，左边＝1＋＋＋…＋，易知分母为连续正整数，所以共有2k－1项；当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋，共有2k+1－1项，所以从“k到k＋1”左边增加的项数是2k+1－1－(2k－1)＝2k.
5. ABC　对于A，若f(3)≥9成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时，均有f(k)≥k2成立，故B错误；对于C，因为f(7)<49不满足题设条件，所以不能得出相应结论，故C错误；对于D，若f(4)＝25>16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，故D正确．故选ABC.
6. AC　因为数列{an}满足an＋1＜an－a(n∈N*)，所以an＋1＜an(1－an)(n∈N*).又因为数列的各项为正，所以1－an＞0，即0＜an＜1，故A正确，B错误；猜想an<，当n＝1时，a1＜1，a27. 5　根据数学归纳法的步骤，首先要验证n取第一个值时命题成立．现将(n，2n)看成函数y＝2x(x∈N*)上的点，将(n，n2)看成y＝x2(x∈N*)上的点，由图可知，两函数图象有两个交点．由n2＝2n，解得n＝2或n＝4.分析两函数的图象可知，当n≥5时，2n>n2恒成立，所以正整数n的第一个取值应为5.
8. 　a2＝a1－(a1·b2)b2＝(1，1)－＝，a3＝a2－(a2·b3)b3＝－＝，an＝，n∈N*.下面用数学归纳法进行证明：当n＝1时，a1＝＝(1，1)满足题意；假设当n＝k时，ak＝，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak－(ak·bk＋1)·bk＋1＝－[(，1)·(，0)](，0)＝(，1)＝(，1)，故an＝，n∈N*，所以＝＝＝[－]，所以＋＋…＋＝×(－＋－＋…＋－)＝×(－)＝.
9. ①当n＝1时， f(1)＝34－8－9＝64能被64整除，命题成立．
②假设当n＝k时，f(k)＝32k+2－8k－9能够被64整除．
当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32k+4－8(k＋1)－9＝9(32k+2－8k－9)＋64k＋64＝9(32k+2－8k－9)＋64(k＋1)，
因为f(k)＝32k+2－8k－9能够被64整除，
所以f(k＋1)＝9(32k+2－8k－9)＋64(k＋1)能够被64整除，
即当n＝k＋1时，命题也成立．
由①②可知，f(n)＝32n+2－8n－9(n∈N*)能被64整除，
即f(n)＝32n+2－8n－9是64的倍数．
10. (1) 因为数列{an}的各项均为正整数，
所以数列{Sn}是递增数列．
因为Sn＋1＋Sn＝(Sn＋1－Sn)2，S1＝a1＝1，
所以S2＋S1＝(S2－S1)2，
解得S2＝3或S2＝0(舍去)，
同理可得S3＝6，S4＝10，S5＝15，
所以S1＝1，S2＝3，S3＝6，S4＝10，S5＝15.
(2) 猜想：Sn＝，证明如下：
①当n＝1时，S1＝1，猜想成立．
②假设当n＝k时，猜想成立，即Sk＝，
则当n＝k＋1时，由Sk＋1＋Sk＝(Sk＋1－Sk)2，
得S－(k2＋k＋1)Sk＋1＋＝0，
整理得[Sk＋1－]＝0，
解得Sk＋1＝或Sk＋1＝.
因为数列{an}的各项均为正整数，
所以数列{Sn}是递增数列，
显然>>，
所以Sk＋1＝，
即当n＝k＋1时，猜想成立．
综上，Sn＝.

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