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第四章　数列
一、 单项选择题
1 已知在等比数列{an}中，若4a1，a3，2a2成等差数列，则公比q的值为(　　)
A. 1 B. －1或2
C. 3 D. －1
2 (2024温州期末)已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n－1，则a4的值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
3 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1, 则Sn等于(　　)
A. 2n-1 B.
C. D.
4 (2024滁州期末)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝0，且则数列{an}的前2 023项和为(　　)
A. 0 B. 2
C. 2 024 D. 4 048
5 (2024邯郸期末)在数列{an}中，已知a1＝2，且an＝2an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　)
A. 3(2n－n)－1 B. 5(2n－n)－3
C. 3×2n－5n＋1 D. 5×2n－3n－5
6 (2024广东期末)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an－2n-1(n∈N*)，记cn＝3n－2×(－1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为(　　)
A. B. (－2，1)
C. (－1，1) D. (0，1)
二、 多项选择题
7 (2024重庆开学考试)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的是(　　)
A. a2 024＝4 048
B. S100＝10 000
C. a2k－1＝4k－3
D. <
8 (2024威海期末)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＋1＝4an＋2，a1＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 数列{an＋1－2an}为等比数列
B. 数列为等差数列
C. 数列为等比数列
D. 数列{Sn＋1－2Sn＋2}为等差数列
三、 填空题
9 (2024上海宝山区月考)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋2，n∈N*，则an＝________．
10 (2024石家庄期末)已知数列{an}满足a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝8，则m的所有可能取值之和为________．
11 (2024武汉期末)已知数列{an}满足a1＝1，an＋(－1)nan＋1＝1－，记数列{an}的前n项和为Sn，则S223＝________．
四、 解答题
12 (2024湖北月考)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＋an＝3×2n，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝(bn＋1)2，且bn>0.
(1) 求证：{an－2n}是等比数列；
(2) 求数列{bn}的通项公式；
(3) 设cn＝(an－2n)·，求数列{cn}的前19项和．
13 (2024广东期末)甲、乙两家新能源汽车企业同时量产，第一年的全年利润额均为p万元．根据市场分析和预测，甲企业第n年的利润额比前一年利润额多3p万元，乙企业前n年的总利润额为p(n2－n＋1)万元，记甲、乙两企业第n年利润额(单位：万元)分别为an，bn.
(1) 求an，bn；
(2) 若其中某一新能源汽车企业的年利润额不足另一企业的年利润额的50%，则该企业将被另一企业收购，判断哪一家新能源汽车企业有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
本 章 复 习
1. B　因为4a1，a3，2a2成等差数列，所以2a3＝4a1＋2a2，即2a1q2＝4a1＋2a1q，化简得q2－q－2＝0，解得q＝－1或q＝2.
2. C　a4＝S4－S3＝(24－1)－(23－1)＝8.
3. B　由Sn＝2an＋1，an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝.又S1＝a1＝1，所以Sn＝.
4. B　当n为奇数时，an＋2＝an－2，即an＋2－an＝－2，所以数列{an}的奇数项构成首项为2，公差为－2的等差数列；当n为偶数时，an＋2＝an＋2，即an＋2－an＝2，所以数列{an}的偶数项构成首项为0，公差为2的等差数列，所以数列{an}的前2 023项和为＋[1 011×0＋×2]＝2.
5. D　由an＝2an－1＋3，得an＋3＝2(an－1＋3)，所以数列{an＋3}是首项为a1＋3＝5，公比为2的等比数列，可得an＋3＝5×2n-1，即an＝5×2n-1－3，所以Sn＝5×－3n＝5×2n－3n－5.
6. A　由an＋1＝3an－2n-1，得＝·－，即－＝.又－＝0，则－＝0，即an＝2n-1，所以cn＝3n－2×(－1)nλ·2n-1＝3n－(－2)nλ.由数列{cn}为递增数列，得任意的n∈N*，cn＋1>cn恒成立，则 n∈N*，3n+1－(－2)n+1λ>3n－(－2)nλ，即3n-1>(－2)n-1λ恒成立．当n为奇数时，λ<恒成立，因为的最小值为1，所以λ<1；当n为偶数时，λ>－恒成立，因为－的最大值为－，所以λ>－.综上，实数λ的取值范围为.
7. BCD　因为a1＝1，an＋1＋an＝4n，所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝＝10 000，故B正确；由题意可得，an＋1＋an＝4n①，an＋2＋an＋1＝4(n＋1)②，②－①，得an＋2－an＝4.由a1＝1，a1＋a2＝4，得a2＝3.当n为奇数时，设n＝2k－1(k∈N*)，则an＝a1＋4(k－1)＝1＋4k－4＝4k－3＝2(2k－1)－1＝2n－1；当n为偶数时，设n＝2k(k∈N*)，则an＝a2＋4(k－1)＝3＋4k－4＝4k－1＝2n－1，所以对任意的n∈N*，都有an＝2n－1，故A错误，C正确；由上可得Sn＝＝n2，则＝＝<＝2，所以当n≥2时， ＝＋＋…<1＋2(－＋－＋…＋－)＝1＋2(－)<.当n＝1时，＝1<也成立，故D正确．故选BCD.
8. AB　因为Sn＋1＝4an＋2，所以当n≥2时，Sn＝4an－1＋2，两式相减可得an＋1＝4(an－an－1)，即an＋1－2an＝2(an－2an－1).由Sn＋1＝4an＋2，a1＝1，得a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝5，所以a2－2a1＝3≠0，可得＝2(n≥2)，所以数列{an＋1－2an}为等比数列，故A正确；由A知an＋1－2an＝3×2n-1，则－＝，所以数列是首项为＝，公差为的等差数列，故B正确；由B知＝＋(n－1)＝n－，即an＝(n－)·2n，则Sn＋1＝4an＋2＝4·2n＋2＝(3n－1)·2n＋2，即Sn＝(3n－4)·2n-1＋2，则＝＝.又＝＝1＋不为常数，所以数列不为等比数列，故C错误；因为Sn＋1－2Sn＋2＝(3n－1)·2n－2(3n－4)·2n-1＝3·2n，所以(Sn＋2－2Sn＋1＋2)－(Sn＋1－2Sn＋2)＝3·2n+1－3·2n＝3·2n不为常数，可知数列{Sn＋1－2Sn＋2}不为等差数列，故D错误．故选AB.
9. n2＋n　因为a1＝2，an＋1－an＝2n＋2，n∈N*，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋(2n－2)＋…＋4＋2＝＝n2＋n.
10. 74　当a4＝8时，a3＝16，则a2＝32或a2＝5.若a2＝32，则a1＝64；若a2＝5，则a1＝10，所以m的所有可能取值之和为74.
11. 56　由an＋(－1)nan＋1＝1－，得a2＋a3＝1－，a4＋a5＝1－，…，a222＋a223＝1－，所以S223＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a222＋a223)＝1＋111－＝112－(1＋2＋…＋111)＝112－×＝112－56＝56.
12. (1) 因为＝＝＝＝－1，
所以数列{an－2n}是以a1－2＝－1为首项，－1为公比的等比数列，
所以an－2n＝(－1)n.
(2) 当n＝1时， b1＝S1＝(b1＋1)2，解得b1＝1；
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2，
整理得(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0.
因为bn>0，所以bn＋bn－1≠0，
可得bn－bn－1－2＝0，
所以数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，
从而bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(3) 由(1)(2)知cn＝(an－2n)·＝(－1)n·＝(－1)n，
设数列{cn}的前n项和为Tn，
则T19＝＋＋＋…＋＋＝－1－＝－.
13. (1) 由题意知，a1＝b1＝p(p>0)，an－an－1＝3p(n≥2).
设乙企业前n年的总利润额为Sn，
则Sn＝p(n2－n＋1)，
当n＝1时，b1＝S1＝p；
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝p(n2－n＋1)－p[(n－1)2－(n－1)＋1]＝2p(n－1)，
将n＝1代入bn＝2p(n－1)，可得b1＝0，不符合上式，
所以bn＝
因为an－an－1＝3p(n≥2)，a1＝p，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝p＋3p＋3p＋…＋3p＝p＋3p×＝p[5－9×]，
当n＝1时，a1＝p也符合上式，
所以an＝p.
(2) ①bn－an＝
当n＝1时，bn－an＝p>0，即bn>an；
当n≥2时，－＝p－p[2n＋3×－]＝p>0，
所以bn－an≥b2－a2＝p>0，即bn>an，
故对于 n∈N*，bn>an恒成立，
即乙企业不可能被甲企业收购．
②an－bn＝
当n＝1时，an－bn＝p>0，即an>bn；
当n≥2时，－＝p[6－9×－(n＋1)]－p[6－9×－n]＝p[3×－1]<0，
所以数列在n≥2且n∈N*上递减．
当2≤n≤5且n∈N*时，an－bn>0，
即an>bn，
当n≥6且n∈N*时，an－bn<0，即an故当1≤n≤5且n∈N*时，an>bn，即甲企业不能被乙企业收购，
当n≥6且n∈N*时，an综上，甲企业可能被乙企业收购，至少出现在第6年．

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